administração
amintas paiva afonso
Unidade 02
Porcentagem e
Porcentagem Comercial
Amintas Paiva Afonso
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Introdução
• Meu salário teve um aumento de R$ 100,00.
• Perdi 2 kg no último mês.
• Ações da Eletrobrás tiveram alta de R$ 0,52.
• Dólar subiu R$ 0,25.
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Introdução
 Perdi 2 kg no último mês.
• Eu pesava 230 kg, mas perdi 2 kg no mês passado.
• Meu filho pesava 8 kg, mas perdeu 2 kg no mês
passado.
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Introdução
 Ações da Eletrobrás tiveram alta de R$ 0,52.
• Um lote de 1000 ações da Eletrobrás custava
R$ 36,60, mas ontem tiveram alta de R$ 0,52.
• Um lote de 1000 ações da Eletrobrás custava
R$ 0,41, mas ontem tiveram alta de R$ 0,52.
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Introdução
 Dólar subiu R$ 0,25.
• O dólar estava cotado em R$ 2,00 mas ontem
subiu R$ 0,25.
• O dólar estava cotado em R$ 285,97 mas ontem
subiu R$ 0,25.
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Introdução
• Porcentagem é a fração (ou parte) de um valor ou quantidade,
que se determina pela quantidade correspondente a cada 100.
• As porcentagens fazem parte do nosso dia-a-dia.
 Os casos de dengue reduziram 35% neste ano.
 A gasolina vai ter um aumento de 8%.
 A inflação de 2009 não deve ser superior a 10%.
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Por que utilizamos tanto os percentuais?
• Porque os percentuais transmitem mais facilmente as
relações aritméticas nos negócios, estatísticas e notícias.
• O número de casos de dengue reduziu de 327 em 2003
para 258 em 2004.
• Dos 7 500 funcionários da Usiminas, 5 851 são casados.
OU
• Em 2004 o número de casos de dengue reduziu 21%
chegando a 258 casos.
• 78% dos 7 500 funcionários da Usiminas são casados.
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Introdução
• Dos 318 alunos de administração da Faculdade Pitágoras,
223 trabalham.
OU
• 70% dos 318 alunos de administração da Faculdade
Pitágoras trabalham.
E se fossem mil alunos, quantos trabalhariam?
O conceito de porcentagem surge quando relacionamos
duas grandezas, sendo a linguagem preferencial na
discussão de aumentos e descontos.
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Frações x Percentuais
Existem três formas de se expressar uma porcentagem
Percentual
Fracionária
Decimal
5%
=
5/100
= 1/20
=
0,05
20%
=
20/100
= 1/5
=
0,2
80%
=
80/100
= 4/5
=
0,8
100%
=
100/100 = 1
=
1
200%
=
200/100 = 2/1
=
2
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Frações x Percentuais
Calcular uma determinada porcentagem de um valor.
Como calcular 20% de 130?
20% = 20/100 = 1/5 = 0,2
• Multiplicamos 130 por 20/100
• Multiplicamos 130 por 1/5
• Multiplicamos 130 por 0,2 obtendo 26
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Frações x Percentuais
Na aplicação das fórmulas para resolução dos problemas da
Matemática Comercial e Financeira utilizamos as porcentagens
escritas na forma decimal.
Como transformar percentuais para decimais e vice-versa?
De percentual para decimal: andamos com a vírgula duas
casas para a esquerda. Ex: 25,5% = 0,255
De decimal para percentual: andamos com a vírgula duas
casas para a direita. Ex: 0,385 = 38,5%
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Frações x Percentuais
Exemplos : Percentual
32,56%
5%
1,25%
225%
ADMINISTRAÇÃO
Decimal
0,3256
0,05
0,0125
2,25
65,35 %
0,6535
7,6%
0,076
0,52%
0,0052
362,5%
3,625
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Frações x Percentuais
Problema Básico
Para calcular o valor de p (parte do todo), devemos multiplicar
C (o todo) por i (taxa percentual), sendo i expressa em
notação fracionária ou decimal:
p=C.i
Ex : Quanto é 32,5% de 220?
p=C.i
p = 220 . 0,325
p = 71,5
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Exercícios
1) João, no primeiro trecho de sua caminhada, percorreu 12% de uma
estrada. Ao concluir o segundo trecho, correspondente a 1200
metros, o percentual percorrido passou a ser 16% da estrada.
Determine a extensão da estrada.
2)
Um autor recebe 10% de direitos autorais de um livro que é
vendido por R$ 75,00. Para que o autor ganhe R$ 11.730,00
determine o número de livros que deve ser vendido.
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Exercícios
3) Para a estréia de um espetáculo foram emitidos 1800
ingressos, dos quais 60% foram vendidos até a véspera do dia
de sua realização por um preço unitário de R$ 45,00.
Considerando que todos os ingressos emitidos serão
vendidos, por quanto cada ingresso deverá ser vendido no dia
do espetáculo para que a arrecadação total, com a venda dos
ingressos, seja de R$ 88.200,00?
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Frações x Percentuais
Aumentos e Descontos
Como vimos p = C . i pode ser o aumento ou o desconto
percentual. Logo, o valor final poderá ter recebido um
acréscimo ou uma redução.
Aumento percentual: Valor final = Valor inicial + aumento
Valor final = C + C . i
Valor final = C (1 + i )
Desconto percentual: Valor final = Valor inicial - desconto
Valor final = C - C . i
Valor final = C (1 - i )
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Frações x Percentuais
Exemplo 1
Uma ação cujo valor era R$ 18,25 subiu 5%. Qual é o
novo valor dessa ação?
Solução: Valor Final = Valor inicial + aumento
Valor final = C + C . i
Valor final = C (1+ i)
Valor final = 18,25 (1 + 0,05)
Valor final = 18,25 . 1,05 = 19,16
Resposta : A ação passou a valer R$ 19,16
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Frações x Percentuais
Exemplo 2
Uma ação cujo valor era R$ 18,25 desvalorizou em 5%.
Qual é o novo valor dessa ação?
Solução: Valor final = Valor inicial - desconto
Valor final = C - C . i
Valor final = C ( 1 - i )
Valor final = 18,25 (1 - 0,05)
Valor final = 18,25 . 0,95 = 17,34
Resposta : A ação passou a valer R$ 17,34
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
O problema da mudança de base
Exemplo 4:
Um computador custa R$ 2.500,00. Seu preço sofreu um
aumento de 30%, devido à elevação dos custos de seus
componentes. Como a loja não consegue vender um computador
devido ao reajuste, fez uma promoção dando 30% de desconto
em seu preço. Determine o novo preço de venda.
• Preço com aumento = 2 500 . (1 + 0,3) = R$ 3.250,00
• Preço com desconto = 3 250 . (1 – 0,3) = R$ 2.275,00
=> Preço original = R$ 2.500,00
Preço final = R$ 2.275,00
Preço final é diferente do preço original ! POR QUÊ?
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
O problema da mudança de base
Exemplo 5:
Se uma ação da bolsa de valores cair 10% em uma semana e
subir 10% na próxima semana, o seu preço sofre alteração?
Valor inicial = x
Valor após queda de 10% = x . (1 - 0,1) = 0,9 . x
Valor após a alta de 10% = 0,9 . x . (1 + 0,1) = 0,99 . x
Supondo um valor inicial de R$ 1.000,00 o valor final da ação
seria de R$ 990,00.
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Descontos (ou aumentos) sucessivos
Exemplo 1:
Uma mercadoria de R$ 120,00 sofre um aumento de 10% em
um mês e de mais 15% no próximo mês.
Qual será o preço final da mercadoria?
De quanto será o aumento total sobre o preço original?
Atenção: não é 25% !!!
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Descontos (ou aumentos) sucessivos
Preço inicial = R$ 120,00
Preço após 1o Aumento = 120 . (1 + 0,10)
Preço após 1o Aumento = 132
Preço final (após 2o aumento) = 132 . (1 + 0,15)
Preço final = R$ 151,80
Valor final = Valor inicial (1 + i)
151,80 = 120 (1 + i)
1 + i = 151,80 / 120
1 + i = 1,265 => i = 0,265 = 26,5% (aumento total)
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Lucro em função do preço de custo
Toda mercadoria possui :
 Preço de Custo  PC
 Preço de Venda  PV
 Lucro  L
PV = PC + L
ADMINISTRAÇÃO
L = PV - PC
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Lucro em função do preço de custo
Exemplos :
1) Se o preço de custo de um determinado produto é R$ 120,00 e
ele é revendido por R$ 150,00, determine:
a) o lucro obtido na venda do produto.
b) o lucro percentual.
2) Uma pessoa comprou um computador por R$ 4.000,00 e deseja
vende-lo para obter um lucro de 20% sobre a compra, determine o
preço de venda do computador?
3) Um investidor comprou um terreno e o revendeu, por R$ 18.750,00
lucrando 25% . Determine o preço de custo?
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Lucro em função do preço de custo
(mark-up)
Mark-up  É o índice aplicado sobre o preço de custo de um
bem ou de um serviço para a formação do preço de venda.
Finalidades:
• Cobrir impostos incidentes sobre a receita de venda
• Cobrir gastos variáveis sobre as vendas
• Cobrir financiamentos das vendas
• Cobrir despesas administrativas fixas
• Cobrir custos indiretos de produção fixos
• Proporcionar lucro na venda do produto
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Lucro em função do preço de custo
Lembrando da relação:
Preço de Venda = Preço de Custo + Lucro
Se o lucro será definido como um percentual (mark-up) do
preço de custo, então :
Preço de Venda = Preço de Custo + % do Preço de Custo
Mark-up = Pr. Venda - Pr. Custo =
Pr. Custo
ADMINISTRAÇÃO
Lucro .
Pr. Custo
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Lucro em função do preço de custo
Também podemos determinar o preço de venda a
partir do lucro desejado sobre esse preço de venda,
e nesse caso estamos calculando a Margem.
 É muito utilizado porque identifica quanto se está
ganhando em relação a qualquer faturamento.
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Lucro em função do preço de custo
Lembrando da relação :
Preço de Venda = Preço de Custo + Lucro
Se o lucro será definido como um percentual (margem) do
Preço de Venda, então :
Preço de Venda = Preço de Custo + % do Preço de Venda
Margem = Pr. Venda - Pr. Custo = Lucro .
Pr. Venda
Pr. Venda
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Mark-up e Margem - Exercícios e
Exemplos Práticos
Exemplo 1: Se o preço de custo de um determinado produto
é R$ 120,00 e ele é revendido por R$ 150,00, determine a
“margem” e o “mark-up” obtido na venda do produto.
Lucro = PV - PC = 150 - 120  L = R$ 30,00
Margem = L / PV
Mark-up = L / PC
Margem = 30/150
Mark-up = 30/120
Margem = 0,20 = 20%
Mark-up = 0,25 = 25%
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Mark-up e Margem - Exercícios e
Exemplos Práticos
Exemplo 2: Se o preço de custo de um determinado produto é
R$ 25,00 e ele é revendido com um “mark-up” de 18%,
determine o preço obtido na venda do produto e margem obtida.
• Mark-up = L / PC
L = Mark-up * PC = 0,18 * 25  Lucro = R$ 4,50
• PV = PC + L
PV = 25 + 4,5  PV = R$ 29,50
• Margem = L / PV = 4,5 / 29,50
Margem = 0,1525 = 15,25%
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Mark-up e Margem - Exercícios e
Exemplos Práticos
Exemplo 3: Se o preço de venda de um determinado produto
é R$ 150,00 e ele é revendido com uma margem de 27%
determine o preço de custo do produto e o “mark-up” obtido.
• Margem = L / PV
L = Margem * PV = 0,27 * 150  Lucro = R$ 40,5
• PV = PC + L  PC = PV - L
PC = 150 - 40,5  PC = R$ 109,50
• Mark-up = L / PC = 40,5 / 109,5
• Mark-up = 0,3699 = 37%
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Mark-up e Margem - Exercícios e
Exemplos Práticos
Exemplo 4: Se o preço de custo de um determinado produto
é R$ 125,00 e ele é revendido com uma margem de 8%,
determine o preço de venda do produto.
• Margem = L / PV
Margem = (PV - PC) / PV
0,08 = (PV - 125) / PV
0,08 * PV = PV -125
0,92 * PV = 125  PV = 125 / 0,92 = R$ 135,87
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Cáculo do
Custo,com base no Luco e na Taxa
Exemplo: Um comerciante ganha R$ 892,14 sobre o
custo de certa mercadoria. A taxa de lucro é de 5%.
Qual o custo?
Lucro = Custo x taxa
Custo = Lucro / taxa
Custo = R$ 17.842,80
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Cáculo da
Taxa, com base no Lucro/Abatimento
e no Preço de Venda
Exemplo: Sobre uma fatura de R$ 3.679,49 se concede
o abatimento de R$ 93,91. De quanto por cento é este
abatimento?
Taxa = Lucro ou Abatimento / Preço de Venda
Taxa = 2,5522%
O desconto de R$ 93,91 poderia ser estendido como
lucro; neste caso o lucro seria de 2,5522%.
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Cáculo do
Lucro, com base no Preço de Venda
e na Taxa
Exemplo: Um comerciante vendeu certas mercadorias
com lucro de 8% sobre o custo do R$ 12.393,00. Qual é
o seu lucro?
Lucro = Preço de venda x Taxa / (1 + Taxa)
Lucro = R$ 918,00
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Cáculo da
Taxa, com base no Preço de Venda e
no Lucro
Exemplo: Um comerciante vendeu uma certa
mercadoria por R$ 15.825,81 e ganhou R$ 1.438,71 de
lucro. De quanto foi a taxa de lucro obtido nesta
negociação?
Taxa = [Preço de Venda / (Preço de Venda – Lucro)] - 1
Taxa = 10%
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Cáculo do
Prejuízo, com base no Preço de
Venda e na Taxa
Exemplo: Um produto foi vendido por R$ 4.751,29 com
prejuízo de 5% sobre o custo. Qual foi o valor do
prejuízo?
Prejuízo = [Preço de Venda / (1 – Taxa)] / Preço de Venda
Prejuízo = R$ 250,07
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Cáculo do
Preço Líquido, com base no Preço
Bruto e na Taxa
Exemplo: Um produto é comercializado por R$
5.460,32. Deste produto podemos descontar alguns
impostos na ordem de 8,5%. Qual deverá ser o preço
sem impostos?
Preço Líquido = Preço Bruto x (1 – Taxa)
Preço Líquido = R$ 4.996,19
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Cáculo do
Preço Bruto, com base no Preço
Líquido e na Taxa
Exemplo: Um comerciante vendeu certa mercadoria
com desconto de 8% e recebeu o líquido de R$
2.448,13. Qual foi o preço de venda?
Preço Bruto = Preço Líquido / (1 – Taxa)
Preço Líquido = R$ 4.996,19
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Cáculo da
Taxa, com base no Preço de Venda e
no Lucro
Exemplo: Um título foi liquidado por R$ 879,64, com
abatimento de R$ 46,30. Determinar a taxa do
abatimento.
Taxa = [Abatimento / (Abatimento + Preço Líquido)]
Taxa = 5%
ADMINISTRAÇÃO
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