Especificações de Filtros
Resposta em frequência
de um filtro
Especificação em
tempo contínuo
atenuação 
A  20 log10  2
Região
irrelevante
Especificação em
tempo discreto
1
FIR
FIR – Finite Impulse Response Filter
(Resposta ao Impulso Finita)
M
M
m 0
m 0
y[n]   bm .x[n  m]  H ( z )   bm .z  m
Coeficientes da
resposta impulsiva
do filtro
Só tem
zeros 
sempre
estáveis
M – ordem do filtro
(ordem do polinómio H(z))
Numero de coeficientes é do
filto é M+1=N
2
IIR
IIR – Infinite Impulse Response Filter
(Resposta ao Impulso Infinita)
N
M
 a . y[n  k ]   b .x[n  m] 
k 0
k
m 0
m
Corresponde a uma
equação às diferenças.
Implementa uma equação às
diferenças em que a saida não
depende directamente apenas de
valores passados da entrada mas
tambem da saida.
M
H ( z) 
m
b
.
z
m
m 0
N
k
a
.
z
 k
k 0
Contêm
zeros e
pólos
Sistemas recursivos
N – ordem do filtro
Ordem do polinomio no denominador
3
FIR vs IIR
 FIR



São sempre estáveis
Permitem facilmente fase linear
Podem necessitar de ordem elevada
 IIR

Menor peso computacional
4
Projecto de Filtros FIR
Método da Janela
Especificação de uma resposta ideal na frequência e
determinação da resposta impulsiva correspondente
(teoricamente ou numericamente (IFFT)):
1
hd [n] 
2
H d (e j )
Multiplicação por janela:
h[n]  hd [n  d ]w[n]
Atraso da janela
1,
Janela
w[n]  
rectangular:

janela
0nM
0, cc

j
j
H
(
e
)
e
d
 d

Pode ser infinita
e não causal 
truncagem
d M /2
5
Janela Rectangular
j
W (e )  e
 jM / 2
sin[ ( M  1) / 2]
sin[ / 2]
6
Outras Janelas
Bartlett (triangular)
2n / M , 0  n  M / 2

w[n]  2  2n / M , 0  n  M / 2

0, cc

Rectangular
1, 0  n  M
w[n]  
0, cc

Hanning
0.5  0.5 cos(2 n / M ), 0  n  M
w[n]  
0, cc

Hamming
0.54  0.46cos(2 n / M ), 0  n  M
w[n]  
0, cc

Blackman
0.42  0.5 cos(2 n / M )  0.08cos(4 n / M ), 0  n  M
w[n]  
0, cc

7
Método das Janelas
Hideal (e j )
1
A largura da banda de transição
Pode ser aproximada pela
Largura do lóbulo principal,
Δω, da janela.
1 / c
 c / 2 c / 2
A resposta em frequência
depois de aplicar a janela
corresponde uma versão
suavizada da resposta em
frequência do sistema original.
1
c   / 2
c   / 2
8
Janelas
Rectangular
(o riple ou a atenuação
nunca baixam de 20dB
por maior que seja a
ordem! Fenómeno de
Gibbs)
Hamming
triangular
Blackman
Hanning
9
Janelas
No método das janelas temos 1 = 2, = 
e portanto A=20log10
10
Janela de Hanning
n'  n  M / 2
w[n]  (0.5  0.5 cos(2 n / M )) wR [n] 
w[n' ]  (0.5  0.5 cos(2 n' / M )) wR [n' ]

 
2   
2
W (e j )   ( )     
    
2 
M  2 
M

W (e j )

j
.WR (e )

WR (e j )
sin[ ( M  1) / 2]
WR (e ) 
sin[ / 2]
WR – Janela Rectangular
j
W – Janela Hanning
11
Janela Kaiser
 I 0 [  (1  [(n   ) /  ]2 )1/ 2 ]

w[n]  
I 0 ( )

0, cc

0nM
  M /2
Funções de Bessel
modificadas de ordem zero
0.1102( A  8.7), A  50


  0.5842( A  21) 0.4  0.07886( A  21), 21  A  50

0.0, A  21

   s   p
Ordem
do filtro
(dB)
A8
M
2.285
A  20 log10 
Permite trocar
largura do lobo
principal por
amplitude do
lobo secundário
  1   2
É simples obter 
e M dadas as
especificações
12
Ex: Projecto Diferenciadores em
tempo discreto
 A resposta em frequência de um diferenciador ideal será,
j
Hdifrenciador (e )  ( j) e
 j M / 2
Nota: Tal corresponderá a amostragem do sinal derivada de um sinal de entrada
amostrado dentro dos limites do crtitério de Nyquist
A que corresponde um diferenciador com resposta impulsiva dada por:
1
h[n] 
2

 j M / 2
j n
(
j

e
).
e
d


h[n] 
cos( nX ) sin( nX )

2
nX
 nX
Notar que:
(m n) * h[n]  m
nX  n  M / 2
h[ M / 2]  0
Notar os limitações de aplicação!!!
13
Ex: Diferenciadores em tempo
discreto
(com janela de kaiser)
ordem par (20) tipo I
ordem impar (21) tipo II
1
1
0
0
-1
-1
fase
0
5
10
amostras
15
20
0
3
3
2
2
1
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
0
5
0.5
10
amostras
1
1.5
2
15
2.5
20
3
Angulo (rad)
Angulo (rad)
A implementação tipo I normalmente resulta numa oscilação maior devido ao zero em ,
mas reduz ruido de alta frequencia
3.5
14
Projecto Equiriple de FIR
 Janela rectangular minimiza
1
2 
2

 H
j
d
j
2
(e )  H (e ) d

 Outro critério é o do erro máximo
max H d (e j )  H (e j )
Filtros de oscilação
constante (equiriple)
M
Resulta em filtros de menor ordem do que pelo
método das janelas
10 log( 1 2 )  13
2.324
Parks-McClellan
algorithm
15
Projecto Equiriple
 Erro quadrático mínimo (janela rectangular)

Óptimo sinais de banda larga, ex: ruído branco
 Equiriple (erro máximo mínimo)


Garante que qualquer sinal fora da banda é atenuado
pelo menos A dB
Projecto para o pior caso, ie, sinais de banda estreita
junto à banda de transição
16
Projecto de Filtros IIR
Conversão de Filtros Analógicos
•Aproveita os resultados dos sistemas analógicos
Transformação Bilínear
Provoca uma
transformação
na frequência
• Um mapa do plano-s para o plano-z
2
  tan( / 2)
2  1  z 1 
T

s  
T  1  z 1 
  2arctan(T / 2)
Mapa exacto seria
(AD->DSP->DA):
sT
e
z
17
Transformação Bilínear
Transforma o semi-plano complexo
esquerdo no circulo unitário!
Sistemas estáveis resultam em
sistemas estáveis
Transformação na frequência:
2  1  z 1 

s  
1 
T  1 z 
Especificações devem ser
ajustadas de forma a compensar
a transformação
1  (T / 2) s
z
1  (T / 2) s
18
Transformação bilinear
 A transformação bilinear corresponde a utilização de um
método de integração trapezoidal
2  1  z 1 

s  
Função de transferência
1 
T  1 z 
H ( s)  1 / s
de um integrador
y ( z ) T  1  z 1 
x[n]  x[n  1]
  y[n]  y[n  1]  T
H ( z) 
 
1 
x( z ) 2  1  z 
2
Área do
trapézio
19
Invariância ao Impulso
AK
H ( s)  
k s  sK


h(t )   AK e  sK t u[t ]
TL1
k
amostragem
AK
H ( z)  
1
1

z
z
k
k
TZ

zk  e
hn   AK zk u[n]
n
k
sk T
20
Filtros Butterworth
 São filtros que têm uma característica de
amplitude maximamente plana na banda de
passagem.
Têm a seguinte resposta em amplitude:
2
1
H c ( j) 
1  ( j / jc ) 2 N
H C ( j)  1 /( / C ) 2 N
2
A sua transformada de Laplace é
constituída apenas por pólos nas
posições:
s   e( j / 2 N )( 2k  N 1)
k
C
H ( s)  1
N
 (1  s / s )
k
k 1
21
Filtros Chebyshev
 Permitem oscilações na banda de passagem de forma
permitir a utilização de filtros de menor ordem
relativamente ao Butterworth.
1
H c ( j) 
1   2VN2 ( / c )
2
V0 ( x)  1
V1 ( x )  x
V2 ( x)  2 x 2  1
VN 1 ( x)  2 xVN ( x)  VN 1 ( x)

H C ( j)  1 /  2 4 N 1 ( /  C ) 2 N
2

22
Comparação de Filtros IIR
 Butterworth

Resposta em frequência maximamente plana
 Chebyshev

Maior atenuação mas pior resposta de fase
 Qualquer deles tem distorção de fase ao contrário
dos filtros FIR que têm fase linear!
23
Filtros passa-banda
Projecto em tempo continuo
 Transformação passa-baixo passa banda
 Escolher o tal que,
B
 Especificações
 P1
P2
o2  S1 S 2
o2  P1 P 2
ou mais apertadas
TPassa  Banda (s)  TPassa  Baixo (S ) S  s 2 02
 Low  Pass
 2 0 2

B
   P 2   Low Pass  1
   P1   Low Pass  1
Bs
   S 2 / 1   Low  Pass
 
1
B Low  Pass 
2
 S 2  S 1
 
 P 2  P1
1
4
 02  B 2  2Low  Pass
24
Filtros passa-banda
o2  S1 S 2
S
P 2
P1
P1
S 2
B  P 2  P1
 S 2  S 1

 P 2  P1
Deve-se escolher P1 e P2 de forma que:
o2  P1 P 2
Mas garantindo que P1< P1real e
P2> P2real
1
S
25