Nome:
3ºANO / CURSO
TURMA:
Professor: Paulo
Disciplina: Matemática
1. (Uneb 2014) A tirolesa é uma técnica utilizada para o transporte de
carga de um ponto a outro. Nessa técnica, a carga é presa a uma
roldana que desliza por um cabo, cujas extremidades geralmente estão
em alturas diferentes. A tirolesa também é utilizada como prática
esportiva, sendo considerado um esporte radical.
Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, a estrutura
para a prática da tirolesa foi montada de maneira que as alturas das
extremidades do cabo por onde os participantes deslizam estão a cerca
de 52m e 8m, cada uma, em relação ao nível do solo, e o ângulo de
descida formado com a vertical é de 80°.
Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e que tg 10° =
0,176, pode-se afirmar que a distância horizontal percorrida, em
metros, ao final do percurso, é aproximadamente igual a
a) 250
b) 252
c) 254
d) 256
e) 258
2. (G1 - ifsp 2014) Uma forma pouco conhecida de arte é a de
preenchimento de calçadas com pedras, como vemos na calçada
encontrada em Brazlândia – DF, conforme a figura.
Em relação ao desenho da calçada, considere o seguinte:
- todos os triângulos são retângulos;
- cada triângulo possui um ângulo de 30°; e
- a hipotenusa de cada triângulo mede 100 cm.
Com base nas informações acima, os catetos de cada triângulo medem,
em cm,
a) 25 e 25 3.
b) 25 e 25 2.
c) 25 e 50 3.
d) 50 e 50 3.
DATA: 22 / 08 / 2014
5. (Insper 2014) Considere o quadrilátero convexo ABCD mostrado na
figura, em que AB  4cm, AD  3cm e   90.
ˆ e BD  BC,
Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo ABC
então a medida do lado CD, em centímetros, vale
a) 2 2.
b) 10.
c) 11.
d) 2 3.
e) 15.
6. (G1 - cps 2014) O passeio em teleférico é uma opção turística em
várias cidades do mundo. O teleférico mais alto e o segundo mais longo
do mundo fica na cidade de Mérida, Venezuela, unindo a cidade ao
Pico Espejo, cujo topo está a uma altura de 4 765 metros acima do
nível do mar.
O teleférico sai da estação de Barinitas, a 1 577 metros acima do nível
do mar, na cidade de Mérida e, depois de se deslocar 12,5 km, atinge o
topo do Pico Espejo. Considere que o cabo do teleférico seja
completamente esticado e que θ seja o ângulo, com vértice na
estação de Barinitas, formado pelo cabo do teleférico e a horizontal,
conforme a figura.
e) 50 e 50 2.
3. (Uemg 2014) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís Alves e
Guiomar observaram um monumento de arquitetura asiática. Guiomar,
interessada em aplicar seus conhecimentos matemáticos, colocou um
teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60°,
conforme mostra a figura:
Nessas condições, o valor aproximado do ângulo θ é
ângulo
11º
15º
18º
22º
25°
a) 11°.
b) 15°.
c) 18°.
seno
0,191
0,259
0,309
0,375
0,423
cosseno
0,982
0,966
0,951
0,927
0,906
d) 22°.
tangente
0,194
0,268
0,325
0,404
0,467
e) 25°.
7. (G1 - cftmg 2014) Uma formiga sai do ponto A e segue por uma
trilha, representada pela linha contínua, até chegar ao ponto B, como
mostra a figura.
Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 cm, a altura
do monumento, em metros, é aproximadamente
a) 6,86. b) 6,10. c) 5,24. d) 3,34.
4. (Ufrgs 2014) Na figura abaixo, o retângulo ABCD tem lados que
medem 6 e 9.
Se a área do paralelogramo sombreado é 6, o cosseno de α é
a) 3/5
b) 2/3
c) ¾
d) 4/5
e) 8/9
A distância, em metros, percorrida pela formiga é
a) 1  2 3.
b) 3  3 3.
c) 5  2 3.
d) 7  3 3.
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8. (G1 - ifce 2014) Uma rampa faz um ângulo de 30° com o plano
horizontal. Uma pessoa que subiu 20 metros dessa rampa se encontra
a altura de ___ do solo.
a) 6 m.
b) 7 m.
c) 8 m.
d) 9 m.
e) 10 m.
9. (Espcex (Aman) 2014) Um tenente do Exército está fazendo um
levantamento topográfico da região onde será realizado um exercício
de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por
isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma
árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele
fincou no chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto C
distante 9 metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito)
de tal modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida
ˆ Qual foi a largura do rio que ele
de π rad para o ângulo ACB.
3
encontrou?
a) 9 3 metros
b) 3 3 metros
d) 3 metros
e) 4,5 metros
c) 9 3 metros
Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de
ˆ mede:
comprimento (profundidade), a tangente do ângulo CAD
29
9
14
a)
b)
c)
d) 1
2
10
30
15
10. (Uel 2014) Analise a figura a seguir.
13. (G1 - ifsp 2013) Na figura, ABCD é um retângulo em que BD é uma
diagonal, AH é perpendicular a BD, AH  5 3 cm e θ  30. A área
do retângulo ABCD, em centímetros quadrados, é
A questão da acessibilidade nas cidades é um desafio para o poder
público. A fim de implementar as políticas inclusivas, a Associação
Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) criou normas para acessibilidade
arquitetônica e urbanística. Entre elas estão as de construção de
rampas de acesso, cuja inclinação com o plano horizontal deve variar
de 5% a 8,33%. Uma inclinação de 5% significa que, para cada metro
percorrido na horizontal, a rampa sobe 0,05 m. Recorrentemente, os
acessos por rampas não respeitam essas normas, gerando percursos
longos em inclinações exageradas. Conforme a figura, observou-se uma
rampa de acesso, com altura de 1 metro e comprimento da rampa igual
a 2 metros. Se essa rampa fosse construída seguindo as normas da
ABNT, com inclinação de 5%, assinale a alternativa que apresenta,
corretamente, a diferença de comprimento dessas rampas, em metros.
a) 5
b) 20
c) 2  1
20
d) 401  2
a) 100 3.
b) 105
3.
c) 110 3. d) 150 2. e) 175 2.
14. (Unesp 2013) A caçamba de um caminhão basculante tem 3m de
comprimento das direções de seu ponto mais frontal P até a de seu
eixo de rotação e 1m de altura entre os pontos P e Q Quando na
posição horizontal isto é, quando os segmentos de retas r e s se
coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 1,2m do solo. Ela
pode girar, no máximo, α graus em torno de seu eixo de rotação,
localizado em sua parte traseira inferior, conforme indicado na figura.
e) 4,01  1
20
11. (Enem 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas
uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A
inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma
altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB).
Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base
quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Dado cos α  0,8, a altura, em metros, atingida pelo ponto P, em
relação ao solo, quando o ângulo de giro α for máximo, é
a) 4,8.
b) 5,0.
c) 3,8.
d) 4,4.
e) 4,0.
15. (Ufsj 2013) Uma escada com x metros de comprimento forma um
ângulo de 30° com a horizontal, quando encostada ao edifício de um
dos lados da rua, e um ângulo de 45° se for encostada ao prédio do
outro lado da rua, apoiada no mesmo ponto do chão. Sabendo que a
distância entre os prédios é igual a 5 3  5 2 metros de largura,

Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e duas
casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse
prédio ocupa na avenida um espaço
2
2
2
a) menor que 100m .
b) entre 100m e 300m .
2
2
2
2
c) entre 300m e 500m .
d) entre 500m e 700m .
2
e) maior que 700m .

assinale a alternativa que contém a altura da escada, em metros.
a) 5 2
b) 5
c) 10 3 d) 10
16. (Ufpr 2014) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O
primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em
relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade
6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido
horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão
separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo
curso e velocidade desde que deixaram o porto?
a) 10 km.
b) 14 km.
c) 15 km.
d) 17 km. e) 22 km.
12. (Ufrn 2013) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro
lance e seis, no segundo lance de escada.
2
17. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos
isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo
ˆ  30. Portanto, o comprimento do segmento CE é:
CAB
a) a
5
3
b) a
8
3
7
3
c) a
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo
um angulo de 30° em relação a base da montanha, então, a distância
entre B e D, em m, e de, aproximadamente,
a) 190.
b) 234.
c) 260.
d) 320.
d) a 2
18. (Ufsm 2013) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando
realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças
crônicas e na melhora da qualidade de vida.
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa
pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na
figura.
23. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície,
às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de
uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do
mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que
se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que
os ângulos BÂC e
valem 30°, e o
vale 105°, como mostra a
figura:
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto?
a) 2,29. b) 2,33. c) 3,16. d) 3,50. e) 4,80.
a) 12,5.
b)
2  3.
d) 2 2  3 .
e) 4 2  3 .
c)
c) 25,0.
d) 25,0 2 .
4 2  3.
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
III. Se α é o ângulo formado pela base BC com a mediana
20. (Ufg 2012) Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as
medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos.
d)
43 3
10
b) 4  3
10
e) 4 3  3
10
21. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da
planta a seguir:
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no
interior da praça, sendo que AB  80 m. De acordo com a planta e as
informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:
a) 160 3 m
3
b) 80 3 m
3
c) 16 3 m
3
c) Apenas III.
25. (Ita 2011) Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados
AB e OB medem 2 cm e 2  3cm , respectivamente. A
circunferência de centro em O e raio igual a medida de OB intercepta
AB no ponto C (≠ B).
a) Mostre que
mede 15°.
b) Calcule o comprimento de AC
c) 4  3 3
10
relativa
97
O seno do ângulo indicado por α na figura vale:
10
BM,
ao lado AC, então cos α  3 ,
é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I.
b) Apenas II.
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
a) 4 3  3
e) 35,0.
24. (Ita 2014) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm2 ,
a razão entre as medidas da altura AP e da base BC é igual a 2/3. Das
afirmações abaixo:
I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem 97 cm;
19. (Ufrgs 2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus
ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é
a) 2 2  3 .
b) 12,5 2 .
d) 8 3 m e) 3 m
3
3
22. (G1 - cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma
montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D,
visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento
A. Dado: sen 20º  0,342
3
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Na figura acima, temos:
A  6  x  6  6  x  1  DE  8.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ADE, temos:
AE2  62  82  AE  10.
tg10 
44
44
x
 x  250m.
x
0,176
Portanto, cos α 
Resposta da questão 2:
[D]
8
4
 .
10 5
Resposta da questão 5:
[B]
Como AB  4cm, AD  3cm e A  90, pelo Teorema de
Pitágoras, segue de imediato que BD  5cm. Além disso, sendo
BD  BC, tem-se que o triângulo BCD é isósceles de base CD.
Logo, se M é o ponto médio de CD, então DMB  90 e
MBD 
y  100  sen30  100 
x  100  cos30  100 
1
 50
2
α
.
2
Do triângulo ABD, obtemos
3
 50  3
2
cos α 
Resposta da questão 3:
[D]
AB
BD

4
.
5
Daí, sabendo que sen θ 
Admitindo que 1,20m seja a distância do teodolito ao eixo vertical do
monumento, temos:
α
1  cos α
sen 

2
2
1  cos θ
, vem
2
1
2
4
5 
1
10
.
Portanto, do triângulo BMD, encontramos
CD
α
1
CD
sen  2 

2 BD
10 2  5
 CD  10 cm.
Resposta da questão 6:
[B]
Sendo x a altura do monumento, temos:
x  1,30
 tg60
1,20
x  1,30  1,20  3
Logo, x é aproximadamente 1,30+2,04, ou seja, x = 3,34m.
Resposta da questão 4:
[D]
Na figura temos:
senθ 
4
3,188
 0,25504.
12,500
De acordo com a tabela dada a medida aproximada de q é 15°.
Resposta da questão 7:
[D]
Rampa com inclinação de 5% :
1
5

 x  20m.
x 100
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
d2  12  202  d  401 m
Logo, a diferença pedida é de ( 401  2)m.
Resposta da questão 11:
[E]
Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa.
Calculando x e y nos triângulos assinalados.
sen30 
tg30 
2
1 2
  x4
x
2 x
1
3 1

 y 3
y
3
y
Logo, a distância percorrida pela formiga é:
2  x  1  y  2 3  2  4  1  3  2 3  (7  3 3)m
Do triângulo ABC, obtemos
Resposta da questão 8:
[E]
tgB A C 
BC
AB
 tg15 
BC
114
 BC  114  0,26
 BC  29,64 m.
Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é
aproximadamente igual a
2
BC  (29,64)2  878,53 m2.
Considerando x altura da pessoa em relação ao solo, temos:
sen30 
x
20
Resposta da questão 12:
[B]
1
x

 x  10m
2 20
Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal,
temos
Resposta da questão 9:
[A]
AB  8  30  240cm,
BC  6  30  180cm
e
CD  (8  6)  20  280cm.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC,
encontramos
2
2
2
2
AC  AB  BC  AC  2402  1802
tg60 
x
 x  9  tg60  9  3m.
9
 AC  300cm.
Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem
Resposta da questão 10:
[D]
5
tgCAD 
CD
AC

280 14

.
300 15
Resposta da questão 13:
[A]
Considerando x a altura da escada, temos:
x  cos30  x  cos 45  5 3  5 2
no ΔAHD  sen30 
5. 3
 AD  10. 3
AD
no ΔAHB  cos30 
5. 3
 AB  10
AB
 3
2
x 

  5( 3  2)
 2
2 

x  10m
Resposta da questão 16:
[B]
Portanto a área do retângulo ABCD será dada por:
A  10. 3.10  100 3
Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá percorrido 16 km e o
navio 2 (N2) terá percorrido 6 km.
Temos, então, a seguinte figura:
Resposta da questão 14:
[C]
Considere a figura.
Sendo d a distância entre os navios, temos:
2
d2  162  62  2  16  6  cos 60
2
Sabendo que cos α  0,8 e sen α  cos α  1, obtemos
 1
d2  256  36  192   
2
sen   0,6. Logo, do triângulo QNS, vem
sen α 
QS
NQ
d2  196
d  14km
 QS  0,6  3  1,8 m.
Resposta da questão 17:
[C]
Por outro lado, do triângulo MPQ, encontramos
cos α 
MP
PQ
 MP  0,8  1  0,8 m.
Assim, o resultado pedido é dado por
MP  QS  ST  0,8  1,8  1,2  3,8 m.
Resposta da questão 15:
[D]
6
No ΔCMB : cos30° 
Portanto,
a
3 a
2a

 x
x
2
x
3
BD  4 2  3 u.c.
a
3
a
a
No ΔENB : cos30°  2 

y
y
2
2y
3
Resposta da questão 20:
[A]
ˆ  180  30  30  120
CBE
Considere a figura, na qual AB  6, AC  10 e BC  8.
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:
CE2  x 2  y 2  2.x.y.cos120
CE2 
4a2 a2
2a a  1 

 2

 
3
3
3
3  2
CE2 
5a2 2a2

3
3
CE2 
7a2
3
CE  a.
7
3
Do triângulo retângulo ABD, obtemos
tgBAD 
Resposta da questão 18:
[D]
BD
AB
 BD  6 
Pela Lei dos Cossenos, obtemos:
2
2
 BD  AB  tg30
3
3
 BD  2 3.
2
BC  AC  AB  2  AC  AB  cosBAC
Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que
 (0,8)2  12  2  0,8  1 cos150
ADC  DAB  ABD

3

 0,64  1  2  0,8   
 2 
 1,64  0,8  1,7
 30  90
 120.
 3.
Portanto, pela Lei dos Senos, vem
Logo, BC  1,7 e, portanto, o resultado é 1 0,8  1,7  3,5.
CD
senDAC
Resposta da questão 19:
[C]

AC
sen ADC

82 3
10

sen 
sen120
 sen  
4 3
 sen60
5
 sen  
4 3 3

5
2
 sen  
4 3 3
.
10
Considere a figura.
Resposta da questão 21:
[B]
Pela Lei dos Senos, segue que:
AB
80
80 3 80 3
 2R  2R 
R


m.
sen60
3
3
3 3
2
Resposta da questão 22:
[B]
Como AB  AD  4 u.c. e BAD  30, pela Lei dos Cossenos,
obtemos
2
2
2
BD  AB  AD  2  AB  AD  cosBAD
 42  42  2  4  4 
3
2
 2  16  16 3.
7
cos α 
Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos:
x
sen150
160
0,342

o
0,342.x  160.sen150o
0,342x  80
x  233,9
BP
BG

6
2 97
3

9
97
.
Resposta da questão 25:
a) Utilizando o teorema dos senos, temos:
2 3
2

 sen 
sen
sen135o
Aproximadamente 234m.
2 3
2
Sabendo que
Resposta da questão 23:
[B]
No triângulo ABC
temos:
50

sen45o
2
 6 2
  sen15 o 
sen 2 15 o  


4


ABC  45o , aplicando o teorema dos senos,
sen30o
 BC. 2  50  BC  25 2
h
25 2

1
h

 h  12,5 2
2 25 2
Resposta da questão 24:
[A]
[I] Verdadeira. Sabendo que a área do triângulo ABC mede 48cm2
e que AP 
(ABC) 
2
 BC, vem
3
1
1
2
 BC  AP  48   BC   BC
2
2
3
 BC  32  42
 BC  12cm.
Logo,
AP 
2
 12  8cm.
3
Como P é ponto médio de BC, é imediato, pelo Teorema de
Pitágoras aplicado no triângulo APC, que AB  AC  10cm.
Portanto, sendo M o pé da mediana relativa ao lado AC, temse
2
2
2
1
 2  (AB  BC )  AC
2
1
  2  (102  122 )  102
2
 122  25
BM 
 97 cm .
[II] Falsa. De fato, sendo G o baricentro do triângulo ABC, temos
AG 
2
2
 AP   12  8cm.
3
3
[III] Falsa. Sabendo que BM  97 cm, vem
BG 
o
b) O triângulo ACB é isósceles logo AC = AB =
No triângulo BDC, temos:
sen30o 
2 3
,
2
concluímos então que:
= 15
BC
2 3

4
2
2 97
 BM 
cm. Assim, do triângulo BGP,
3
3
obtemos
8
2  3cm .