Conceitos de Sinais e Sistemas
Mestrado em Ciências da Fala e da Audição
António Teixeira
AT 2004
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•
Aula
Análise em frequência de
sinais reais
–
–
•
Análise espectral de sinais
variáveis no tempo
–
–
–
•
o Espectrograma
resolução no tempo e na
frequência
narrow band e wide band
MATLAB
–
AT 2004
analógicos
digitais
specgram
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Análise em frequência de sinais
reais
sinais analógicos
AT 2004
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O problema base
• Até agora os espectros (análise espectral) referia-se a
sinais com uma representação matemática “simples”
• Mas o que acontece quando pretendemos o espectro
de sinais do mundo real, não definidos por uma
fórmula matemática?
– a transformada/série de Fourier apenas funciona com sinais
abstractos “no papel”
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Uma solução
• Até recentemente, apenas existia uma forma prática de
determinar o espectro nestes casos, utilizando filtros passabanda
– este tipo de filtro possui a propriedade de selectivamente atenuar as
frequências abaixo e acima da região a que são mais sensíveis
• para saber a energia que existe numa gama de frequência
apenas temos de fazer passar o sinal por um filtro passa-banda
ajustado para essa gama
• Para ter o espectro numa gama de frequências teremos de ter
vários filtros com a frequência central cobrindo o intervalo
– o conjunto de filtros chama-se BANCO DE FILTROS
– Por vezes a utilização de vários filtros não é viável (por exemplo pelo
seu custo) utilizando-se um filtros com frequência central ajustável
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Exemplo: análise da onda triangular
• O sinal
– período = 5 ms
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filtro para frequência central=200
• filtro e saída
•Max=0.3748
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filtro para frequência central=300
• filtro e saída
•Max aprox 0
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usando vários filtros...
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o caso digital
• aplica-se a DFT/FFT
•tantos pontos como os do sinal
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em termos de frequências
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Análise espectral de sinais
variáveis no tempo
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O problema
• Até agora os sinais que tratamos têm sempre
as mesmas características ao longo do tempo
• Como tratar de sinais que variam com o
tempo?
– como a música
– e o sinal de voz !!
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Solução
• Extensão das ideias anteriores
• No caso analógico, representando a saída ao longo do
tempo das saídas do banco de filtros
– retirando o detalhe por um processo de rectificação e
“smoothing”
• tudo o que precisamos é uma medida do nível do sinal na saída sem
qualquer interesse pelo detalhe
• existem muitas forma de o fazer
• No caso digital aplicar a FFT a “segmentos” (frames)
do sinal
– a designada Short Time Fourier Analysis
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Exemplo: “chirp”
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combinando numa forma 3D
•3D  tempo, frequência e amplitude
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vista 2D
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Espectrograma (digital)
representação do conteúdo espectral
de um sinal no tempo
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O que é ?
• Se analisarmos vários segmentos ao longo do
sinal e visualizarmos a forma como as
componentes na frequência variam temos um
gráfico em função do tempo e da frequência
• O espectrograma representa esta informação a
2 dimensões
– Usando cores (ou níveis de cinzento) para
representar a amplitude das várias sinusóides
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Como se constrói
• Para os vários segmentos do sinal
– Calcula-se a FFT
• depois de aplicar janela ao sinal
– Converte-se para cores ou tons de cinzento
– Com esta informação cria-se uma coluna de uma
imagem
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Segmentos (Frames)
• A análise pela DFT assume que o sinal
mantém as suas características a seguir ao
bloco analisado
– O que não se verifica no sinal de voz
• A análise é efectuada em pequenos segmentos
em que o sinal tem características estáveis
– Cerca de 10 a 20 ms
• Cada segmento é designado em Inglês de
frame
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Janelas
• Ao obter-se um segmento está implícito que se
colocam a zero todos os valores fora do
segmento
– Isto corresponde à aplicação do que se chama
janela rectangular
• Problema: o que se vê na FFT não são apenas as
componentes devidas ao sinal mas também
componentes devidas à janela
• Para evitar parcialmente este problema utilizam-se
outras janelas, como as de Hamming e Hann
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Janelas
• Hamming
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
sinal aplicando janela rectangular de 256 pontos
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
• Aplicada ao sinal
0
50
100
150
200
250
300
sinal aplicando janela de hamming de 256 pontos
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
0
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50
100
150
200
250
300
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Efeito na FFT
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
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20
40
60
80
100
vermelho= rectangular preto=hamming
120
140
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Tamanho das janelas
• Para se usar DFT deve ser potência de 2
– 32, 64, 128, 256, 512, 1024
• Resolução na frequência pretendida
– N amostras resultam em N pontos na frequência
entre 0 e a freq. Amostragem
• Intervalo entre frequências= fa/N
– N=fa/intervalo
– Intervalo = 45 Hz => 10000/45=222 => 256 amostras
– Intervalo = 300 Hz => 10000/300=34 => 32 amostras
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0.1
50
0
1
1.5
100
20
40
60
80
100
120
200
0.5
1
1.5
100
20
40
60
80
100
120
200
0.5
1
1.5
0
-0.1
-50
0
200
400
0.1
0
50
0
0
-0.1
-50
0
200
400
0.1
0
50
0
0
-0.1
-50
0
AT 2004
100
20
40
60
80
100
120
200
0.5
200
400
0
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MATLAB: specgram
• SPECGRAM Calculate spectrogram from signal.
B=SPECGRAM(A,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP)
calculates the spectrogram for the signal in vector A.
• SPECGRAM splits the signal into overlapping segments,
windows each with the WINDOW vector and forms the
columns of B with their zero-padded, length NFFT
discrete Fourier transforms.
• Each column of B contains an estimate of the short-term,
time-localized frequency content of the signal A.
• Time increases linearly across the columns of B, from left
to right.
• Frequency increases linearly down the rows, starting at 0.
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Example: specgramdemo
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Narrow band
• Resolução na frequência aprox. 45 Hz
– Tons de 50 Hz e 150 Hz diferenciam-se
• Podem distinguir-se os harmónicos
– Já vimos que janelas (para 10 kHz) são de 256
amostras
– Mau para ver onde ocorrem mudanças bruscas no
sinal
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Wide band
• Resolução na frequência aprox. 300 Hz
– Tons de 50 Hz e 150 Hz não se diferenciam
– Não se podem seguir os harmónicos
individualmente de adultos do sexo masculino
• Frequência fundamental por volta dos 100 Hz
– Já vimos que janelas (para 10 kHz) são de 32
amostras
– Boa resolução no tempo
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Exemplos Matlab “chirp”
narrow
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wide
NFFT=256
NFFT=32
bw aprox 45
bw aprox 300
pior
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Diferenciar componentes de frequências
próximas (1000 e 1150 Hz)
narrow
distingue
wide
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Espectrograma de um impulso
•narrow
•wide
melhor
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Espectrograma de dois impulsos próximos no
tempo
melhor
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Espectrograma de sinais “random”
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Exemplo usando SFS
Qual é o Wide e o
Narrow ?
wide
narrow
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