UNIVERSIDADE GAMA FILHO
PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CONTROLE E
AUTOMAÇÃO
Professor Leonardo Gonsioroski
Definições
Compensação é a modificação da dinâmica de um sistema para
satisfazer determinadas especificações de desempenho.
O dispositivo que será inserido no sistema com a finalidade de satisfazer
essas especificações, é chamado de compensador.
O compensador compensa a deficiência do sistema original.
Os compensadores e controladores mais utilizados são os de Avanço e
Atraso de fase e os Controladores PID.
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Definições
“Projetar usando o método do Lugar das raízes, significa
redesenhar o lugar das raízes do sistema pela adição de pólos e de
zeros na função de transferência de malha aberta do sistema,
forçando o novo lugar das raízes a passar pelos pólos de malha
fechada desejados no plano complexo”.
Ogata
jω
9, 434
20 s + 1
200 s + 1
1,06
s(s +1)(s + 2)
σ
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Considerações Preliminares de Projeto
Efeito da adição de pólos: a adição de pólos, tem o efeito de deslocar
o lugar das raízes para a direita, tendendo a diminuir a estabilidade do
sistema e fazendo com que a acomodação da resposta seja mais lenta.
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Considerações Preliminares de Projeto
Efeito da adição de zeros: a adição de um zero tem o efeito de deslocar
o lugar das raízes para a esquerda, tendendo a tornar o sistema mais estável e
mais rápida com a acomodação da resposta.
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Considerações Preliminares de Projeto
Constante de Erro Estático de Posição:
Constante de Erro Estático de Velocidade:
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Amplificadores Operacionais
Também chamados abreviadamente de Amp-ops.
São utilizados para amplificar sinais em sensores de circuitos
Também são utilizados em filtros com a finalidade de compensação de
sistemas.
onde as entradas e1 e e2 podem ser sinais cc ou ca e K é o ganho
diferencial (ganho de tensão).
O valor de K é cerca de 105 a 106 para freqüências de até 10 Hz e torna-se
aproximadamente unitário para freqüências entre 1 MHz e 50 MHz.
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Amplificadores Operacionais
O Ampop amplifica a diferença entre e1 e e2 .
Como o ganho geralmente é muito alto é necessário haver uma
realimentação negativa da saída para a entrada, afim de tornar o
amplificador estável.
A equação para esse circuito será:
Como
e nesse caso
muito pequeno, quase zero, portanto:
e
,
será uma valor
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Amplificadores não-inversores
Neste caso temos:
Como
, neste caso
temos:
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Resumindo
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Uso da impedância para obtenção de funções de transferência
Podemos considerar as impedâncias resistivas, capacitivas e indutivas
nos cálculos para facilitar a obtenção de funções de transferência.
Ei (s) − E' (s ) E' (s) − Eo (s )
=
Z1
Z2
Como E' (s ) ≈ 0 , temos:
Eo (s)
Z
=− 2
Ei (s)
Z1
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Redes de Avanço ou Atraso com Amplificadores Operacioanais
A figura mostra um circuito eletrônico com Amplificador Operacional.
Sabemos que:
Fazendo.
E(s )
Z2
=−
..
Ei (s )
Z1
e que,
Eo (s)
R
=− 4
E(s )
R3
Ficamos com:
portanto,
Com a adição do circuito inversor
teremos:
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Redes de Avanço ou Atraso com Amplificadores Operacioanais
Eo (s)
R
=− 4
E(s )
R3
Essa rede será uma Rede de Avanço de fase se
ou
Essa rede será uma Rede de Atraso de fase se
Rede de Avanço de Fase
Rede de Atraso de Fase
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Compensação por Avanço de Fase
Vimos que num Compensador de Avanço de Fase o valor do Pólo é menor
que o valor do Zero, portanto para a função de Transferência:
O Valor de α deve ser um valor entre 0 e 1.
Compensação por Atraso de Fase
Vimos que num Compensador de Atraso de Fase o valor do Pólo é maior
que o valor do Zero, portanto para a função de Transferência:
O Valor de β deve ser um valor maior que 1.
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Compensadores de Avanço de fase
O método do Lugar das Raízes é muito eficiente para projetar compensadores
quando as especificações são dadas em termos de grandezas no domínio do
tempo. Tais como, ζ, ωn, tr, ts e Mp.
Considere o sistema mostrado
Vê-se que a função de transferência de malha aberta é:
Os pólos de Malha fechada estão situados em:
Deseja-se modificar os pólos de malha fechada de modo que ωn
=4
rad/s, sem que haja alteração no valor do coeficiente de amortecimento.
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Portanto, temos que redimensionar o lugar das raízes do sistema da figura
anterior para que ωn seja
4 rad/s, e que ξ seja igual a 0,5.
1º Passo: Determinar a localização do pólo de malha fechada desejado. Com
base nas especificações acima, o pólo é:
Percebe-se que para esse pólo, um simples ajuste do ganho não resolverá o
problema.
x
Por essa razão, vamos inserir um compensador
de avanço de fase no ramo direto.
2º Passo: Determinar a soma dos ângulos junto a um dos
pólos de malha fechada na posição desejada, com os
pólos e zeros de malha aberta do sistema original e em
seguida encontrar o ângulo necessário a ser acrescentado
Para que a soma total dê ± 180o (2k + 1) .
x
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jω
3,46
φ1 = arctag
= 60o
2
Pela condição de ângulo
temos:
x
Mas queremos o ângulo
no sentido anti horário,
então:
180o − 60o = 120o
0 − 90o − 120o = ±180o (2k + 1)
60o
90o
x
-2 - 1
− 210o ≠ ±180o (2k + 1)
− 210o + 30 = ±180o (2k + 1)
j3,46
j2
120o
x
σ
- j1
+2
- j2
x
- j3,46
Vemos que pela condição de ângulo, para que o gráfico do lugar das raízes
passe o ponto desejado a função de transferência do compensador tem que
ser tal que acrescente 30º no lugar das raízes original.
Agora devemos determinar localização dos pólos e zeros do compensador
de avanço de fase. Há muitas possibilidades de fazer isso.
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Uma possibilidade bem simples seria fazer a função de transferência do
Compensador igual a:
s+2
s+4
Esse compensador inclui um Zero em -2, que
cancelará o Pólo em -2.
Além disso o compensador inclui um pólo em -4.
Isso nos daria os 30º necessários para deslocar o
lugar das raízes de tal forma que atenda aos
requisitos de desempenho desejados.
jω
j3,46
j2
x
60o
90o
x
-2 - 1
Agora a Condição de ângulo está satisfeita:
0 − 60 −120 = ±180 (2k +1)
o
o
o
120o
x
σ
- j1
+2
- j2
x
- j3,46
−180o = ±180o (2k +1)
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Portanto, o Sistema Original possuía o seguinte LGR.
jω
j3,46
j2
x
x
-2 - 1
σ
- j1
+2
- j2
- j3,46
E com a Inclusão do compensador, o LGR passou
a ser assim:
E agora apenas com o ajuste do Ganho
conseguimos o posicionamento dos pólos
de malha fechados desejados para atender
as especificações de desempenho.
jω
j3,46
j2
x
x
x
-1
-4 - 3
σ
- j1
+2
- j2
x
- j3,46
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Método geral para encontrar a função de transferência do
compensador
Como foi dito existem inúmeras soluções para o projeto de um compensador.
No caso de um Compensador em Avanço de Fase, foi desenvolvida uma
técnica geral que determina a função de transferência do compensador.
1 Passo: Trace uma reta horizontal passando pelo ponto do pólo desejado.
2 Passo: Trace outra reta conectando o pólo desejado a origem.
3 Passo: Agora trace uma bissetriz entre essas duas retas.
4 Passo: Desenhe por fim duas retas que façam os ângulos de ± φ / 2 com a
bissetriz.
jω
As intersecções dessas retas com o
eixo real negativo fornecem os pontos
x
Como o sistema é de avanço de fase, então:
Z= - 2,9 e P= - 5,4
O sistema compensado ficará assim:
15o
j3
j2
15o
120o
x
x
- 5,4
- 2,9-2 - 1
x
σ
- j1
+2
- j2
x
- j3
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Método geral para encontrar a função de transferência do
compensador
x
x
Exercício de Fixação:
Numa determinada indústria torna-se necessário otimizar o
desempenho de um certo processo. O processo em questão é um
sistema de segunda ordem que apresenta a seguinte resposta ao
degrau unitário:
Professor Leonardo Gonsioroski
Exercício de Fixação (continuação):
Pode-se notar que o sistema apresenta um grande valor de sobre-sinal
que não é desejável. Deseja-se que o sistema tenha um valor de ξ =
0,5 e um ωn = 3 rad/s. Você foi contratado por essa empresa para
solucionar o problema, o que você faz?
Professor Leonardo Gonsioroski