ESTUDO DO CONTROLE AUTOMÁTICO DE MOTORES CC A
PARTIR DE UM COMPENSADOR DE AVANÇO E ATRASO
Gabriel Attuati
Acadêmico do Curso de Engenharia Elétrica. UNIJUI - Universidade Regional do Noroeste
do Estado do Rio Grande do Sul
[email protected]
Jonatas Rodrigo Kinas
Acadêmico do Curso de Engenharia Elétrica. UNIJUI - Universidade Regional do Noroeste
do Estado do Rio Grande do Sul
[email protected]
Gilson Rogério Batista
Professor do curso de Engenharia Elétrica. UNIJUI - Universidade Regional do Noroeste do
Estado do Rio Grande do Sul
[email protected]
Resumo. O controle automático tem desempenhado um papel vital no avanço da engenharia e da ciência, tornando-se uma parte
importante e integrante dos processos industriais e de manufatura moderna. Sendo assim, o presente trabalho apresenta os métodos para o projeto de um compensador por
avanço e atraso de fase aplicado ao controle
de um Motor de Corrente Contínua (CC).
vio e produz um sinal de controle que reduzirá o desvio a zero ou a um valor pequeno,
contrabalançando as deficiências de desempenho do sistema original.
Portanto, este trabalho tem por objetivo
apresentar o projeto de um compensador por
avanço e atraso aplicado no controle de um
motor CC, e mostrar os resultados obtidos
em simulação com a adição do compensador
ao sistema.
Palavras-chave: Controle. Compensadores.
Motor CC.
2.
1.
2.1 Características físicas da máquina
INTRODUÇÃO
O acionamento controlado de máquinas
de corrente contínua é largamente empregado na indústria, como por exemplo nos processos de bobinamento da indústria de papel,
na laminação das indústrias siderúrgicas de
alumínio, para o acionamento de veículos de
tração elétrica, etc (PATANÉ, 2008).
Os sistemas de controle são projetados
para permitir que os processos controlados
apresentem características de desempenho
específicas, tais como exatidão, estabilidade
relativa, velocidade de resposta e acomodação, conforme cada necessidade.
Para isso, é usual a adição de um compensador, que compara o valor real da grandeza de saída do processo com a grandeza de
referência (valor desejado), determina o des-
MODELAGEM DO MOTOR CC
As características da máquina a ser controlada são dadas por:
- Resistência da armadura (ra) = 68 mΩ;
- Indutância de armadura (la) = 32 mH;
- Constante de máquina (ke) = 1 MKS;
- Coeficiente de atrito (Fm) = 0.01 MKS;
- Momento de inércia (Jm) = 46 MKS;
- Fluxo de excitação (λe) = 1 Wb.
2.2 Modelo de Estados para Excitação
Constante
O motor CC pode ser modelado através
do espaço de estados. Mantendo a velocidade como variável de saída, obtém-se as matrizes de estado apresentadas nas Eq. (1) e
(2).
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8 a 10 de outubro de 2014 – Alegrete – RS – Brasil
𝑑𝑖
𝑟𝑎
𝑎
−
𝑙𝑎
𝑑𝑡
[ 𝑑𝜔
] = [𝑘𝑒∙𝜆𝑒
𝑑𝑡
⏟𝐽𝑚
−
𝑘𝑒∙𝜆𝑒
−
𝑙𝑎
𝐹𝑚
𝐽𝑚
𝐴
1
𝑖
] ∙ [ 𝑎 ] + [𝑙𝑎
𝜔
0
⏟
0
−
1
𝑣𝑎
] ∙ [𝑐 ]
𝐽𝑚
𝑚
(1)
𝐵
𝑖
[𝜔] = [⏟
0 1] ∙ [ 𝑎 ] 𝑒 𝐷 = 0
𝜔
𝐶
𝑟 = −𝜁 ∙ 𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛 ∙ √1 − 𝜁 2
(2)
A função de transferência que relaciona
a velocidade angular (𝜔) com a tensão de
armadura (𝑣𝑎 ) é dada pela Eq. (3).
𝐺(𝑠) = 𝐶 ∙ (𝑠 ∙ 𝐼 − 𝐴)−1 ∙ 𝐵 + 𝐷
𝐺(𝑠) =
𝑠2
que geram essas especificações, conforme
Eq. (4).
Onde:
𝜁= √
e
(3)
0.6793
+ 2.1252 ∙ 𝑠 + 0.6798
(4)
𝜔𝑛 =
ln(𝑀𝑝 )
2
2
(𝜋 2 + ln(𝑀𝑝 ) )
4
(𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 2%)
𝜁 ∙ 𝑇𝑠
(5)
(6)
Fazendo as devidas substituições se obtém as seguintes raízes:
2.3 Análise da resposta ao degrau
𝑟 = −1,3333 ± 𝑗3,021
Para a simulação da resposta do modelo
do motor foi utilizado o software MATLAB,
onde foi obtida a resposta ao degrau em malha aberta, conforme demonstra a Fig. 1.
Figura 1. Resposta degrau malha aberta
A função do compensador é alterar o
lugar das raízes do sistema original, de maneira que no sistema compensado as raízes
dominantes tenham valores próximos às
calculadas anteriormente.
Segundo (OGATA, 2003) o compensador de avanço de fase torna a resposta do
sistema mais rápida e estável e o compensador de atraso de fase melhora a exatidão em
regime permanente. Contudo, em vez de
utilizar os dois compensadores de avanço e
atraso de fase como elementos separados, é
econômico utilizar um único compensador
com as características de ambos, conforme
mostra a Figura 2.
Não há sobressinal na partida do motor,
porém a resposta é lenta, levando mais de
10s para chegar no regime permanente.
3.
PROJETO DO COMPENSADOR
POR ARASO E AVANÇO DE FASE
Ao projetar um compensador é necessário saber as especificações de desempenho
desejadas. Para esse projeto, foi definido um
sobre sinal (Mp) igual a 25% e um tempo de
acomodação (ts) de 3s. Dessa maneira, primeiramente, é necessário calcular as raízes
Figura 2. Compensador por atraso e avanço
de fase.
A função de transferência do compensador é dada por:
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𝐸𝑜 (𝑠) 𝑅4 𝑅6 (𝑅1 + 𝑅3 )𝐶1 𝑠 + 1
𝑅2 𝐶2 𝑠 + 1
(
)∙(
)
=
𝐸𝑖 (𝑠) 𝑅3 𝑅5
𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1
(𝑅2 + 𝑅4 )𝐶2 𝑠 + 1
(7)
Sejam, por definição:
𝑇1 = (𝑅1 + 𝑅3 )𝐶1
𝛾
(8)
o ângulo a ser compensado. O ponto B é a
bissetriz do ângulo formado pelas retas PA e
PO. O polo e o zero são calculados de maneira que as retas PC e PD façam ângulos de
±Φ/2 com a reta PB.
Por conseguinte, a parte referente ao
avanço de fase se torna:
= 𝑅1 𝐶 1
(9)
𝑇2 = 𝑅2 𝐶2
(10)
𝛽𝑇2 = (𝑅2 + 𝑅4 )𝐶2
(11)
1
𝑠+𝑇
𝑠 + 2,9543
1
𝐾𝑐 ∙ (
)
=
𝐾
∙
(
)
𝑐
𝛾
𝑠 + 3,692
𝑠+
𝑇1
(12)
Assim:
𝑇1
𝐾𝑐 =
𝑅2 𝑅4 𝑅6 𝑅1 + 𝑅3
𝑅1 𝑅3 𝑅5 𝑅2 + 𝑅4
Então a Eq. (7) torna-se:
1
1
𝑠+
𝑠+
𝐸𝑜 (𝑠)
𝑇1
𝑇2
= 𝐾𝑐 ∙ (
)
𝛾)∙(
1
𝐸𝑖 (𝑠)
𝑠+
𝑠+
𝑇1
𝛽 ∙ 𝑇2
𝑇1 = 0,3385
(13)
Primeiramente se projeta a parte relativa
ao compensador por avanço. Dessa maneira,
tem-se:
∠
𝑠2
Determina-se, em seguida, o valor de
Kc a partir da condição de módulo:
|𝐾𝑐 ∙
𝑠+2,9543
𝑠+3,692
Φ = 180° − 170,234° = 9,766°
Para projetar a parte relativa ao adiantamento de fase do compensador, foi determinada a posição do polo e do zero que forneça uma contribuição de 9,766° através da
análise gráfica da Fig. 3.
∙
0.6793
𝑠 2 +2.1252∙𝑠+0.6798
|
𝑠 → −1,3333 + 𝑗3,021
=1
Por conseguinte,
𝐾𝑐 = 15,868
0.6793
|
= 170,234°
+ 2.1252 ∙ 𝑠 + 0.6798 𝑠 → −1,3333 + 𝑗3,021
A partir da relação acima, pode-se determinar o ângulo Φ a ser compensado.
𝛾 = 1,2497
A parte do compensador referente ao
atraso deve atender as condições impostas
pelas Eq. (14) e (15).
1
𝑇2
|
|
≑1
1
𝑠+
𝛽 ∙ 𝑇2 𝑠 → −1,3333 + 𝑗3,021
(14)
1
𝑠+
𝑇2
|
) < 0°
−5° < â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 (
1
𝑠+
𝛽 ∙ 𝑇2 𝑠 → −1,3333 + 𝑗3,021
(15)
𝑠+
Os valores encontrados que melhor
atendem as relações das Eq. (14) e (15), e
que proporcionam uma melhor resposta em
regime permanente são:
𝛽 = 100
Figura 3. Determinação do polo e do zero
da estrutura de avanço de fase.
Na Figura 3, o ponto P é a raiz calculada, C o polo e D o zero do compensador, e Φ
𝑇2 = 4.5
Com todos os valores definidos, chegase na função de transferência do compensador por avanço e atraso de fase projetado,
definida pela equação (16).
𝐸𝑜 (𝑠)
𝑠 + 2,9543
𝑠 + 0,222
= 15,868 ∙ (
)∙(
)
𝐸𝑖 (𝑠)
𝑠 + 3,692
𝑠 + 0,0022
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(16)
Depois de determinados os valores de
Kc, T1, T2, γ e β, é possível calcular os valores dos capacitores e resistores do compensador. Aplicando esses valores nas Eq.
(8), (9), (10), (11) e (12), considerando
R1=R2=R5=10kΩ, tem-se que C1=27,86µF,
R3=2,15kΩ, C2=450µF, R4=990kΩ e
R6=28,384kΩ.
4.
valor final no ponto de 3s, e apresenta um
sobre sinal máximo de 26%.
O circuito elétrico com o compensador
apresentado na Fig. 2 foi simulado no software PSIM. A Fig. 5 apresenta a resposta
dessa simulação em comparação à resposta
da função de transferência da Eq. 17.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
A função de transferência em malha
fechada do sistema como um todo, com o
compensador e o sistema do motor CC, é
definida pela Eq. (17).
𝑊(𝑠)
10,78𝑠2 +34,24𝑠+7,08
= 𝑠4 +5,82𝑠3 +19,32𝑠2 +36,77𝑠+7,08
𝑉𝑖(𝑠)
(17)
Calculando-se as raízes do sistema controlado, são obtidos os seguintes valores:
𝑟1 = −1.2203 + 2.9836𝑖
𝑟2 = −1.2203 − 2.9836𝑖
𝑟3 = −3.1632
𝑟4 = −0.2155
Observa-se que as raízes dominantes
possuem valores próximos às calculadas de
acordo com as especificações de desempenho definidas no Capítulo 3.
A Fig. 4 demonstra as respostas ao degrau para o acionamento do motor em malha
aberta e com o sistema de controle.
Figura 5. Resposta ao degrau circuito compensado
5.
CONCLUSÃO
Analisando a resposta ao degrau obtida,
conclui-se que o objetivo inicial de controle
foi alcançado. Foi projetado um controlador
que fez o sistema responder de acordo com
as características de desempenho requeridas.
O circuito controlador se demonstrou
eficiente, produzindo uma resposta muito
próxima da obtida através da resolução analítica. Salienta-se que o circuito controlador
projetado não pode ser utilizado diretamente
em uma situação real, pois é necessário um
circuito de potência que amplifique esse
sinal e aplique ao motor sendo controlado.
6. REFERÊNCIAS
OGATA, Katsuhiko; LEONARDI, Fabrizio. Engenharia de controle moderno.
Prentice Hall, 2003.
Figura 4. Resposta ao degrau sistema controlado e malha aberta
Através de análise gráfica, observa-se
que a função se estabiliza em 2% do seu
PATANÉ, Edson João. Implementação de
Controle de Velocidade em Malha Fechada Para Motores de Corrente Contínua
Utilizando Sistemas de Aquisição de Dados. Dissertação de Mestrado. Instituto
Mauá de Tecnologia. São Caetano do Sul.
2008.
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