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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Matemática
Leis dos cossenos e dos senos: do surgimento à aplicabilidade
Franciney Cristina Bastos
Anápolis
2014
1
Franciney Cristina Bastos
Leis dos cossenos e dos senos: do surgimento à aplicabilidade
Trabalho
de
Curso
apresentado
a
Coordenação Adjunta de TC, como parte
dos requisitos para obtenção do título de
Graduada no Curso de Licenciatura em
Matemática da Universidade Estadual de
Goiás sob a orientação da professora
Msc. Selma Marques de Paiva.
Anápolis
2014
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3
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, meu Senhor, que me fortalece e renova
todas as manhãs, e que me chamou pra vencer. Sem Ele jamais teria chegado onde
estou. Todas as minhas conquistas e vitórias são unicamente para Glória do Senhor
Jesus, meu único e eterno Libertador e Salvador. A Ele, minha luz, meu caminho,
minha verdade, minha força e minha vida, devo tudo o que sou.
À minha família. Ao meu pai Manoel, por me incentivar sempre a
perseverar nos estudos, por acreditar no meu potencial, pelo seu imenso carinho e
dedicação, meu exemplo de luta e honestidade. À minha irmã Marcinei, por me
apoiar em toda esta trajetória, estar ao meu lado em todas as situações, me
ajudando a enfrentar os momentos difíceis, acreditando sempre na minha vitória,
minha melhor amiga. À minha irmã Noronei, que sempre estendeu sua mão quando
precisei, me mostrando que eu nunca estaria sozinha. Ao meu sobrinho Higor, que
foi a maior benção que Deus já nos concedeu, que nos alegra e fortalece o sentido
de nossas vidas, nosso presente Divino. À minha mãe, que hoje não está mais entre
nós, que me amou com todas as suas forças e me educou para a vida, mais do que
com palavras, mas com os próprios exemplos, que sempre batalhou para
proporcionar o melhor para nossa família e que, com sua imensa generosidade,
força e proteção, me ensinou em alguns anos de vida o que muitos não encontram
em toda a existência: a força do amor, da fé e da família.
A todos os professores, mestres da formação, que de forma direta ou
indireta, me proporcionaram um crescimento intelectual e pessoal, especialmente a
minha orientadora Selma Marques, o professor Kelvin Couto, que me estimulou a
sempre acreditar em mim mesma e superar meus limites e o professor Cleber
Carrasco, exemplo de conduta profissional.
Aos meus amigos que estiveram e permaneceram ao meu lado.
4
"Sempre me pareceu estranho que todos
aqueles
que
estudam
seriamente
esta
ciência acabam tomados de uma espécie de
paixão pela mesma. Em verdade, o que
proporciona o máximo de prazer não é o
conhecimento e sim a aprendizagem, não é
a posse, mas a aquisição, não é a presença,
mas o ato de atingir a meta."
(Carl Friedrich Gauss)
5
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Circunferência de diâmetro d ..................................................................... 14
Figura 2: Triângulo acutângulo .................................................................................. 19
Figura 3: Triângulo obtusângulo ................................................................................ 21
Figura 4: Triângulos ABC e BCD, inscritos numa circunferência de raio R ............... 22
Figura 5: Triângulos ABC e ACE, inscritos numa circunferência de raio R ............... 23
Figura 6: Triângulos ABC e ABF, inscritos numa circunferência de raio R................ 24
Figura 7: Vetor resultante , de duas forças
e
.................................................. 25
Figura 8: Representação gráfica do exemplo 1 ......................................................... 26
Figura 9: Triângulo ilustrativo do exemplo 1 .............................................................. 27
Figura 10: Representação gráfica do exemplo 2 ....................................................... 27
Figura 11: Representação gráfica do exemplo 3 ....................................................... 29
Figura 12: Triângulo ABC, reto em ......................................................................... 35
Figura 13: Triângulo ABC, reto em ......................................................................... 36
Figura 14: Triângulo ABC, reto em ......................................................................... 37
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RESUMO
O trabalho discorre sobre as leis dos cossenos e dos senos. Apresenta uma síntese do panorama
histórico da Trigonometria, desde o seu surgimento aos dias atuais, expondo também a teoria e a
demonstração das leis. Abrange as aplicações dessas leis nas mais diversas situações, além de
discutir acerca da importância de inserir as aplicações desse conteúdo nos planejamentos de aula do
Ensino Médio. A escolha do tema surgiu de um interesse particular em relação às aplicações do
conhecimento matemático, em particular, a Trigonometria. Sendo uma pesquisa de natureza
bibliográfica, foi realizada uma leitura sobre o assunto, em vários trabalhos acadêmicos, como
dissertações e teses. O resultado do trabalho apresenta as aplicações das leis dos cossenos e dos
senos, ratificando sua importância nas aulas do Ensino Médio, e sugere algumas metodologias de
ensino deste conteúdo.
Palavras-chave: Aplicações; Ensino-aprendizagem; Leis dos cossenos e dos senos;
Trigonometria
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 8
Capítulo 1 .................................................................................................................. 11
PANORAMA HISTÓRICO - TRIGONOMETRIA ........................................................ 11
1.1.
Primeiras noções.......................................................................................... 11
1.2.
Relação entre a função corda e a função seno ............................................ 12
1.3.
Principais matemáticos que se dedicaram ao estudo da Trigonometria ...... 14
Capítulo 2 .................................................................................................................. 18
LEIS DOS COSSENOS E DOS SENOS ................................................................... 18
2.1.
Lei dos cossenos.......................................................................................... 18
2.2.
Lei dos senos ............................................................................................... 21
Capítulo 3 .................................................................................................................. 25
APLICAÇÕES DIVERSAS ........................................................................................ 25
Capítulo 4 .................................................................................................................. 31
ENSINO-APRENDIZAGEM DAS LEIS DOS COSSENOS E DOS SENOS .............. 31
4.1.
O papel da matemática e as dificuldades no ensino-aprendizagem ............ 31
4.2.
Metodologias de ensino ............................................................................... 33
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 39
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 41
8
INTRODUÇÃO
A Trigonometria é considerada um dos conteúdos mais difíceis da
Matemática. Por sua natureza abstrata, a compreensão se torna mais complexa.
Como parte desta unidade temática, as leis dos cossenos e dos senos ainda têm um
grau maior de dificuldade, devido às fórmulas envolvidas em seu estudo. Além disso,
quando os alunos não veem utilidade em determinado conteúdo, relutam em
aprendê-lo, e a remota pergunta surge: “Onde eu vou usar isso professor?”. Este
problema da falta de utilidade do conteúdo, em alguns casos devido ao material
adotado pelo professor, como o livro didático, é corroborado por Pinheiro (2008, p.
35), que afirma:
Percebemos também, principalmente nas unidades finais dos capítulos, a
falta de atividades de aplicações da Trigonometria em outras áreas do
conhecimento. Ainda há falta de interações e relações mais significativas
entre a Trigonometria e outras áreas das Ciências.
No entanto, apesar de toda essa dificuldade, é também um conteúdo que
tem uma importância especial em diversos setores da atividade humana. Quase tão
antiga
quanto
a
própria
Matemática
em
si,
a
Trigonometria
contribuiu
essencialmente para o progresso da Ciência. Sem ela, os antigos egípcios não
teriam construído as magnas pirâmides, não seria possível o desenvolvimento da
Astronomia e as grandes navegações estariam fortemente comprometidas.
E na atualidade, sua utilidade vai além: na Mecânica, Eletricidade,
Engenharia Civil, Topografia e até mesmo na Música e Acústica. Assim também são
as leis em questão: elas são indispensáveis na Física, em construções diversas, no
cálculo de distâncias inacessíveis, e em outras situações, conforme consta nas
Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006, p. 74):
Problemas de cálculos de distâncias inacessíveis são interessantes
aplicações da trigonometria, e esse é um assunto que merece ser priorizado
na escola. Por exemplo, como calcular a largura de um rio? Que referências
(árvore, pedra) são necessárias para que se possa fazer esse cálculo em
diferentes condições – com régua e transferidor ou com calculadora?
E foi essencialmente do interesse pelas aplicações da Matemática, em
especial da Trigonometria, que resultou a escolha do tema deste trabalho: as leis
dos cossenos e dos senos. Os pilares do trabalho são: o surgimento, o
9
desenvolvimento e principalmente as aplicações das leis, e também o processo de
ensino-aprendizagem desse conteúdo.
Foi feita uma revisão bibliográfica acerca do assunto em livros de História
da Matemática, livros de Matemática do Ensino Médio, documentos eletrônicos com
conteúdos relacionados ao tema, e também em documentos eletrônicos da
Secretaria de Educação Básica e da Secretaria de Estado de Educação do Rio de
Janeiro, como os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais) e outras orientações
pedagógicas complementares. Em relação aos objetivos e abordagem, trata-se de
uma pesquisa bibliográfica e qualitativa.
O presente trabalho está dividido em quatro capítulos. No primeiro
capítulo, encontra-se uma síntese sobre o surgimento e desenvolvimento da
Trigonometria, bem como das leis dos cossenos e dos senos; e de alguns elementos
referentes ao tema, por exemplo, as tábuas trigonométricas, a origem da palavra
seno, identidades trigonométricas, relação da Trigonometria com o cálculo
infinitesimal e com a Análise Matemática. Ainda faz referência aos principais
estudiosos matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento da Trigonometria.
O capítulo 2 descreve a teoria das leis, as definições e as demonstrações.
A lei dos cossenos é verificada geometricamente, e são analisados dois casos: do
triângulo acutângulo e do triângulo obtusângulo. A prova da lei dos senos é
apresentada considerando o triângulo inscrito numa circunferência e as implicações
desta propriedade.
As principais aplicações das leis são explanadas no capítulo 3. Através de
exemplos práticos, são apresentadas as utilizações. Na Física: a lei dos cossenos é


necessária para o cálculo da intensidade da resultante de duas forças, F1 e F2 , que
formam entre si um ângulo α. Na Engenharia: tanto a lei dos cossenos quanto a dos
senos possibilitam o cálculo de distâncias e alturas. E na própria Matemática, sendo
necessárias para a resolução de triângulos quaisquer. Os problemas apresentados
são práticos, estimulam o raciocínio e suas soluções são objetivas.
As dificuldades do ensino-aprendizagem, as metodologias de ensino e a
importância deste conteúdo estão descritas no capítulo 4. Procurou-se discorrer
sobre as dificuldades na compreensão da Trigonometria, as causas dessa
10
dificuldade, além de ressaltar os pré-requisitos para o estudo das leis dos cossenos
e dos senos. São mencionadas as propostas dos Parâmetros Curriculares
Nacionais, e ainda neste capítulo elaboramos algumas sugestões de exercícios.
Espera-se que o mesmo seja um material de consulta para todos aqueles
que têm interesse em aprimorar seus conhecimentos sobre o tema e como facilitador
de estudo para os que têm dificuldade nesse conteúdo. Para aqueles que ainda têm
resistência ao assunto ou não veem utilidade do mesmo, pretende-se esclarecer as
aplicações das leis dos cossenos e dos senos em problemas diversos da atividade
humana. Enfim, o trabalho designa socializar o conhecimento, investigando
metodologias que contribuem para um ensino-aprendizagem de qualidade.
11
Capítulo 1
PANORAMA HISTÓRICO – TRIGONOMETRIA
1.1.
Primeiras noções
A Trigonometria (do grego, trigonos = triângulo e metria = medida) é o
estudo da relação entre as medidas dos lados e dos ângulos num triângulo, e seu
surgimento não tem uma data específica. Os registros históricos sobre os antigos
estudos realizados nesse ramo da Matemática são escassos, pois naquela época o
modo de registro era apenas o escrito; como este era bastante precário perdeu-se
muito das observações realizadas.
Entretanto, pode-se deduzir que as primeiras noções de Trigonometria
surgiram com os egípcios e os babilônicos. No papiro de Rhind (antigo Egito)
encontramos conceitos primários relacionados à trigonometria, como a cotangente
de um ângulo. Esse conceito era necessário na construção das pirâmides, para
calcular a inclinação (do egípcio, seqt) de suas faces. Essas noções primárias
culminariam, mais tarde, na função tangente.
E na Babilônia, entre 1900 a.C. e 1600 a.C., na placa babilônica
Plimpton322 foi compilada uma considerável tábua de secantes. Foram as
observações e estudos relacionados à Astronomia, sobretudo pelos babilônicos, que
impulsionaram o desenvolvimento da Trigonometria.
Ainda relativamente à Astronomia, através dos escritos históricos,
verificamos que os antigos egípcios e árabes acreditavam na teoria do universo
geocêntrico. Segundo o geocentrismo, que é o modelo cosmológico mais antigo, o
Sol girava em torno da Terra numa órbita que durava 360 dias para realizar uma
volta completa. Assim, a cada dia, o Sol percorria um arco de circunferência da sua
órbita. Eles relacionaram esse arco a um ângulo, que tinha como vértice o centro da
Terra e cujos lados estendiam-se até as extremidades desse arco. Esse ângulo se
tornou uma unidade de medida e recebeu o nome de grau. Embora um grau seja
considerado pequeno, os estudos astronômicos lidam com circunferências bem
12
grandes e os cálculos exigem precisão, de modo que os estudiosos sentiram
necessidade de unidades menores que o grau. Foi assim que resolveram dividir o
grau em 60 partes iguais, cada uma dessas partes representando um minuto. Na
busca por unidades ainda menores, houve a divisão do minuto: dividiram-no em 60
partes iguais, sendo cada parte correspondente a um segundo.
Já o grado corresponde a um ângulo central de uma circunferência
dividida em 400 partes. Segundo alguns estudiosos, a unidade surgiu como forma
de arredondamento de valores nos cálculos.
1.2.
Relação entre a função corda e a função seno
Alguns estudiosos gregos utilizaram em suas pesquisas, conceitos como
cordas, ângulos, círculos e a relação entre eles. Por exemplo, Eudoxo (408-355?
a.C.) utilizou medidas de ângulos para mensurar a extensão da Terra. Aristarco, que
viveu por volta de 300 a.C. deduziu as distâncias do Sol e da Lua e, para isso
utilizou o equivalente a uma desigualdade que envolve o seno e a tangente de dois
ângulos agudos.
Apesar de não haver ainda uma Trigonometria ordenada e sistemática, as
leis dos senos e cossenos já estavam presentes em antigas obras, embora não
estivessem formuladas como hoje as conhecemos. Segundo afirma Boyer (1996,
p.108),
Nas obras de Euclides não há trigonometria no sentido estrito da palavra,
mas há teoremas equivalentes a leis ou fórmulas trigonométricas
específicas. As Proposições II.12 e II.13 de Os elementos, por exemplo, são
as leis de co-senos para ângulos obtuso e agudo respectivamente [...] Os
teoremas sobre comprimentos de cordas são essencialmente aplicações da
lei dos senos.
É interessante ressaltar, como observa Contador (2008), que inicialmente
a Trigonometria era fundamentada na função corda (de um arco de círculo) e
atualmente, na função seno. A seguir veremos a relação entre as duas.
Seja d o diâmetro de uma circunferência dada (Fig. 1). Tracemos os raios
CM e CN, e depois a corda MN. Seja α o ângulo MĈN , onde C é o centro da
circunferência. Em seguida, tracemos o diâmetro de modo que este seja
perpendicular à corda MN, interceptando-a em seu ponto médio P. Desse modo, o
13
diâmetro coincidirá com a bissetriz do ângulo α. Como o ângulo MP̂C é reto, temos
que:
sen
α
MP
=
2
CM
(1.1)
Mas CM é também o raio da circunferência isto é, a metade do diâmetro. Assim:
CM =
d
2
(1.2)
Substituindo esse resultado na equação (1.1):
sen
α
MP
=
d
2
2
⇒ sen
α
2 MP
=
2
d
(1.3)
Mas 2 MP = MN. Então
sen
α
MN
α
=
⇒ MN = d sen
2
d
2
(1.4)
MN é a corda correspondente ao ângulo α, de tal modo que as duas funções ficam
relacionadas pela seguinte expressão:
crd α = d sen
α
2
(1.5)
14
Figura 1: Circunferência de diâmetro d
Obs: Essa relação também pode ser expressa por:
crd α = 2 sen
α
2
(1.6)
uma vez considerada a circunferência com raio unitário.
1.3.
Principais matemáticos que se dedicaram ao estudo da Trigonometria
Hiparco de Nicéia, astrônomo e matemático grego (por volta de 180-125
a.C.) foi considerado o pai da Trigonometria. A honra deve-se ao seu trabalho
pioneiro de publicar a primeira tabela trigonométrica. O motivo da compilação da
tabela foi a utilização desta em seus estudos astronômicos. A ele também é
atribuída, na Grécia, a introdução da divisão do círculo em 360°. Um de seus
principais trabalhos é constituído de 12 livros, nos quais ele dedicou-se à construção
de uma tábua de cordas.
Depois de Hiparco, a maior contribuição para o desenvolvimento da
Trigonometria foi dada por Cláudio Ptolomeu, por volta do século II da Era Cristã.
Este escreveu a que tem sido considerada a obra trigonométrica mais expressiva da
15
antiguidade, denominada Almagesto. Nessa publicação, Ptolomeu organizou uma
tábua de cordas, que contém os comprimentos das cordas dos ângulos centrais de
um círculo dado, para os ângulos de 0° a 180°. Ptolomeu também estudou outros
conteúdos pertinentes à Trigonometria, como por exemplo, o seno da soma e
diferença de dois arcos.
A construção de tábuas trigonométricas não ficou restrita aos gregos: os
hindus também realizaram esse trabalho, ainda que tivessem uma Trigonometria
mais aritmética do que geométrica.
Durante
todo
este
tempo
a
Trigonometria
existia
quase
que
exclusivamente em função da Astronomia. Somente por volta do século XIII, com os
árabes, ela ganhou nova direção. Como ramo da Matemática, desenvolveu-se
fundamentada na geometria.
Aos árabes também é atribuída a origem da palavra seno. Embora os
hindus, por volta do século V d.C. já estivessem utilizando tabelas de senos em
substituição às de cordas, a Trigonometria ainda era baseada no estudo das cordas.
Dessa forma, os árabes adotaram o termo hindu jiva, que significa corda e
traduziram-na como jyã, mais tarde jiba. Como em árabe usualmente são escritas
apenas as consoantes das palavras, o termo jiba ficou conhecido como jb. Mais
tarde utilizaram a palavra jaib, cujo significado é enseada ou baía. Porém, foi
traduzida para o latim como sinus, que resulta em seno, cujo significado é curvatura.
(CONTADOR, 2008)
O matemático muçulmano Abû’l-Wefâ (940-998) já utilizava o equivalente
à fórmula do arco duplo (sen 2α = 2 sen α cos α ) e introduziu a função tangente na
Trigonometria, que como parte da Matemática, começou a ser aplicada na
Cartografia e também na Topografia.
Posteriormente, o italiano Leonardo Fibonacci escreveu uma de suas
principais obras, Practica Geometriae (1220), na qual apresenta importantes
aplicações trigonométricas.
Um trabalho mais completo sobre Trigonometria foi escrito por
Regiomontanus, em 1464, no qual escreveu sobre Trigonometria Plana e Esférica.
16
Neste livro fez também uma demonstração da lei dos senos. Ainda contribuiu para o
desenvolvimento da Trigonometria com o cálculo de tabelas de senos e tangentes.
Entre os séculos XV e XVI, a Trigonometria mais uma vez teve seu
desenvolvimento impulsionado por estudos relacionados à Astronomia. Nicolau
Copérnico (1473-1543), astrônomo que propôs o sistema heliocêntrico, efetuou
novos cálculos em Astronomia posicional. Em seu livro De Revolutionibus Orbium
Coelestium desenvolveu importantes conceitos trigonométricos.
As funções trigonométricas foram definidas por Rheticus (1514-1576), a
partir de relações entre os lados de um triângulo retângulo, no qual considerou o
seno de um ângulo em substituição ao seno de um arco.
Nesse mesmo período surgiram algumas nomenclaturas e abreviações:
os termos co-sinus (cosseno) e cotangente, que significam respectivamente o seno
e a tangente do complemento de um ângulo, por Edmund Gunter em 1620, e as
abreviaturas sen, cos, tan, sec, cossec e cotg para seno, cosseno, tangente,
secante, cossecante e cotangente, respectivamente, que estão presentes nos
trabalhos de Albert Girard, de 1626, e de William Oughtred, de 1657.
Algumas identidades trigonométricas já estavam sendo estudadas na
época. Na França, François Viète (1540-1603) demonstrou a igualdade
sen α - sen β = 2 cos
α+β
α-β
cos
2
2
(1.7)
e ainda chegou a fórmulas para ângulos múltiplos: sen nx e cos nx. Em sua obra
Variorum de rebus mathematicis, há um enunciado equivalente a atual lei das
tangentes:
a+b
A+B
tan
2 =
2
a-b
A-B
tan
2
2
(1.8)
Durante quase dois milênios de existência, a Trigonometria esteve
fortemente ligada à Astronomia. Os números utilizados nos cálculos astronômicos
17
eram muito grandes, o que dificultava a realização das operações de multiplicação e
divisão. O objetivo de facilitar os cálculos e a preocupação com as relações
funcionais ocasionou a prostaférese (do grego prosthaphaeresis, cujo significado é
adição ou subtração), isto é, a transformação de produto de funções em soma ou
diferença.
Por volta do século XVII, revelaram-se aplicações dos estudos
trigonométricos na refração e outros ramos da Física. A relação com a Física
estimulou o surgimento de outra unidade de medida angular: o radiano, instituída em
1873, por Thomas Muir e James T. Thompson. Esta unidade proporcionou maior
exatidão e facilidade nos cálculos trigonométricos e na Física tem grande
importância no estudo de movimentos curvilíneos.
O avanço do conhecimento matemático e o desenvolvimento da
Geometria Analítica no século XVII, com René Descartes, expandiram o estudo das
curvas. Nesse contexto histórico, apresentou-se o prelúdio dos gráficos de funções
trigonométricas. Gilles Personne de Roberval, em 1635 realizou o primeiro esboço
da curva seno. Outro matemático de destaque no estudo das funções
trigonométricas foi John Wallis (1616-1703), que ilustra um gráfico de dois períodos
da função seno em seu livro Mecânica.
A Trigonometria também esteve fortemente ligada ao cálculo infinitesimal.
Newton (1642-1727) deduziu a série para sen x, a partir do estudo de séries infinitas;
Roberval demonstrou ainda que:
∫ sen x dx = cos a b
a
cos b
(1.9)
O progresso da Trigonometria veio principalmente com Euler (1707-1783),
responsável pela criação da função “e”, que associa a cada número um ponto de um
determinado círculo C de raio unitário e cujo centro está na origem de um plano
cartesiano. Dessa maneira podem ser definidas as funções seno e cosseno de um
número real e não de um ângulo, como era anteriormente necessário.
Finalmente, as funções trigonométricas estiveram presentes na Análise
Matemática a partir de Jean-Baptiste Joseph Fourier, com estudos sobre
movimentos periódicos e as séries de Fourier.
18
Capítulo 2
LEIS DOS COSSENOS E DOS SENOS
Como visto no capítulo anterior, as leis dos senos e dos cossenos, que
podemos entender como relações entre os elementos de um triângulo, já eram
conhecidas há cerca de 2000 anos e estão presentes nas obras de Euclides e
também de Ptolomeu, não estavam formuladas da maneira que hoje conhecemos,
mas em essência eram as correspondentes leis. Por volta do século XV,
Regiomontanus fez uma demonstração da lei dos senos. Seguidamente, veremos o
enunciado de tais leis bem como suas demonstrações.
2.1.
Lei dos cossenos
Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos
quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados
pelo cosseno do ângulo formado por eles. Para um triângulo de lados a, b e c, por
exemplo, temos: a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos  .
A seguir, faremos uma demonstração geométrica da lei dos cossenos.
Demonstração:
Seja ABC um triângulo qualquer. Consideraremos dois casos, a saber,
quando o triângulo é acutângulo e quando é obtusângulo.

1º CASO: o ângulo  é agudo ( < 90°) – ver Figura 2.
Traçando a altura h relativamente ao ângulo Cˆ , obtemos o Δ BCD, reto
em D. Pelo teorema de Pitágoras:
a2 = h 2 + y 2
(2.1)
No Δ ACD, também reto em D, temos:
b2 = h 2 + x 2 ⇒ h2 = b 2 - x 2
(2.2)
19
Substituindo (2.2) em (2.1):
a2 = b 2 - x 2 + y 2
(2.3)
Mas,
c=x+y ⇒ y=c-x
(2.4)
Levando essa última relação em (2.3):
a 2 = b 2 - x 2 + (c - x) 2
⇒ a2 = b 2 - x 2 + c 2 - 2 c x + x 2
(2.5)
⇒ a2 = b 2 + c 2 - 2 c x
Do Δ ACD tem-se que:
x
cos Aˆ =
⇒ x = b cos Aˆ
b
(2.6)
Substituindo (2.6) em (2.5):
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos Aˆ
(2.7)
c.q.d.
Figura 2: Triângulo acutângulo
20
As demonstrações de que:
b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos Bˆ
c = a + b - 2 a b cos Cˆ
2
2
(2.8)
2
são análogas.

2º CASO: o ângulo  é obtuso ( > 90°) – ver Figura 3.
Através do prolongamento do lado AB, traçamos a altura h relativa a este
lado.
No triângulo BCD, pelo Teorema de Pitágoras:
a 2 = (c + x )2 + h 2
(2.9)
No triângulo ACD, pelo mesmo Teorema:
b2 = h 2 + x 2 ⇒ h2 = b 2 - x 2
(2.10)
Levando (2.10) em (2.9):
a 2 = (c + x) 2 + b 2 - x 2
⇒ a2 = c 2 + 2 c x + x 2 + b 2 - x 2
(2.11)
⇒ a2 = b 2 + c 2 + 2 c x
Sabemos que o cosseno de um ângulo obtuso é oposto ao cosseno do suplemento
desse ângulo, então:
cos  = - cos ( 180° - Â) = x
cos  = b
x
b
(2.12)
⇒ x = - b cos Â
(2.12) em (2.11):
a 2 = b 2 + c 2 + 2 c (- b cos Â)
(2.13)
⇒ a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos Â
c.q.d.
21
Figura 3: Triângulo obtusângulo
Por raciocínio análogo mostra-se que:
b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos B̂
(2.14)
c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos Ĉ
2.2.
Lei dos senos
Em qualquer triângulo, a proporção entre os lados e os senos dos ângulos
opostos aos respectivos lados se mantém constante e igual à medida do diâmetro
da circunferência circunscrita ao triângulo. Num triângulo cujos lados medem a, b e
c, por exemplo, vale:
a
sen Â
=
b
sen B̂
=
c
sen Ĉ
= 2 R.
Demonstração:
Seja um triângulo qualquer inscrito numa circunferência de raio R, como o
da figura 4. Denominando este triângulo por ABC, temos: lado a, oposto ao ângulo
A; lado b, oposto ao ângulo B; e lado c, oposto ao ângulo C. Tracemos o diâmetro a
partir do vértice B até a extremidade D. Unindo este ponto D ao vértice C, obtemos o
triângulo BCD.
22
Figura 4: Triângulos ABC e BCD, inscritos numa circunferência de raio R
Por estar inscrito numa semicircunferência, este triângulo é retângulo; e
por determinarem a mesma corda na circunferência concluímos que os ângulos A e
D são iguais. Então:
 = D̂ ⇒ sen  = sen D̂ ⇒ sen  =
a
a
⇒
= 2R
2R
sen Â
(2.15)
Traçando agora o diâmetro a partir do vértice C até a extremidade E, e
ligando esta ao vértice A temos o triângulo ACE, reto em A por também estar contido
numa semicircunferência (Figura 5).
23
Figura 5: Triângulos ABC e ACE, inscritos numa circunferência de raio R
Verificamos ainda que os ângulos B e E são iguais por determinarem a
mesma corda. Então:
B̂ = Ê ⇒ sen B̂ = sen Ê ⇒ sen B̂ =
b
b
⇒
= 2R
2R
sen B̂
(2.16)
Analogamente, traçaremos o diâmetro a partir do vértice A até a
extremidade F, e em seguida ligaremos este ponto ao vértice B. Assim obtemos o
triângulo ABF reto em B (Figura 6).
24
Figura 6: Triângulos ABC e ABF, inscritos numa circunferência de raio R
Os ângulos C e F são iguais, pois definem a mesma corda. Logo:
Ĉ = F̂ ⇒ sen Ĉ = sen F̂ ⇒ sen Ĉ =
c
c
⇒
= 2R
2R
sen Ĉ
(2.17)
De (2.15), (2.16) e (2.17) concluímos que:
a
sen Â
=
b
sen B̂
=
c
sen Ĉ
=2R
(2.18)
25
Capítulo 3
APLICAÇÕES DIVERSAS
Como visto, desde o surgimento e durante seu desenvolvimento, a
Trigonometria restringia-se ao estudo dos triângulos e estava relacionada
à Astronomia. Atualmente, seu emprego projeta-se também em outras áreas da
Matemática, como na Análise. Uma importante obra que aborda um tratamento
analítico da Trigonometria é Miscelânea Analítica, escrita por Moivre em 1730. Na
atividade humana, também notamos a utilidade da Trigonometria, como por
exemplo, na Mecânica, Eletricidade, Engenharia Civil, Topografia e até mesmo na
Música e Acústica.
Particularmente, a lei dos senos é utilizada para a resolução de triângulos
quaisquer: em muitos exercícios de trigonometria é necessário calcular a medida de
um dos lados de um determinado triângulo sendo dadas as medidas dos outros dois
lados e do ângulo formado por estes lados. Neste caso, a ferramenta utilizada é a lei
dos cossenos. Essa lei ainda permite calcular todos os ângulos de um triângulo, se
forem conhecidas as medidas dos três lados.
As aplicações da lei dos cossenos não se limitam à disciplina de
Matemática. Na Física, temos que a força é uma grandeza vetorial e como tal dever
ser calculada vetorialmente. Então a fórmula para se calcular a intensidade da


resultante de duas forças, F1 e F2 , que formam entre si um ângulo α, é a própria lei
dos cossenos, como na ilustração abaixo:



Figura 7: Vetor resultante R , de duas forças F1 e F2
26
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC da figura 7, temos:
R 2 = F12 + F2 2 - 2 F1 F2 cos (180° - α )
(3.1)
Como cos (180° - α) = - cos α
R 2 = F12 + F2 2 - 2 F1 F2 (- cos α )
⇒ R = F + F2 + 2 F1 F2 cos α
2
2
1
2
(3.2)

expressão que nos fornece a intensidade da resultante R .
Em construções diversas também se faz necessária a aplicação da lei dos
cossenos, como nos exemplos seguintes:
Exemplo 1. (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada
e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50 m de distância. A casa está a 80 m
de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água-bomba
e caixa-d’água-casa é de 60º. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de
captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?
Fonte: GIOVANNI, José Ruy.; BONJORNO, José Roberto.; Júnior, José Ruy
Giovanni. Matemática fundamental. São Paulo: FTD, 1994. Volume único.
Figura 8: Representação gráfica do exemplo 1
Solução:
Temos o seguinte triângulo ilustrativo:
27
Figura 9: Triângulo ilustrativo do exemplo 1
Utilizando a lei dos cossenos, na figura 9 teremos:
x 2 = 80 2 + 50 2 - 2 × 80 × 50 × cos 60°
x 2 = 6400 + 2500 - 8000 × 0,5
x 2 = 6400 + 2500 - 4000
x 2 = 4900 ⇒ x =
4900 ⇒ x = 70
Portanto, para bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, são
necessários 70 metros de encanamento.
Exemplo 2. Pretende-se construir uma passarela ligando as sacadas de dois
prédios. Para calcular seu comprimento, foram esticadas duas cordas dessas
sacadas até o solo, como mostra a ilustração na figura 10. Com os dados da figura
10, determine a medida aproximada da passarela e as medidas dos ângulos B̂ e Ĉ .
Figura 10: Representação gráfica do exemplo 2
28
Solução:
AC = b = 20 m
AB = c = 18 m
 = 30°
Precisamos calcular BC = a, B̂ e Ĉ
Pela lei dos cossenos, temos:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos Aˆ
⇒ a 2 = 20 2 + 18 2 - 2 × 20 × 18 × cos 30°
⇒ a 2 = 400 + 324 - 720 ×
Substituindo
3
2
3 = 1,7 , temos:
a 2 = 400 + 324 - 720 × 0,85 ⇒ a 2 = 400 + 324 - 612
⇒ a 2 = 112 ⇒ a = 112 ⇒ a ≈ 10,6
Utilizando a lei dos senos:
a
b
10,6
20
10,6
20

⇒
=
⇒
=
sen 30°
0,5
sen B̂
sen B̂
sen  sen B̂
20
⇒ 21,2 =
⇒ sen B̂ ≈ 0,94 ⇒ B̂ ≈ 70 o
sen B̂
Através do cálculo da soma dos ângulos internos do triângulo:
 + B̂ + Ĉ = 180° ⇒ 30° + 70° + Ĉ = 180°
⇒ Ĉ = 180° - 30° - 70° ⇒ Ĉ = 80°
Logo, a medida aproximada da passarela é de 10,6 metros, a do ângulo B
é de 70° e a do ângulo C é de 80°.
A lei dos senos também auxilia no cálculo de distâncias inacessíveis, com
o subsídio de um instrumento utilizado por engenheiros, topógrafos e agrimensores:
o teodolito.
29
Exemplo 3. Para determinar a altura de uma torre de rádio, um
engenheiro , com a ajuda de uma trena, coloca um teodolito a uma distância de 90
metros da torre. Usando o teodolito, mirou o alto da torre e verificou, na escala do
teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com a horizontal é de 36º. Se o
teodolito está a 2,1 metros do chão, pede-se determinar a altura da torre.
Solução:
Figura 11: Representação gráfica do exemplo 3
Como queremos calcular a altura da torre, consideramos o ângulo que
esta faz com a linha horizontal, como sendo de 90º. Sendo a soma dos ângulos
internos do triângulo igual a 180°, e o ângulo entre a linha horizontal e a visual
medido em 36°, obtemos o ângulo α, formado pelas linhas visual e vertical:
90° + 36° + α = 180° ⇒ α = 180° - 90° - 36° ⇒ α = 54°
Agora, podemos encontrar a medida x utilizando a leis dos senos:
x
90
x
90
x
=
⇒
=
⇒
= 111,1 ⇒ x = 65,5
sen 36°
sen 54°
0,59
0,81
0,59
E a medida y é dada por:
y = x + 2,1 ⇒ y = 65,5 + 2,1 ⇒ y = 67,6
Logo, a altura da torre é de aproximadamente 67,6 metros.
Do exposto acima, a respeito das diversas aplicações das leis dos
cossenos e dos senos, percebe-se a relevância de seu aprendizado, que também
30
deve preceder o das funções trigonométricas, como está explícito nas Orientações
Curriculares para o Ensino Médio (2006, p. 73):
No que se refere ao estudo das funções trigonométricas, destaca-se um
trabalho com a trigonometria, o qual deve anteceder a abordagem das
funções seno, co-seno e tangente, priorizando as relações métricas no
triângulo retângulo e as leis do seno e do co-seno como ferramentas
essenciais a serem adquiridas pelos alunos no ensino médio.
Vemos assim, que o estudo das leis dos cossenos e dos senos facilita a
compreensão
das funções trigonométricas,
conteúdo
importância, e deve estar relacionado com situações reais.
também de
extrema
31
Capítulo 4
ENSINO-APRENDIZAGEM DAS LEIS DOS COSSENOS E DOS
SENOS
4.1.
O papel da matemática e as dificuldades no ensino-aprendizagem
A investigação na área de Educação Matemática deve-se à necessidade
de discutir a didática do ensino de Matemática, objetivando um ensinoaprendizagem de qualidade e que seja centralizado no educando. Ensino esse que
forme seres humanos pensantes, que não reproduzam informações transmitidas,
mas sim, capazes de discutir ideias, formular hipóteses, buscar novas soluções para
problemas, enfim, construir o conhecimento. Espera-se que o aluno, ao concluir o
Ensino Médio, esteja apto para aplicar seus conhecimentos matemáticos em
diferentes situações.
Segundo os PCN+ (Orientações Educacionais Complementares aos
Parâmetros Curriculares Nacionais / Ensino Médio), o conhecimento matemático é
necessário em uma grande diversidade de circunstâncias, considerado como
instrumento para lidar com situações da vida cotidiana, como suporte a outras áreas
do conhecimento ou, ainda, como forma de desenvolver habilidades de pensamento.
Particularmente no Ensino Médio, a Matemática deve ser vista como parte do
conhecimento humano fundamental para a formação dos jovens, capaz de contribuir
para o desenvolvimento de capacidades que deles serão requeridas tanto na vida
profissional quanto na vida social e também como instrumento que desperta a
criatividade e a autoconfiança. Tudo isso se refere ao papel formativo da
Matemática.
Já seu caráter instrumental está pautado no fato de os alunos saberem
utilizá-la para solucionar problemas práticos, compreenderem que é uma ciência
com características próprias, fundamentada em teoremas e demonstrações, e
imprescindível ao conhecimento científico e tecnológico (PCNEM – Parte III).
32
Ainda segundo os PCN+, a disciplina de Matemática está estruturada em
três eixos temáticos, agrupados a partir de uma articulação lógica dos conteúdos, a
saber:
1. Álgebra: números e operações
2. Geometria e medidas
3. Análise de dados
Visando melhor planejamento do currículo, cada um desses temas pode
ser subdividido em unidades temáticas. O tema Álgebra: Números e Operações,
está disposto em duas unidades temáticas, quais sejam, variação de grandezas e
trigonometria. Para o tema Geometria e medidas, são propostas quatro unidades
temáticas: geometria plana, geometria espacial, geometria métrica e geometria
analítica. E o tema Análise de dados é composto por três unidades: estatística,
contagem e probabilidade.
E, ainda, em cada uma dessas unidades estão distribuídos diversos
conteúdos. Focalizando o interesse na unidade temática trigonometria, temos os
seguintes conteúdos: Razões trigonométricas no triângulo e Trigonometria na
circunferência, dos quais fazem parte as leis dos cossenos e dos senos. Estas são
ensinadas na 2ª série do Ensino Médio, na qual se pressupõe que o aluno já tenha
conhecimento suficiente para compreendê-las e interpretá-las.
Mas dentro da realidade escolar, este tópico da Trigonometria, que
deveria chamar a atenção por suas diversas aplicações, muitas vezes é considerado
um “fardo” pesado pelos alunos. Aliás, a maioria não gosta de estudar tudo o que
está relacionado a esta unidade temática. E esse fato tem sido objeto de pesquisas
dedicadas ao ensino da Trigonometria, nas quais já se foi falado sobre essas
dificuldades e desinteresse pelo assunto:
Dos vários conteúdos de Matemática, a Trigonometria é um dos de mais
difícil compreensão pelos (as) alunos (as). Acreditamos que tal dificuldade
se deva ao seu grau de abstração e a forma expositiva / transmissiva em
que a mesma é ensinada. Os fatos e conceitos são apresentados sem que
o aluno tenha oportunidade de construí-los. (AMARAL, 2002, p.11, apud
PINHEIRO, 2008, p. 12)
E na pesquisa de Nielce Costa (1997, p. 15 e 17), ela declara:
33
Assim sendo, a trigonometria, que é uma das formas matemáticas do
Homem compreender e interpretar a Natureza pode ser, para nossos
alunos, apenas um assunto abstrato e sem utilidade [...] Uma aluna chegou
a mencionar que gostaria de ter “perdido menos tempo” com trigonometria
para “assistir mais aulas sobre juros, porcentagens, álgebra, probabilidade”
(sic) porque, em seu entender, tais assuntos eram de maior valia para o
cotidiano [..]
No trecho do trabalho de Pinheiro, inclusive, vemos uma das possíveis
causas dessa resistência por parte dos educandos: a metodologia empregada pelo
professor. Certamente esta não é a única causa, pois são diversos os fatores que
podem
provocar
o
desinteresse
nos
alunos:
problemas
familiares
e
socioeconômicos, falta de motivação do professor por conta de sua desvalorização
profissional, carência de material didático e infraestrutura escolar comprometida,
dentre outros. Mas a metodologia utilizada tem uma parcela grande de
responsabilidade na falha (bem como no sucesso) do processo educativo.
Os alunos não têm a atenção despertada quando o professor explica o
conteúdo cercado por fórmulas “prontas”, isto é, não mostra como é possível chegar
até a expressão final através de uma demonstração. Outro fator que provoca o
desinteresse dos alunos pela disciplina de Matemática é a falta de aplicações da
mesma. Desse modo, o aluno não vê significado na aprendizagem. Na
Trigonometria, esse desinteresse é ainda mais predominante. Esta, que é uma
forma de compreensão e interpretação do mundo torna-se, para o aluno, um assunto
sem utilidade. Em particular, quando se ensina as leis dos cossenos e dos senos, se
o professor não souber aliar a teoria às aplicações, esse aprendizado pode se tornar
vazio de sentido.
4.2.
Metodologias de ensino
Diante
das
dificuldades,
é
necessário
pesquisar
metodologias
diferenciadas para, de fato, colocar em prática o que é proposto. Porém,
relativamente ao ensino da Trigonometria, e consequentemente das leis dos
cossenos e dos senos, o que se têm observado é uma escassez de trabalhos
acadêmicos. Verificamos isso no trabalho de Reis e Allevato (2011), que fizeram
uma investigação sobre a produção acadêmica no banco de teses da CAPES
(Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) referente ao
ensino da Trigonometria no Ensino Médio de 1987 a 2009: “Vale destacar a
inexistência de produção acadêmica, sobre o Ensino da Trigonometria no Ensino
34
Médio, nas regiões Norte e Centro-Oeste”. Isso mostra que durante um período de
doze anos não foram publicados nenhum trabalho nessa temática em duas regiões
do Brasil, Norte e Centro-Oeste. A pesquisa conclui que foram elaboradas 22
dissertações e 3 teses nessa área em todo o País, número relativamente pequeno
para o período considerado.
No que se segue, são apresentadas algumas metodologias de ensino,
especificamente para as leis dos cossenos e dos senos.
É interessante que antes de ensinar as leis dos cossenos e dos senos, o
professor faça uma breve revisão de alguns tópicos, como:

Classificação dos triângulos quantos aos ângulos;

Definição de cosseno e seno no triângulo retângulo e no ciclo
trigonométrico;

Triângulo inscrito em circunferência.
Isto está de acordo com a Orientação Pedagógica Saerjinho1 (p. 51-52),
que é uma avaliação externa que permite que o professor e a escola acompanhem a
evolução do aprendizado dos alunos bimestralmente, a qual recomenda que uma
das competências que o aluno deve ter ao estudar a lei dos cossenos é a
classificação de triângulos quanto aos ângulos, e no caso da lei dos senos, a relação
direta entre o triângulo e a circunferência, na qual ele está inscrito.
Sem essa revisão, o aprendizado pode ser comprometido; ora, se o aluno
não se recorda da definição de seno e cosseno, como irá conseguir assimilar, de
forma significativa, as relações dessas razões trigonométricas?
Feita a revisão, o professor pode pedir aos alunos que tentem resolver,
por exemplo, um exercício de cálculo de grandes distâncias (no qual é necessária a
utilização das leis dos cossenos ou dos senos, tais como os exercícios apresentados
no capítulo anterior). Depois de algumas sugestões e tentativas por parte dos
alunos, o professor comenta que o exercício é solucionado empregando relações
1
Saerjinho: uma das ações que integram o Sistema de Avaliação da Educação Básica do Rio de
Janeiro – SAERJ.
35
entre os lados e os ângulos de um triângulo, que ilustra a questão. Então, deve-se
comentar que essas relações são denominadas leis dos cossenos e dos senos.
Depois o professor poderá demonstrar as leis, mostrando aos alunos como é
possível chegar à fórmula final. Assim, os alunos poderão resolver o exercício
proposto pelo professor, visualizando uma aplicação daquilo que estão aprendendo.
Depois que os alunos aprendem as duas leis, o professor pode trabalhar
a relação entre diferentes tópicos, evitando ensinar conteúdos “isolados”. Por
exemplo, a partir da lei dos cossenos, é possível chegar ao Teorema de Pitágoras.
Aqui o professor pede aos alunos que considerem o ângulo referido na fórmula,
como sendo de 90°. Têm-se então:
Figura 12: Triângulo ABC, reto em Â
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos Aˆ
⇒ a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos 90°
⇒ a2 = b 2 + c 2 - 2 × b × c × 0
(4.1)
⇒ a2 = b 2 + c 2 - 0
⇒ a2 = b 2 + c 2
Assim, verão o Teorema de Pitágoras como um caso particular da referida
lei.
Também é possível obter, a partir desta lei, a razão trigonométrica
cosseno de um ângulo agudo. Assim como para o Teorema de Pitágoras, basta
considerar um dos ângulos como sendo complementar, com a ressalva de que
agora o ângulo considerado reto será um dos que não estão envolvidos na fórmula;
36
e depois aplicar o próprio Teorema de Pitágoras. Seja, por exemplo, o ângulo C
complementar:
Figura 13: Triângulo ABC, reto em
Ĉ
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos Aˆ
⇒ 2 b c cos Aˆ = b 2 + c 2 - a 2
(4.2)
b2 + c 2 - a 2
ˆ
⇒ cos A =
2b c
Mas
c 2= a 2 + b 2
(4.3)
Substituindo em (4.2):
b2 + a 2 + b2 - a2
2 b2
b
cos Aˆ =
⇒ cos Aˆ =
⇒ cos Aˆ =
2bc
2bc
c
(4.4)
O caso em que B é complementar é similar.
A razão trigonométrica seno também pode ser obtida a partir da lei dos
senos (novamente considerando um ângulo complementar). O professor deve
ressaltar que em todos os casos consideramos um dos ângulos reto, porque as
razões trigonométricas são definidas no triângulo retângulo.
Pela lei dos senos, temos:
37
a
sen Â
=
b
sen B̂
c
=
sen Ĉ
= 2R
(4.5)
Tomando as duas primeiras igualdades, seja o triângulo retângulo em B (Figura 14):
Figura 14: Triângulo ABC, reto em B̂
a
sen Â
=
b
sen B̂
(4.6)
Mas sabemos que sen 90º = 1. Logo,
a
sen Aˆ
=
b
a
a
⇒
= b ⇒ sen Aˆ =
1
b
sen Aˆ
(4.7)
Da mesma forma, encontramos
c
sen Cˆ =
b
(4.8)
Fazer essas correspondências em sala de aula é importante para que o
aluno veja que uma relação pode ser um caso particular de outra; além de
entenderem que não é necessário decorarem fórmulas: eles podem deduzi-las
através de relações matemáticas.
Alternativamente, pode-se iniciar sua abordagem com uma pergunta
teórica, levando os alunos a refletirem e promovendo a construção do conhecimento.
A pergunta a seguir ilustra essa sugestão.
38
Nas questões envolvendo triângulo retângulo, o conceito matemático
utilizado para resolvê-las é o Teorema de Pitágoras. Mas, e quando se trata de
triângulos acutângulos e obtusângulos? Será que o mesmo Teorema é válido
nesses casos?
Ora, se esse Teorema exige que o triângulo tenha um ângulo de 90º,
então não podemos utilizá-lo nos casos em que o triângulo não cumpre esse
requisito. Precisamos, dessa forma, de outra relação matemática.
Então, depois de uma discussão inicial – a História da Matemática é
sugestiva – explicar aos alunos que para resolver problemas que envolvam
triângulos, sejam eles quais forem, as ferramentas utilizadas são as leis dos
cossenos e dos senos. Essas são relações mais gerais nas questões envolvendo
triângulos. E mostrar como é possível deduzir esses teoremas.
E para complementar, a interdisciplinaridade deve ser empregada sempre
que possível. É o que propõe os PCNEM - Parte III (2000, p. 44):
Outro tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com
o desenvolvimento de habilidades e competências é a Trigonometria, desde
que seu estudo esteja ligado às aplicações [...] o que deve ser assegurado
são as aplicações da Trigonometria na resolução de problemas que
envolvem medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e na
construção de modelos que correspondem a fenômenos periódicos. Nesse
sentido, um projeto envolvendo também a Física pode ser uma grande
oportunidade de aprendizagem significativa.
Por exemplo, na Física, a Trigonometria se faz necessária para entender
a mecânica, a ondulatória e também o movimento harmônico simples. E a lei dos
cossenos é a ferramenta utilizada para o cálculo da intensidade da resultante de


duas forças, F1 e F2 , que formam entre si um ângulo α, como descrito no capítulo
anterior, acerca das diversas aplicações das leis dos cossenos e dos senos.
O objetivo dessa abordagem é despertar o interesse dos alunos pela
Trigonometria, em especial as leis dos senos e dos cossenos, suprimindo o
paradigma de que este é o “terror” da Matemática. E através desses exemplos,
vemos que as leis dos cossenos e dos senos podem ser tratadas de forma
interdisciplinar e contextualizada, sem lançar mão de exercícios mecânicos, que não
instigam os alunos a desenvolver a criatividade.
39
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A resistência à Trigonometria, por parte dos alunos, é um tema que
precisa ser abordado a partir de diversos aspectos. O formalismo excessivo, a
desconsideração em relação à História da Matemática, o estudo “fragmentado” do
conteúdo e a falta de relações com o cotidiano estão entre as principais causas do
desinteresse por esta unidade temática. Inseridas nesta unidade, as leis dos
cossenos e dos senos são definidas por suas respectivas fórmulas. E essa
característica já provoca, inicialmente, certa objeção nos alunos em aprendê-las.
Porém, a maneira como o professor aborda este conteúdo está diretamente
relacionada com o fracasso, ou o sucesso, do processo de ensino-aprendizagem.
Se já existe um paradigma no meio escolar de que a Matemática é difícil,
complexa, mais desinteresse ainda os alunos têm quando o professor introduz um
conteúdo expondo fórmulas e solicitando exercícios, nos quais se exige apenas a
substituição de valores.
É nesse ponto que o professor deve ater sua atenção ao explicar as leis
dos cossenos e dos senos: na metodologia de ensino.
A natureza bibliográfica da pesquisa demandou a leitura de algumas
dissertações, teses e outros trabalhos, tendo como foco a Trigonometria e,
especialmente as leis dos cossenos e senos. E, tanto a observação desses
trabalhos como a experiência do Estágio Supervisionado realizado nos últimos
períodos da faculdade ratificaram algumas considerações: que as leis em questão
têm aplicações importantes em diversas situações, como pode-se observar no
capítulo 3 deste trabalho, e que uma metodologia adequada pode elencar o
interesse dos alunos. Uma metodologia que valorize:

A História da Matemática – as leis em questão não são uma
descoberta recente: a lei dos cossenos, por exemplo, pode ser
encontrada
no
livro
de
Euclides,
Os
Elementos,
escrito
aproximadamente em 320 a. C, e a lei dos senos já era conhecida
por Ptolomeu, que viveu por volta do ano de 150;

A demonstração das fórmulas – que já está ao nível de
compreensão dos alunos do Ensino Médio. Mostrar como é
40
possível chegar àquela fórmula, e as relações com outros tópicos
como o Teorema de Pitágoras e as razões trigonométricas;
e, em última análise, porém com destaque especial:

As aplicações das leis dos cossenos e dos senos – que
indiscutivelmente deve fazer parte dos planos de aula desse
conteúdo, pelo fato de ser uma metodologia que atrai a atenção
dos alunos e torna a aula mais didática.
É certo que há muito se fala sobre a importância das aplicações da
Matemática, todavia no caso do conteúdo abordado neste trabalho, o que se nota é
que muitos professores ainda permanecem na utilização de uma didática que não
desperta o interesse dos alunos, que está apoiada em fórmulas e exercícios que não
estimulam a criatividade. Dessa forma, uma metodologia que valorize as aplicações
das leis pode colaborar positivamente para o processo educativo.
41
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GIOVANNI, José Ruy.; BONJORNO, José Roberto.; Júnior, José Ruy Giovanni.
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