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1. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto
Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação
ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos
ambientais causados pela atividade humana.
µ mede 75°.
µ mede 45° e o ângulo C
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A
Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada
pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é
8 6
3
b) 4 6
a)
c) 8 2 + 3
d) 8( 2 + 3 )
e)
2 6
3
2. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro
lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura
h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e
marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e
valem 30°, e o
vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5.
b) 12,5 2 .
c) 25,0.
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d) 25,0 2 .
e) 35,0.
3. Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura
abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento
A.
Dado: sen 20º = 0,342
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em
relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente,
a) 190.
b) 234.
c) 260.
d) 320.
4. Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° e os lados que formam cada um desses
ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais desse
paralelogramo.
a) 6 cm
b) 3 cm
c) 3 3 cm
d) 7 cm
e) 15 3 cm
5. Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens
montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes
coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma
parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem
parada intermediária.
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ˆ = 50° , é correto afirmar que
Supondo que AB = 300 3 m, BC = 200 m, BÂP = 20º e CBN
a distância entre os pontos A e C é de:
a) 700 m
b) 702 m
c) 704 m
d) 706 m
e) 708 m
6. No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB
, N é o ponto médio de BC e MN = 14 4 .Então, DM é igual a
2
4
2
b)
2
c) 2
a)
3 2
2
5 2
e)
2
d)
7. Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de raio R
Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência α de raio r, então a razão entre os
quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a
(
a) 2 + 2
)
(
)
c) 2 ( 2 − 2 )
b) 2 2 + 2
d) 2 − 2
8. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) A equação sen 2x+cos x = 0 admite 4 soluções no intervalo [ 0,3π ] .
02) Um antigo mapa escondido embaixo de uma rocha continha as seguintes instruções para
se encontrar uma panela de moedas de ouro enterrada pelos tropeiros naquela região: a
partir da rocha ande 4 km, em linha reta, no sentido leste-oeste. Depois disso, gire 60° para
norte e caminhe, em linha reta, 3 km. A menor distância entre o local onde está enterrada a
panela de moedas de ouro e a rocha onde estava escondido o mapa é de
aproximadamente 6 km.
tg240º + cos 330º
é
sen870º − sec 11π
3
 3π 
08) Se sec x = − 5 e x ∈  π,
então tgx+cotgx é igual a .

2
 2 
04) O valor numérico de y na expressão y =
3.
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16) A figura a seguir mostra parte do gráfico de uma função periódica f, de IR em IR, de
período 2.
9. As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais a 2,2 e1. Os cossenos de seus
ângulos internos são, portanto,
a)
b)
c)
d)
e)
1 1 1
, , .
8 8 2
1 1 1
, , .
4 4 8
1 1 7
, , .
4 4 8
1 1 1
, , .
2 2 4
1 1 7
, , .
2 2 8
10. Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio
fechado, representado pelo polígono da figura a seguir.
A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na
figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão
instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3000
m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do
polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono.
11. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras a seguir ilustram a
rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura.
a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) =
0,99 . Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a
altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100
pedaladas.
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b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da
figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da
roda ao eixo dos pedais.
12. Na figura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo
retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e
= 900 .
Qual a medida do segmento AD?
a) 3
b) 4 3
c)
100 + 3
d)
25 + 12 3
e) 2 3
13. Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano.
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A.
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Considere que:
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas;
• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando
a distância AC e o ângulo BÂC.
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas,
pode ser obtida pela seguinte equação:
a) y = 4 + sen(x)
b) y = 4 + cos(x)
c) y = sen(x) +
16 − cos2 (x)
d) y = cos(x) +
16 − sen2 (x)
14. Sejam α , β e γ , as medidas dos ângulos internos de um triângulo.
Se sen α /sen β = 3/5, sen α /sen γ = 1 e o perímetro do triângulo é 44, então a medida do
maior lado desse triângulo é:
a) 5.
b) 10.
c) 15.
d) 20.
e) 25.
15. Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também
que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120 °, então o produto dos
comprimentos dos lados é igual a:
a) 25
b) 45
c) 75
d) 105
e) 125
16. Dois observadores, situados nos pontos A e B, a uma distância d um do outro, como
mostra a figura a seguir, avistam um mesmo ponto no topo de um prédio de altura H, sob um
mesmo ângulo è com a horizontal.
Sabendo que o angulo A B̂ C também mede è e desconsiderando a altura dos observadores, a
altura H do prédio e dada pela expressão:
 d
2
θ
 cos è
2
a) H =   sen 
b) H = d cos è sen è
 d
2
c) H =   tg è sen è
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 d
2
d) H =   tg è sec è
θ
 sec è
2
e) H = d sen 
17.
Em um triângulo, as medidas de seus lados, em metros, são três números inteiros
consecutivos e a medida do maior ângulo é o dobro da medida do menor. A medida do menor
lado deste triângulo é
a) 3 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 6 m
18. Considere as seguintes informações:
- De dois pontos A e B, localizados na mesma margem de um rio, avista-se um ponto C, de
difícil acesso, localizado na margem oposta;
- Sabe-se que B está distante 1000 metros de A;
- Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado para medir ângulos) foram obtidas as
$ C= 80°.
seguintes medidas: BÂC=30° e A B
Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o ponto C a um ponto D entre A e B, de
modo que seu comprimento seja mínimo. Podemos afirmar que o comprimento da ponte será
de aproximadamente
Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70° = 0,940, cos 80° = 0,174 e cos 70° = 0,340
a) 524 metros
b) 532 metros
c) 1048 metros
d) 500 metros
e) 477 metros
Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70° = 0,940, cos 80° = 0,174 e cos 70° = 0,340
19. Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte.
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede
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60°, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros,
(5 3)
3
(8 3)
b)
3
(10 3 )
c)
3
d) 5 3
a)
e) 10 3
20.
Em relação a um quadrilátero ABCD, sabe-se que med(BÂD) =120°, med(ABC) =
med(ADC) = 90°, AB = 13 e AD = 46. A medida do segmento AC é
a)
b)
c)
d)
e)
60.
62.
64.
65.
72.
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Gabarito:
Resposta
[B]
da
questão
1:
questão
2:
α= 180o − 75o − 45o = 60o
Aplicando o teorema dos senos, temos:
AC
sen60
o
=
8
sen45o
2
3
= 8.
2
2
AC = 4 6
AC.
Resposta
[B]
da
$ = 45o , aplicando o teorema dos senos, temos:
No triângulo ABC ABC
50
o
sen45
=
BC
sen30o
⇔ BC. 2 = 50 ⇔ BC = 25 2
No triângulo BDC, temos:
sen30o =
Resposta
[B]
h
25 2
⇔
1
h
=
⇔ h = 12,5 2
2 25 2
da
questão
3:
Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos:
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x
o
sen150
=
160
0,342
0,342.x = 160.sen150o
0,342x = 80
x = 233,9
Aproximadamente 234m.
Resposta
[D]
da
questão
4:
questão
5:
Aplicando o teorema dos cossenos, temos:
d2 = 52 + ( 3 3 )2 – 2.5. 3 3 .cos30
d2 = 25 + 27 -30 3.
o
3
2
d2 = 52 – 45
d=
7
Resposta
[A]
da
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:
(
AC2 = 300 3
)
2

3
+ 2002 − 2.300 3.200.  −
 2 


AC2 = 270000 + 40000 + 180000
AC = 490000
AC = 700m
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Resposta
[B]
da
questão
6:
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos:
2
2
2
 14 
1 1
 1  1

 =   +   − 2. . .cos β
2 2
2 2
 4 
Resolvendo, temos
cos β = −
3
4
e que cos α =
3
(α + β = 180o )
4
Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos:
2
1
2
 1
2
(AD) =   + ( 1) − 2. .1.cos α
2
2
2
1  3
2
 1
(AD) =   + ( 1) − 2. .1.  − 
2  4
2
2
AD =
AD =
1
3
+ 1−
4
4
2
2
Resposta
[C]
da
questão
7:
A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre os
quadrados dos raios.
Observe a figura.
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Na figura, temos:
No Δ OMB temos: x = R2 − r 2
Aplicando agora o teorema dos cossenos no Δ OAB:
( 2x ) 2 = R2 + R2 − 2.R.R.cos 45o
4(R2 − r 2 ) = 2.R2 − R2 . 2
R2 (2 + 2 ) = 4.r 2
R2
r
2
R
2
r2
=
4
2+ 2
= 2.(2 − 2 )
Resposta
02 + 04 = 06.
da
questão
8:
01) Falso:
sen2x + cos x = 0
2senx.cosx + cosx = 0
cosx.(2senx + 1) = 0 logo cosx = 0 ou senx = -1/2
Temos, então, 5 soluções:
02) Verdadeira
π 3π 5π 7π
11π
,
,
,
e
.
2 2 2 6
6
x 2 = 42 + 32 − 2.4.3.cos120o
1
x 2 = 16 + 9 + 2.12.( − )
2
x 2 = 25 + 12
x 2 = 37
x = 37
x ; 6,08km
04) Verdadeira
3
3 3 3 3
3+
tg240º + cos 330º
2
y=
=
= 2 = 2 = 3
3
sen870º − sec11π sen150o − sec π 1 + 1
2
2
08) Falsa
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sec 2 x = 1 + tg2 x
2
5 = 1 + tg2 x
tg2 x = 4 ⇔ tgx = ±2(III quadrante)
1
tgx = 2 e cotgx =
2
1
5
cot gx + tgx = + 2 =
2
2
16) Falsa: o período é 4.
Resposta
[C]
da
questão
9:
Aplicando o teorema dos cossenos, temos:
12 =22 + 22 – 2.2.1cos A ⇔ cosA = 7/8
1
E= cosB = CosC = 2 1
=
2 4
1/4, 1/4 e 7/8
Resposta
da
questão
10:
Como AQ = AR = AS = AT = AP = RS = ST = TP = PQ, segue que os triângulos ARS, AST,
ˆ + SAT
ˆ + TAP
ˆ + PAQ
ˆ = 240° implica em:
ATP e APQ são equiláteros. Logo, RAS
ˆ = 360° − 240° = 120°.
QAR
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Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo QAR, obtemos:
2
2
2
ˆ ⇔
QR = AQ + AR − 2 ⋅ AQ ⋅ AR ⋅ cosQAR
2
2  1
30002 = 2 ⋅ AQ − 2 ⋅ AQ ⋅  −  ⇔
 2
2
3 ⋅ AQ = 3000 2 ⇒
( 3 ⋅ AQ)2 = 3000 2 ⇒ AQ =
3000
= 1000 3 m.
3
Portanto, a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono é:
1000 3 m.
Resposta
da
100 passos = 100. 3,15 = 315m
questão
11:
a) Na figura 1
sen2α = 1 – cos2α
sen2α = 1 -
0,99 2
sen2α = 0,01
sen α = 1/100
logo
1
h
=
⇔ h = 31,5m
10 315
b) na figura 2
aplicando o teorema dos cossenos.
222 = b2 + b2 – 2b.b.
b2 =
22 2
.
3
2
2+ 3
1− 3 2 + 3
b = 22 2 .(2 + 3 )
b = 22 2 + 3 cm
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Resposta
[D]
da
questão
12:
da
questão
13:
AC2 =32 + 42 – 2.3.4.cos150o

3 
AC2 = 9 + 16 – 2.3.4.  −

 2 
AC2 = 25 +12 3
AC =
25 + 12 3
Resposta
[D]
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC, vem:
2
42 = AC + 12 − 2 ⋅ AC ⋅ cos x ⇔ 15 = (AC − cos x)2 − cos2 x
⇒ AC − cos x = 15 + cos2 x
2
⇒ AC = 15 + cos
1 2 3x + cos x
1−sen2 x
⇒ AC = 16 − sen2 x + cos x.
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Resposta
[D]
da
questão
14:
Resposta
[D]
da
questão
15:
Resposta
[D]
da
questão
16:
Resposta
[B]
da
questão
17:
Resposta
[A]
da
questão
18:
Resposta
[C]
da
questão
19:
Resposta
[B]
da
questão
20:
Página 16 de 17
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
30/09/2011 às 00:27
Seno
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova
Q/DB
Matéria
Fonte
Tipo
1..................104247.............Matemática.........Ufsm/2011..............................Múltipla escolha
2..................100550.............Matemática.........Unesp/2011............................Múltipla escolha
3..................104846.............Matemática.........G1 - cftmg/2011......................Múltipla escolha
4..................102802.............Matemática.........G1 - ifal/2011..........................Múltipla escolha
5..................104159.............Matemática.........Ufpb/2011...............................Múltipla escolha
6..................100949.............Matemática.........Fuvest/2011............................Múltipla escolha
7..................104946.............Matemática.........G1 - epcar (Cpcar)/2011.........Múltipla escolha
8..................103733.............Matemática.........Ufsc/2011................................Somatória
9..................91132...............Matemática.........Ufrgs/2010..............................Múltipla escolha
10................103220.............Matemática.........Ufg/2010.................................Analítica
11................93738...............Matemática.........Unicamp/2010.........................Analítica
12................97209...............Matemática.........Unemat/2010..........................Múltipla escolha
13................97350...............Matemática.........Uerj/2010................................Múltipla escolha
14................86454...............Matemática.........Fatec/2009..............................Múltipla escolha
15................86458...............Matemática.........Fuvest/2009............................Múltipla escolha
16................78329...............Matemática.........Ufg/2008.................................Múltipla escolha
17................79355...............Matemática.........Uece/2008..............................Múltipla escolha
18................83476...............Matemática.........Ufpa/2008...............................Múltipla escolha
19................78140...............Matemática.........Pucsp/2008.............................Múltipla escolha
20................78762...............Matemática.........Fgv/2008.................................Múltipla escolha
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