Geometria
Ano Lectivo de 2008/09
Folha 4
14. No espaço afim R3 , determine a intersecção entre a recta definida pelas equações
x + y − z = 2,
x + y − 3z = −3,
e o plano definido pelos pontos (1, −1, 2), (2, 1, 1) e (1, 1, 1).
15. Determine a intersecção dos seguintes planos no espaço afim R3 :
- o primeiro plano é dado pela equação x − y + 2z = 3,
- o segundo plano é dada pelos pontos (2, 1, −1), (1, 1, 0) e (0, −1, 2).
16. No espaço afim R4 , determine a intersecção entre:
a) a recta definida pelos pontos (1, 1, −1, 2) e (−1, 1, 1, 1) e a recta definida pelos pontos
(1, 2, 1, 2) e (2, 1, 2, 1);
b) a recta definida pelos pontos (1, 1, −1, 2) e (−1, 1, 1, 1) e o hiperplano que passa pelo
ponto (1, 2, 1, 2) e está associado ao subespaço vectorial h(1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1)i;
c) o plano definido pelos pontos (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1) e (1, 1, 1, 1) e o plano definido
pelas equações
x + y − z + w = 2,
2x − y + z − w = 1;
d) o plano definido pelos pontos (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1) e (1, 1, 1, 1) e o hiperplano definido
na alínea b);
e) o hiperplano definido na alínea b); e o hiperplano definido pelos pontos (0, 0, 0, 0),
(0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) e (1, 1, 0, 1) .
17. Sejam R1 , R2 e R3 rectas e P1 , P2 e P3 pontos distintos de um espaço afim A, tais que
R1 ∩ R2 = {P1 },
R1 ∩ R3 = {P2 },
R2 ∩ R3 = {P3 }.
a) Mostre que R1 , R2 e R3 são complanares;
b) Sendo A = R3 e P1 = (1, 0, 1), P2 = (1, 1, 1) e P3 = (1, 0, 2), determine as equções
das três rectas e do plano que as contenha.
18. Considere em R3 as rectas R1 = (1, 1, 1); h(1, 0, 1)i e R2 = (2, 1, 0); h(0, 1, 2)i .
Determine, caso exista, a equação vectorial de uma recta que passa pelo ponto A = (2, 1, 3)
e encontre as duas rectas dadas.