Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
LMAC
Introdução à Geometria
Ficha de trabalho 3
Referenciais
1) Em R3 considere o referencial R = (O; B) onde O = (1, 2, 3) e B = (v1 , v2 , v3 ), com
v1 = (0, 1, 1),
v2 = (0, 0, 1) e
v3 = (1, 1, 0).
Complete as afirmações seguintes:
a) O vector u tal que uB = (1, 2, 7) é o vector . . . . . .
b) Se u = (1, 2, 7) então uB = . . . . . .
c) O ponto P tal que PR = (1, 2, 7) é o ponto P = . . . . . .
d) Se P = (0, 0, 0) então PR = . . . . . .
e) O ponto P tal que PR = (0, 0, 0) é o ponto P = . . . . . .
f) Se o vector (1, 2, 7) é o vector de coordenadas de um ponto Q em relação a R, então Q = . . . . . .
2) Considere em R3 o referencial R do exercı́cio anterior e F o plano definido em relação a R pela
equação x − z = 5. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras:
a) A origem do referencial R pertence a F.
b) O vector (1, 0, 1) pertence ao subespaço vectorial associado a F.
c) O vector v tal que vB = (1, 0, 1) pertence ao subespaço vectorial associado a F.
d) O ponto O + v1 + v3 pertence a F.
e) O ponto P tal que PR = (1, 0, 1) pertence a F.
f) O ponto Q = (6, 0, 1) pertence a F.
g) O ponto P tal que PR = (6, 7, 1) pertence a F.
h) O plano definido, em relação a R, pela equação x + y + z = 3 é paralelo a F.
3) Em R3 determine as equacões cartesianas, paramétricas e vectoriais de:
a) a recta n que passa pelos pontos P = (−5, 6, 1), Q = (3, 3, 0);
√
b) a recta r definida pelo ponto P = (−5, 6, 2) e pelo vector v = (π, 2, −3);
c) um plano que contenha os pontos (1, 0, 0), (0, 2, 1), (3, 3, 3).
4) Em R2 considere a recta m que passa pelos pontos (−1, 4) e (5, −14). Determine um referencial R
em R2 para o qual, nesse referencial, a recta m seja definida pela equação cartesiana y = 0. Esse
referencial é único?
5) Diga quais das seguintes expressões fazem sentido e que significado têm, sendo P, Q, R pontos de
um espaço afim real ou complexo:
−−→
a) P + (2 + i) P Q
b) − (1 + i)P + (2 + i)Q
e) P + Q + R
1
1
1
f) P + Q + R
3
3
3
1
1
1
c) P + Q + R
2
3
6
g) 2P − Q
1
1
5
d) P + Q + R
2
3
6
h) 2P + Q
6) Em R3 determine o subespaço afim F gerado pelos pontos P0 = (−1, −2, 0), P1 = (0, 1, 1),
P2 = (−1, 0, 1) e P3 = (1, 0, 0) e diga qual a sua dimensão.
7) Considere os pontos P0 = (0, 1, 2), P1 = (1, 0, 0) de R3 e determine, se existirem, pontos P2 e P3
de R3 de forma a que os pontos P0 , P1 , P2 , P3 sejam independentes.
8) Sejam P0 ,nP1 , P2 três pontos
dumespaço
afim de dimensão
dois que definem dois referenciais
n−−−
−−−→ −−−→o
→ −−−→o
0
R = P0 ; P 0 P1 , P0 P2
e R = P2 ; P2 P1 , P2 P0 . Determine as coordenadas PR e PR0 do
ponto P = 21 P0 + 23 P1 − 16 P2 nos dois referenciais.
9) Considere em R3 a famı́lia de rectas rt , (t ∈ R) tais que
rt := (t2 + 1, t, 1) + L{(t2 , t, 1)}
e a famı́lia de planos Hs , (s ∈ R) definidos pelas equações cartesianas
x + sy = 3.
a) Determine, para cada s, uma equação vectorial de Hs e para cada t um sistema de equações
cartesianas que defina rt .
b) Determine, se existirem, os pares (s, t) tais que rt é paralela a Hs .
c) Diga, justificando, se existe algum plano em R3 que contenha as rectas r0 e r−2 .
d) Diga, justificando, se existe algum plano em R3 que contenha todas as rectas rt .
10) Diga, justificando, se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Dados uma recta e um plano de R3 , existe sempre um referencial em relação ao qual a recta é
definida pelas equações
(
x=0
,
y=0
e o plano pela equação z = 0”.
11) Diga justificando se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
a) Dados dois 4-planos em R8 existe sempre uma recta paralela a ambos os 4- planos.
b) Dados dois 4-planos em C6 existe sempre uma recta paralela a ambos os planos.
c) O subespaço afim gerado por duas rectas em Rn tem no máximo dimensão 3.
d) O subespaço afim gerado por duas rectas paralelas disjuntas tem dimensão 2.
e) Em Rn o subespaço afim gerado por dois planos paralelos tem dimensão no máximo 3.
f) Dada uma recta r em R2 , existe um referencial em relação ao qual a recta tem equação cartesiana
x = 0.
g) Dada uma recta r em Rn , existe um referencial em relação ao qual a recta tem equações
cartesianas x1 = 0,..., xn−1 = 0.
2