CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
Capítulo I: ÁNÁLISE VETORIAL
1
Capítulo I
ANÁLISE VETORIAL
1.1 – CONCEITOS GERAIS
•
Grandeza Escalar – Representada por um número real,, positivo ou negativo.
Ex.:: Tensão ou potencial, corrente, carga, tempo, massa, volume, temperatura, pressão, etc.
•
Grandeza Vetorial – Representada por uma magnitude, direção e sentido..
Ex.:: Densidade de corrente, velocidade, aceleração, força, torque, etc.
Atenção: No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magnitude,
magn
módulo,
intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre
positivo.
•
Campo Escalar – Cada ponto da região é representado por um escalar.
Ex.:: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc.
Notação: Seja φ = x 2 + y 2 + z 2 = 100 definindo um campo escalar.
Se φ = potencial ⇒ temos uma superfície equipotencial esférica.
Se φ = temperatura ⇒ temos uma superfície isotérmica esférica.
Se φ = pressão ⇒ temos uma superfície isobárica esférica.
•
Campo Vetorial – Cada ponto da região equivale a um vetor.
Ex.:: Campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, etc.
Notação: Seja E = 3a x + 4a y + 5a z definindo um campo vetorial.
Se E = campo elétrico ⇒ temos uma região onde o campo elétrico é uniforme,
possuindo módulo igual a E = 5 2 e direção fixa definida pelos vetores unitários
(também chamados de versores): a x , a y e a z .
Atenção: No curso de Eletromagnetismo adota-se
adota se a seguinte notação para vetores: A ou A , sendo
que seu módulo pode ser representado por A ou A , ou, simplesmente, A.
1.2 – O PRODUTO ESCALAR (OU PRODUTO INTERNO)
O produto escalar entre 2 vetores A e B é definido como:
A • B = A B cosθ
( = menor ângulo entre A e B )
(θ
Propriedades do produto escalar:
escalar
(a) A • B = B • A (propriedade comutativa)
(b) A • B = 0 ⇔ A ⊥ B (o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo)
2
(c) A • A = A = A 2
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2
(i) Aplicação do produto escalar:: obtenção da componente ou projeção de um vetor (ex.: B )
numa dada direção (ex.: o vetor A ou o eixo x → ver figuras).
A projeção (ou componente) escalar do vetor B sobre o vetor A é:
A
B a = B.a = B.
( a = vetor unitário na direção de A )
A
A projeção (ou componente) vetorial do vetor B sobre A é:
 AA
Ba = (B .a )a ⇒ Ba =  B. 
 AA


A projeção escalar (Bx) do vetor B sobre o eixo x é:
B x = B.a x
( a x = vetor unitário do eixo x)
A projeção vetorial ( B x) do vetor B sobre o eixo x é:
B x = B x a x = (B.a x )a x
(ii) Aplicação do produto escalar:
escalar obtenção do ângulo compreendido entre 2 vetores quaisquer.
O ângulo θ compreendido entre 2 vetores A e B é obtido por: cos θ =
A.B
A B
1.3 – O PRODUTO VETORIAL (OU
(
PRODUTO EXTERNO)
O produto vetorial entre 2 vetores A e B é definido como:
A × B = A B senθ a n
onde
(θ = menor ângulo entre A e B )
a n = vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores A e B , cuja direção
(e sentido) é obtida pela regra do saca-rolhas
saca
(mão direita) indo de A para B .
Propriedades do produto vetorial:
vetorial
(a) A × B = − B × A (propriedade não-comutativa)
não
(b) A × B = 0 ⇔ A // B (o produto vetorial entre 2 vetores paralelos é nulo)
(c) A × A = 0
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(i) Aplicação do produto vetorial:
vetorial
Obtenção do vetor ou versor normal a um plano formado
por 2 vetores A e B .
N = A× B
N
an = =
N
(vetor normal)
A×B
A×B
(versor normal
(ii) Aplicação do produto vetorial:
vetorial
Obtenção da área de um paralelogramo (ou triângulo)) cujos lados são as magnitudes dos
vetores A e B .
S parale log ramo = Base × Altura = B A senθ = A × B
1
1 S triângulo = S parale log ramo = A × B
2
2
Exercício: Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto
misto:
(
)
vol = A × B • C
sendo A , B e C , respectivamente, o comprimento, a largura e a altura do
paralelepípedo.
1.4 – SISTEMAS DE COORDENADAS
COORDENA
CARTESIANAS, CILÍNDRICAS
ÍNDRICAS E ESFÉRICAS
1.4.1 – Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas
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1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas
Cartesiano
Cilíndrico
Esférico
x
=
x
x = ρ cos φ
x = r sen θ cosφ
Cartesiano
y=y
y = ρ sen φ
y = rsenθ senφ
z=z
z=z
z = rcosθ
ρ=ρ
Cilíndrico ρ = x 2 + y 2 ρ ≥ 0
ρ = r sen θ
φ=φ
φ=φ
φ = tan -1 ( y / x ) 0 ≤ φ ≤ 2π
z=z
z = rcosθ
z=z
Esférico r = x 2 + y 2 + z 2
r≥0
r = ρ2 + z 2
r≥0
r=r
1
θ=θ
θ = tan (ρ z ) 0 ≤ θ ≤ π
θ = tan -1 x 2 + y 2 z 0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ φ ≤ 2π
φ=φ
φ = tan -1 (y / x )
0 ≤ φ ≤ 2π φ = φ
SISTEMA
)
(
1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas e cilíndricas
ax •
ay•
az •
aρ
aφ
az
cosφ
- senφ
0
senφ
cosφ
0
0
0
1
Coordenadas cartesianas e esféricas
ar
ax•
ay•
az •
aθ
aφ
senθ cosφ cosθ cosφ
- senφ
senθ senφ cosθ senφ
cosφ
cosθ
- senθ
0
Nota: O produto escalar entre o vetor unitário a x (ou a y ) e o vetor unitário a r (ou a θ ) do sistema
de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário
esférico a r (ou a θ ) e sua projeção no plano xy, multiplicado pelo coseno do ângulo formado
por esta projeção e o vetor
or unitário a x (ou a y ).
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Exercício: Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos
sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas
ar
aθ
aφ
aρ •
aφ •
az •
1.4.5 – Elementos diferenciais de linha,
linha área e volume nos 3 sistemas de coordenadas
Quadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas
Sistema
Volume (dv)
Área (d S )
Linha (d L )
dv = dx dy dz
Cartesiano dL = dx a x + dy a y + dz a z
d Sx = dydz a x
d Sy = dxdz a y
d Sz = dxdy a z
Cilíndrico
dL = dρ aρ + ρdφ aφ + dz a z
d Sρ = ρdφdz a ρ
dv = ρdρdφdz
d Sφ = dρdz a φ
d Sz = ρdρdφ a z
Esférico
dL = dr a r + rdθa θ + r sen θdφa φ
d Sr = r 2 sen θdθdφ a r dv = r 2 sen θdrdθdφ
d Sθ = r sen θdrdφ a θ
d Sφ = rdrdθ a φ
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1.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.1) As superfícies que delimitam um volume são definidas por: ρ = 5 e ρ = 10, φ = 2π/9 e φ =
7π/9,
/9, z = 2 e z = 20. Determinar:
a) O volume determinado pelas
pela superfícies em questão, utilizando integração;
b) O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume.
Respostas: a) Volume = 375π;
375
b) PQ = 21,59 .
1.2) Um vetor E = a ρ + a φ + a z está aplicado no ponto P(x = 0, y = 1, z = 1) da superfície
plana x + y + z = 2 . Determinar:
a) o vetor E no sistema de coordenadas cartesianas;
b) o ângulo θ que o vetor E faz com o vetor normal à superfície plana;
c) as duas componentes vetoriais de E normal e tangencial à superfície plana.
Respostas: a) E = −a x + a y + a z ; b) θ =70,53o;
1 1
c) E N = a x + a y + a z e E T = − 4a x + 2a y + 2a z .
3
3
(
)
(
)
1.3) Um vetor A , com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; θ = π/4; φ = π/4) à
origem de um sistema de coordenadas cartesianas.. Expressar este vetor em:
a) coordenadas esféricas no ponto P.
b) coordenadas cartesianas no ponto P.
Respostas: a) A = −10 a r ; b) A = −5 a x − 5 a y − 5 2 a z .
1.4) Dado o vetor A = a x + a y + a z aplicado ao ponto P(x = – 3 , y = 1, z = 2), determinar:
a)
b)
c)
d)
As coordenadas esféricas r, θ e φ do ponto P;
O ângulo α que A faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P;
O ângulo β que A faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P;
O ângulo γ que A faz com o semi-plano
semi plano radial, partindo do eixo z, que passa por P.
Respostas: a) P(r = 2 2; θ = 45°; φ = 150°); b) α = 75o; c) β = 123,9o; d) γ = 142,06o.
1.5) Um vetor A , de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa pelos pontos
P(r = 10, θ = 30o, φ = 0o) e Q(r = 20, θ = 60o, φ = 90o) , e orientado no sentido de P a Q.
Determinar:
a) O vetor A expresso em coordenadas cartesianas;
b) O ângulo que o vetor A faz com o vetor normal
mal à superfície plana z = 0;
c) O módulo da projeção do vetor A sobre a superfície plana z = 0.
Respostas: a) A = −2,21 a x + 7,67 a y + 0,59 a z ; b) α = 85,75o; c) Proj A = 7,98 .
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7
1.6) Transformar o vetor E = 5x a x para coordenadas esféricas nos seguintes pontos:
a) A(r = 4, θ = 30o, φ = 120o);
b) B(x = – 2 , y = 2 , z = –2).
Respostas: a) E =
5
5 3
5 3
5 2
5 2
ar +
aθ +
a φ ; b) E =
ar −
aθ + 5 a φ .
4
4
2
2
2
1.7) Sejam dados os pontos A(r = 1, θ = π/3, φ = π/6) e B(r = 3, θ = π/2,
/2, φ = π/4), os quais
representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos.
Determinar, usando integração quando possível, o seguinte:
a) O volume total (vol) da porção de volume esférico formado;
b) Os vetores normais de área, S r , Sθ S φ , que saem da superfície da porção de volume
esférico nas direções dos vetores unitários a r , aθ e aφ , respectivamente ;
c) O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico);
→
d) O vetor AB , localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esféricas.
esf
13π
3π 2π π Respostas: a) vol. =
; b) S r =
ar , Sθ = aθ , Sφ =
a φ ; c) AB = 2,2318
36
8
3
3
d) AB = 1,3713 a x + 1,6883 a y − 0,5 a z = 1,5093 a r + 1,4487 a θ + 0,7786 a φ .
1.8) Sejam dados os dois pontos A(r = 10, θ = 45o, φ = 0o) e B(r = 10, θ = 60o, φ = 90o).
Determinar:
a) A distância d entre os dois pontos medida em linha reta;
b) A distância d’ entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10.
Respostas: a) d = 11,37 unidades de comprimento.
b) d’ = 12,09 unidades de comprimento.
comprimento
1.9) a) Se os vetores
A = xa x + 3a y + 3a z , B = 2a x + ya y + 2a z ,
e
C = a x + a y + za z ,
representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de x, y e z?
b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima.
Respostas: a) x = –1,5,
1,5, y = –1,0, z = –0,5 unidades de comprimento;
b) vol. = 20,25 unidades de volume
(
) (
)
1.10) Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas r = 5, θ = 60 o , φ = 30 o e r = 5, θ = 30 o , φ = 120 o .
Determinar:
a) A distância entre os 2 pontos medida em linha reta;
b) A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5;
c) O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos;
d) A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5.
Respostas: a) AB = 5,32 unidades
unidades de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento;
o
c) 64,34 = 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área.
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1.11) Um círculo, centrado na origem, com raio de 2 unidades, situa-se
situa se sobre o plano xy.
Determinar o vetor unitário, situado sobre o plano
plan xy, que é tangente ao círculo no ponto P
3 , 1, 0 e está apontado no sentido de crescimento do eixo y:
(a) Em coordenadas cartesianas;
(b) Em coordenadas esféricas.
(
)
1
3
Respostas: a) a = − a x +
ay ;
2
2
b) a = a φ
1.12) Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos P (ρ1, φ1, z1 ) e
Q (ρ2 , φ2 , z 2 ) em função das coordenadas cilíndricas dos pontos.
Resposta: d = ρ12 + ρ22 − 2ρ1ρ2 cos(φ 2 − φ1 ) + (z 2 − z1 )2
1.13) Demonstrar que cos α = sen θ cos φ , usando produtos escalares, sendo:
α = ângulo entre o versor a r (coord. esférica) e o versor a x (coord. cartesiana)
θ = ângulo entre o versor a z (coord. cartesiana) e o versor a r (coord. esférica)
φ = ângulo entre o versor a x (coord. cartesiana) e o versor a ρ (coord. cilíndrica).
Resposta: Sugestão: Observar que a r = a ρ sen θ + a z cos θ e que a r • a x = cos α ,
a ρ • a x = cos φ e a z • a x = 0