NÚMEROS COMPLEXOS
Caspar
Wessel
Seu artigo fundamental,
Om directionens analytiske betegning,
(Sobre a Representação Analítica da Direção),
foi publicado em 1799 pela Real Academia de
Ciências e Letras Dinamarquesa.Por estar escrito
em dinamarquês,mal foi notado,e os mesmos
resultados foram encontrados
independentemente mais tarde por
Argand e Gauss.
Jean Robert Argand
Carl Friedrich Gauß

O conceito de número complexo teve um desenvolvimento gradual. Começaram
a ser utilizados informalmente no século XVI em fórmulas de resolução de equações de
terceiro e quarto graus. Por exemplo, a equação

x3 − 15x − 4 = 0
E a solução gera uma raiz negativa
121  121.(1)  11. 1
121  121.(1)  11. 1
O matemático suíço Leonard Euler , por uma conveniência de escrita,,resolveu representar
a
isto é ,
1
pela letra
1
i,
= i .Logo,voltando a
 121
 121
= 11. 1
= 11.i
 121
podemos representá-lo por :

Z = a + bi (forma algébrica)
Parte
imaginaria
Parte real
*Todo numero real é também complexo
*Nem todo complexo é um numero real
*Todo numero imaginário é também
complexo
Z = a +bi
z=a – bi
troca o sinal da parte
imaginária
Dado o número complexo Z, na forma algébrica (Z=a+bi),
define-se o complexo do conjugado de Z como Z=a-bi
Ou seja, troca-se o sinal da parte imaginária
Percebe-se que os valores das potências
de i se repetem no ciclo
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a
partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer
potência inteira de i , basta elevá-lo ao
resto da divisão do expoente por 4.
Assim , podemos resumir:
in = i4q+r = ir
onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da
divisão de n por 4). E q é o quociente da
divisão de n por 4.
Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos
resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
O plano complexo , também chamado de plano de Argand-Gauss é
uma representação geométrica do conjunto dos números complexos.
O numero z=a+bi pode ser associado ao
par ordenado z=(a;b)
Eixo imaginário
Z = 8 + 6i
Eixo real
Soma e subtração
Z
Vamos considerar dois números complexos
1
=10-2i
Soma
Z 1 + Z2 = (10-2i)+(-7+6i)
Z 1 + Z2 = (10-7)+(-2+6)i
Z 1 + Z2 = 3 + 4i
Ou seja
Z
1
+ Z2 = (a+bi)+(c+di)
Zn + Zp = (a+c)+(b+d)i
e Z2 = -7+6i
Subtração
Z1 - Z2 = Z 1 + ( - Z2 )
Z 1 - Z2 = (10-2i) - (-7+6i)
Z 1 - Z2 = (10-2i) + (+7-6i)
Z 1 - Z2 = (10+7) + (-2-6)i
Z 1 - Z2 = 17 - 8i
Ou seja
Z 1 + Z2 = (a+bi)-(c+di)
Z 1 + Z2 = (a+bi)+(-c-di)
Zn + Zp = (a-c)+(b-d)i
Multiplicação
Vamos considerar dois números complexos
Z 1 =10-2i e Z2 = -7+6i
Z1 . Z2 = (10 – 2i ) . ( -7 + 6i )
(10 ) . ( -7 ) + (10 ) .(+6i ) +( -2i ) . (-7 ) +( -2i ) .( +6i )
( -70 ) + (60i ) + (+14i ) + (-12i² )
( -70 ) + ( 74i ) + [ -12 ( -1 ) ]
( -70 ) + (+12 ) + 74i
-58 +74i
Dados Zn = a +bi e Zp = c +di
Ou seja
Zn . Zp = (a+bi).(c+di)
Zn . Zp = ac+adi+cbi+bidi
=ac +adi +cbi +bd(i²)
=ac +(ad +cb )i + bd( -1 )
=( ac – bd ) + (ad + cb )i
Divisão
Considerando dois números complexos Z1 = 2+3i e Z2 = 1+ 4i. Então faremos a divisão de
Z1 por Z2.
Z1 2  3i

Z 2 1  4i
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador
Z 1 (2  3i) (1  4i )

x
Z 2 (1  4i) (1  4i )
Z 1 2.(1  4i )  3i.(1  4i )

Z2
12  (4i ) 2
Z 1 2  8i  3i  12i 2

Z2
1  16i 2
Z 1 14  5i

Z2
17
Definimos o modulo P do
número complexo como
P  a 2  b2


P  a 2  b2
Definimos o argumento
do número complexo
como o ângulo formado
entre o eixo real e o vetor
complexo.
•
•
cos β=a/p ,então a=p.(cos β)
sen β=b/p ,então b=p.(sen β)
Substituindo na forma algébrica temos:
Z=a+bi
Z=p.(cos β)+p.(sen β)i
Z=p.[cos β + (sen β)i]