TRIÂNGULOS QUAISQUER
Seno e cosseno de ângulos obtusos
Para começar temos que:
Exemplos
a) Vamos determinar o valor do seno de 150º.
sen 150º = sen (180º – 150º) = sen 30º
Logo: sen 150º =
b) Vamos determinar o valor do cosseno de 150º.
cos 150º = – cos (180º – 150º) = – cos 30º
Portanto: – cos 150º = –
Lei dos senos e dos cossenos
Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles,
isto é:
A
sen Aˆ

B
sen Bˆ

C
sen Cˆ
 2R
Sendo R o raio do círculo que circunscreve o triângulo
ABC.
Lei dos cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado
é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados
menos duas vezes o produto dessas medidas pelo cosseno do
ângulo formado por esses lados, isto é:
Exemplos
Lei dos senos e cossenos
1. Num triângulo ABC, A = 40°, C = 120° e b = 0,7 cm. Calcule B, a, c e o raio da
circunferência na qual esse triângulo está inscrito.
Dados: sen 40º = 0,6
/
sen 60º = 0,9
/
sen 20º = 0,3
B = 20°, a = 1,4 cm, c = 2,1cm e R = 1,2 cm
2. Dois lados de um terreno triangular medem 50 m e formam entre si um
ângulo de 80º. Sabendo que o proprietário pretende construir uma cerca ao
redor do terreno, vamos calcular a metragem total da cerca. Observe a
representação dessa situação na figura.
Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos:
sen 50º = 0,7660 e sen 80º = 0,9848
Agora vamos aplicar a lei dos senos:
Logo, para cercar todo o terreno, serão necessários,
aproximadamente, 50 m + 50 m + 64,3 m = 164,3 m de
cerca.
3. Determine o raio de uma circunferência circunscrita a um triângulo equilátero
cujo lado mede 2√3 cm.
2 cm
Sabendo que O triângulo retângulo tem os três lados e ângulos iguais,
então cada lado mede 2 3 cm e cada ângulo mede 60°. Portanto podese usar a lei dos senos.
2 3
3
= 2𝑅 → 2𝑅 ∙ sin 60° = 2 3 → 2𝑅 ∙
= 2 3 → 𝑅 = 2 𝑐𝑚
sin 60°
2
4. Os lados de um paralelogramo ABCD medem 12 cm e 20 cm e o ângulo A
formado por eles mede 60°. Calcule a medida de suas diagonais.
28 cm e 4√19 cm
Sabendo que um paralelogramo tem os lados opostos paralelos e iguais e seus
ângulos internos consecutivos são suplementares (soma igual a 180°), então usase a lei dos cossenos para o cálculo das duas diagonais d e D.
𝑑2
𝐷2
=
122
202
+
=
122
+ 202
1
= 544 − 480 ∙ → 𝑑 2 = 304
− 2 ∙ 12 ∙ 20 ∙ cos 60° →
2
𝑑 = 304 → 𝑑 = 4 19 𝑐𝑚
𝑑2
− 2 ∙ 12 ∙ 20 ∙ cos 120° →
𝑑2
1
= 544 − 480 ∙ −
2
→ 𝑑 2 = 784
𝑑 = 784 → 𝑑 = 28 𝑐𝑚
5. Num trapézio isósceles ABCD, a base maior mede 12 cm e o lado oblíquo mede
10 cm. Calcule a medida das diagonais desse trapézio, sabendo que o ângulo
formado entre a base maior e o lado oblíquo mede 60°.
A
A
D
2
D
2
 10
2
 12
2
 2  10  12  cos 60 
 244  240 
1
2
 D
2
 124  D 
124  D  2 31 cm
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER
A área de qualquer triângulo pode ser determinada também
pela metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo
formado entre esses lados, ou seja,
B
c
área  S 
1
A
 b  c  sen A
2
a
b
C
1. Calcule a área de um triângulo ABC, sabendo que dois de seus lados medem 6
cm e 9 cm e que o ângulo formado por eles é de 45°.
Re sp . : S 
27
2
2
S
1
2
 a  b  sen 45   S 
1
2
69
2
2
 S 
27
2
2
cm
2
cm
2
2. Sabe-se que o ângulo formado pelos lados a e b de um triângulo ABC
é de 60° e que a = 5 cm. Calcule quanto mede o lado b, sendo a área
desse triângulo de 10√3 cm2.
S  10
3 
1
B = 8 cm
 a  b  sen Cˆ  10
3 
2
1
 5b 
2
b
3
 10
3
5 3
 5  b  sen 60   10
2
3 
2
40
1
5b 3
4
 b  8 cm
 10
3  5 b 3  40
3
3