14 Aula 8 6.2.4 Momento de uma Força em Relação a um Eixo 6.2.5 Momentos Axiais Coordenados _________________________________________ 6.2.4 Momento de uma Força em Relação a um Eixo (Momento Axial) F a ua F1 u a : vetor unitário F1 : componente paralela ao eixo a-a Fe : componente eficaz. Está contida no plano π. Ma Fe d Módulo de M a : π Ma = Fe . d a Vetorialmente, também podemos colocar uma equação que representa o momento axial, Ma, acima como: a b O momento em O é calculado Mo = r × F θ O momento axial que atua no eixo a-a é a projeção de Mo sobre este eixo, e o seu módulo pode ser calculado como: M1 0 b onde ua é um vetor de módulo unitário. Logo, pela definição de produto escalar entre dois vetores, ou seja: vem que M a = ua • M o A r Ma = Mo cos θ = ua Mo cos θ u • v = uv cos θ F Ma Mo u θ v a 15 Logo, ( M a = ua • r × F ) Em álgebra vetorial, esta combinação de produto escalar e vetorial, produzindo o escalar Ma, é chamada de Produto Misto de três vetores. Em componentes cartesianas: i j k M a = u ax i + u ay j + u az k • rx ry rz Fx Fy Fz ( ) ou, finalmente: u ax u ay u az M a = u a • r × F = rx Fx ry Fy rz Fz ( ) onde a primeira linha da matriz é composta pelas componentes do vetor unitário que define a direção do eixo a-a; a segunda linha são as componentes do vetor posição, traçado de qualquer ponto O do eixo a-a até qualquer ponto A da linha de ação da força; a última linha é composta pelas componentes do vetor força. Analisando os resultados encontrados acima, podemos concluir que o vetor posição poderá ser traçado de qualquer posição sobre o eixo a-a até a força, produzindo sempre o mesmo resultado, ou seja, o momento axial Ma. A seguir, demonstra-se esta afirmação: Se, ao contrário, supormos que ao adotar vetores posição diferentes teremos momentos axiais diferentes, então estes momentos segundo a figura ao lado seriam calculados como: ( M a = ua • r × F ) ( M a '= u a • r ' ×F ) a ua O r F Ainda, podemos verificar que → r' O’ r '= O 'O + r a possibilitando-nos escrever que M a '= u a • → O'O + r × F ou seja: → [ M a '= u a • O 'O× F + u a • r × F ] donde tiramos que Ma’ = Ma, o que rejeita a suposição e confirma a afirmação feita, afinal, a primeira parcela da soma anterior é sempre nula. Isto decorre porque o produto vetorial de dois 16 vetores é um vetor perpendicular a eles e o produto escalar de dois vetores perpendiculares é zero. 6.2.5 Momentos Axiais Coordenados Os momentos axiais coordenados são os momentos da força, F, em relação aos eixos x, y e z, ou seja, são as componentes ortogonais cartesianas do momento Mo. z Mo = r × F r M zk F M o = M xi + M y j + M z k Mo γ β O y My j α x M xi Ainda, observa-se que: ( ) M x = i • r × F = i • M o = M o cos α = 1.M x + 0.M y + 0.M z M y = j • M o = M o cos β M z = k • M o = M o cos γ Além disso, conhecidos os três momentos axiais coordenados, tem-se diretamente o momento polar e vice-versa.