Conceitos de vetores. Decomposição de vetores
1. Introdução
De forma prática, o conceito de vetor pode ser bem assimilado com auxílio da representação matemática
de grandezas físicas.
Figura 1.1
Grandezas como temperatura, pressão, massa, potência e outras podem ser completamente definidas por
um único valor numérico. Elas são denominadas escalares porque, na forma gráfica, podem visualizadas
como um ponto em uma escala conforme a Figura 1.1(a).
Outras grandezas (como velocidade, força, etc) precisam, além do valor escalar, de uma direção e
graficamente são representadas por um segmento de reta com seta. São denominadas grandezas
vetoriais.
Portanto, um vetor define corretamente a grandeza através do seu comprimento e do ângulo que faz com
uma referência, conforme a Figura1.1
.1(b).
2. Notação
Nesta aula, vetores são
ão simbolizados por um caractere alfabético, maiúsculo ou minúsculo, em negrito.
Exemplos:
Vetor a, vetor B, vetor v, etc.
Há também o símbolo
lo de seta acima do caractere, mas aqui não é adotado. Exemplo:
Vetor .
Em alguns casos, os vetores são designados por letras ou números nas suas extremidades. Exemplo:
MN da Figura 1.1 do tópico anterior. O ponto M é a origem do vetor.
O módulo do vetor é simbolizado pelo caractere sem negrito. Assim, para o vetor v, v |v|. Equivale ao
comprimento ℓ da Figura 1.1
1 do tópico anterior. Também denominado valor absoluto, magnitude.
Graficamente, os vetores são em geral representados por um segmento de reta com seta conforme Figura
1.1
1 do tópico anterior. Algumas vezes, por razões de conveniência ou de clareza, precisa-se
precisa
de uma
representação simples para vetores perpendiculares ao plano do próprio documento. São usados os
símbolos:
o leitor para o papel (ou tela).
vetor na direção do
vetor na direção do papel (ou tela) para o leitor.
3. Igualdade e oposição
Dois ou mais vetores são iguais se têm idênticos comprimentos e direções. Assim, eles estão em
segmentos de reta paralelos, podendo ser coincidentes ou não. Na Figura 3.1,, a=b.
Dois vetores são opostos se têm o mesmo comprimento e direções opostas. De forma similar, estarão em
segmentos de retas paralelos, coincidentes ou não. A oposição é marcada por sinal negativo: c= -d.
Figura 3.1
Notar que esses conceitos de igualdade e oposição de vetores podem não ser suficientes para definir
certos fenômenos físicos. Às vezes, é necessária a indicação dos pontos de origem.
Exemplo: supõe-se que c e d da Figura 3.1 são forças atuantes em um mesmo corpo. Se estas forças
estiverem no mesmo alinhamento, nenhum efeito é observado. Se elas estiverem deslocadas, conforme
na figura, há um esforço de rotação (momento) sobre o corpo, tanto maior quanto maior a distância entre
eles.
Na Figura 3.1, os vetores têm o mesmo comprimento, isto é,
| a | = | b | = | c | = | d |.
A diferença de direção é condição suficiente para a desigualdade, independente do comprimento. Por
exemplo,
b ≠ c apesar de | b | = | c |.
4. Multiplicação por um escalar
A multiplicação
ação ou divisão por um escalar resulta num vetor em segmento de reta paralelo ao vetor original
ou coincidente com este último.
Figura 4.1
Exemplos de multiplicação e divisão por alguns
algu fatores são dados na Figura 4.1.
Vetor unitário é um vetor de módulo igual a uma unidade de referência no sistema em que se trabalha.
Se u é um vetor unitário, então um vetor genérico a na mesma direção é dado por
a = |a| u = a u
A.1
O vetor unitário na mesma direção de um vetor genérico a é também denominado versor desse vetor e
algumas vezes simbolizado por â.. Portanto,
â = a / |a|
A.2.
5. Soma e subtração de vetores
Para somar graficamente dois vetores a e b conforme Figura 5.1 (regra poligonal),
poligonal) move-se a origem de
um até coincidir com o final do outro. Em outras palavras, une-se
se o sentido (ponta da seta) do 1o vetor com
a base do sentido (parte que não possui seta) do 2o vetor. A origem e o final restantes definem o a direção
e o sentido do vetor representativo da soma vetorial,, de acordo com a mesma figura.
Figura 5.1
O módulo da soma não é necessariamente igual à soma dos módulos.
Se | a + b | = | a | + | b |, então a e b têm a mesma direção.
Para a subtração, consideram-se
se na Figura 5.2
5. os mesmos vetores a e b da figura anterior. Conforme
parte esquerda, faz-se
se a coincidência das origens e as extremidades restantes formam o vetor da
diferença.
Figura 5.2
Alternativamente, pode ser obtida segundo a parte direita da figura, isto é, a soma com o oposto:
a − b = a + (− b).
De forma similar à adição, o módulo da diferença não é necessariamente igual à diferença dos módulos.
Se | a − b | = | a | − | b |, então a e b têm a mesma direção.
Figura 5.3
Um outro método para a determinação gráfica da soma é a regra do paralelogramo, indicada
indica
na parte
esquerda da Figura 5.3: Juntam-se
se as origens e a diagonal do paralelogramo formado é a soma dos
vetores c=a+b. Os vetores a e b formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante c. De acordo
com a regra do paralelogramo, se a e b formam entre si um ângulo α,, o módulo do vetor resultante c será
dado pela expressão:
se usar a similar regra do paralelepípedo,, conforme parte direita da
Para vetores no espaço, pode-se
mesma figura.
Algumas propriedades da soma e da multiplicação por escalar:
a+b=b+a
A.1
(m + n) a = ma + na
A.2
m (na) = (mn)a
A.3
a + (b + c ) = (a + b) + c
A.4
m (a + b) = ma + mb
A.5
6. Coordenadas de um vetor
Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores
somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Considerando as regras da
soma vetorial, se a origem de um sistema de coordenadas xy coincide com a origem do vetor, pode-se
pode
facilmente verificar que esse vetor é igual à soma dos vetores formados por suas projeções em cada eixo.
Figura 6.1
Assim, na Figura 6.1,
A = Ax + Ay
A.1
Ou seja, os vetores e Ay são os componentes do vetor no sistema de coordenadas.
Para determinarmos os módulos das componentes Ax e Ay, devemos usar as relações trigonométricas no
triângulo retângulo. Seja α o ângulo formado entre Ax e A:
௫
∝
௫ . ∝
onde Ax é o módulo da componente horizontal Ax do vetor A . Temos ainda
௬
௬ . ∝
onde Ay é o módulo da componente vertical Ay do vetor A.
∝
Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema
de Pitágoras no triângulo formado por A e seus componentes Ax e Ay.
Sejam os vetores unitários nos eixos de coordenadas:
ux = i
uy = j
A.2
A.3
Então, A = Ax i + Ay j
A.4
Os escalares Ax e Ay são as coordenadas do vetor no sistema.
Figura 6.2
No caso de um vetor no espaço conforme Figura 6.2, acrescenta-se uma coordenada:
A = Ax i + Ay j + Az k
A.5
Onde uz = k
A.6
e os demais conforme A.2 e A.3.
Para simplificar a notação, muitas vezes é usada a forma
a{Xa, Ya, Za}
B.1
Exemplos: a{2, 3, 0}, b{−1, 12, 8}, etc.
O módulo do vetor pode ser dado por suas coordenadas:
2
2
2 1/2
|a| = (Xa + Ya + Za )
C.1
Condição de paralelismo: se os vetores a e b são paralelos, as suas coordenadas são proporcionais:
Xb / Xa = Yb / Ya = Zb / Za = c
D.1
Se o coeficiente de proporcionalidade c é positivo, eles têm a mesma direção. Se negativo, eles são
opostos (obs: se um dos coeficientes de a é nulo, fica subentendido que o correspondente de b também é
nulo).
Soma de vetores: se vetores são somados, o resultado tem as somas das coordenadas.
Seja c = a + b
E.1. Então,
Xc = Xa + Xb
Yc = Ya + Yb
Zc = Za + Zb
E.2
E.3
E.4
Multiplicação ou divisão por um escalar: as coordenadas do resultado têm a analogia.
Seja c = m a
F.1. Então,
Xc = m Xa
Yc = m Ya
Zc = m Za
F.2
F.3
F.4
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7. Produto escalar
co
do
O produto escalar dos vetores a e b é dado pelo produto dos seus módulos multiplicado pelo co-seno
ângulo entre eles. A notação clássica é a·b.
Figura 7.1
a·b = |a| |b| cos α
A.1
Notar que, graficamente, equivale à projeção de b sobre a multiplicada pelo módulo de a ou vice-versa.
Ver Figura 7.1.
Se dois vetores fazem um ângulo reto entre si, o seu produto escalar
escalar é nulo porque cos 90 = 0.
Algumas propriedades do produto escalar:
escalar
a·b = b·a
(a + b)·c = a·c + b·c
(ma)·b = m (a·b)
(ma)·(nb) = (mn) a·b
B.1
B.2
B.4
B.5
No caso particular
a·a = |a|2
C.1,
o produto é denominado quadrado escalar do vetor a.
Produto escalar em termos de coordenadas:
coordenadas consideram-se os vetores:
a {Xa, Ya, Za}
b {Xb, Yb, Zb}.
O produto escalar é dado por:
a·b = XaXb + YaYb + ZaZb
D.1.
Vetores podem ser representados em forma de matrizes de coluna. Os vetores a e b abaixo são dados por
matrizes 3×1 que contêm suas coordenadas.
Matriz transposta de outra matriz é a matriz formada pela troca de linhas com colunas. Portanto, a matriz
transposta do vetor a, ou seja, aT, é
Segundo a regra da multiplicação de matrizes,
matrizes o produto aT b é a matriz 1×1 abaixo.
Portanto, na notação matricial, o produto escalar é dado por:
a·b = aT b
E.1.
Ângulo entre dois vetores
a·b
cos α =
XaXb + YaYb + ZaZb
=
|a| |b|
F.1
(Xa2 + Ya2 + Za2)1/2 (Xb2 + Yb2 + Zb2)1/2
Condição de perpendicularidade
• Se a e b são perpendiculares entre si, então a·b = 0.
• Se a·b = 0, a e b são perpendiculares entre si.
Figura 7.2
Significado físico do produto escalar
Há inúmeros exemplos de aplicação de produto escalar em fenômenos físicos. Seja o caso do trabalho de
uma força:
No esquema da Figura 7.2,, se um ponto material se desloca de 0 até 1 sob ação de uma força F
constante, então o produto escalar de F pelo vetor 01 é o trabalho executado por essa força.
Produto escalar e soma de vetores
A Figura 7.3 dá a representação gráfica da soma simples c = a + b.. Por trigonometria, deduz-se
deduz
a relação:
2
2
2
OC = OB + BC . E pode-se
se também verificar:
Figura 7.3
OC = c.
OB = OA + AB = a + b cos φ.
BC = b sen φ.
Substituindo,
c2 = a2 + 2 a b cos φ + b2 cos2 φ + b2 sen2 φ.
Simplificando,
c2 = a2 + b2 + 2 a b cos φ. Mas a b cos φ é o produto escalar dos vetores a e b.. Portanto, em módulo, a
soma é dada por:
c2 = a2 + b2 + 2 a · b #G.1#.
Produto escalar e subtração de vetores
Figura 7.4
O caso de c = a − b equivale a c = a + (−b) conforme Figura 7.4.
Tem-se OC2 = OA2 + AC2.
OC = c.
OA = a − b cos φ.
AC = b sen φ.
c2 = (a − b cos φ)2 + b2 sen2 φ
c2 = a2 + b2 cos2 φ − 2 a b cos φ + b2 sen2 φ.
Simplificando,
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos φ, porque cos2 φ + sen2 φ = 1.. De forma similar ao caso anterior,
c2 = a2 + b2 − 2 a · b
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H.1.
8. Produto vetorial
Sejam, conforme Figura 8.1, a e b dois vetores no mesmo plano. O produto vetorial deles, simbolizado por
a × b, é um vetor tal que:
Figura 8.1
1) Seu módulo é igual à área do paralelogramo 0123, isto é,
|a × b| = |a| |b| sen α
A.1.
2) É perpendicular ao plano dos vetores a e b.
3) A direção é dada pela regra da mão direita,
direita considerando que a é o multiplicando e b, o multiplicador.
A expressão produto vetorial indica que é realmente um vetor, ao contrário do produto escalar.
Desde que a direção é determinada pela regra anterior, fica evidente que a ordem dos fatores não é
indiferente. Assim,
b × a = − (a × b)
significa que não há propriedade
ade comutativa.
B.1. Isso
Algumas propriedades do produto vetorial:
a×a=0
C.1
(a + b) × c = a × c + b × c
C.2
(ma) × b = m(a × b)
C.3
(ma) × (nb) = mn (a × b)
C.4
Produto vetorial em função de coordenadas
Sejam os vetores:
a { Xa, Ya, Za }
b { Xb, Yb, Zb }
Conforme visto em página anterior, eles podem ser representados em forma de matriz:
O produto vetorial pode ser calculado pelo determinante da matriz abaixo, onde i,
i j, k são os vetores
unitários do sistema de coordenadas.
O resultado desse determinante será uma soma de i, j, k multiplicados por números que indicam as
coordenadas do produto vetorial.
O produto vetorial pode ser também calculado com o uso do seguinte produto de matrizes.
Notar que é o produto de um matriz 3×3 por uma 3×1, resultando em uma matriz 3×1 com as coordenadas
do produto vetorial.
Significado físico do produto vetorial
Figura 8.2
Há vários exemplos físicos. Este é o caso do momento mecânico:
me
Seja, conforme Figura 8.2,, uma força F cuja distância até o ponto 0 é dada pelo vetor 01.
O produto vetorial desses dois vetores dá o momento da
da força em relação ao ponto 0.
Segundo leis da mecânica clássica, um corpo está em equilíbrio estático se a soma das forças e a soma
so
dos momentos atuantes são nulas.
Se todas as forças atuantes estão no mesmo plano ou em planos paralelos, basta considerar os produtos
dos módulos das forças pelas distâncias no cálculo dos momentos. Caso contrário, a condição de
equilíbrio só pode ser verificada com os momentos vetoriais.
http://www.mspc.eng.br/matm/vetor130.shtml