Equação diferencial de Euler
Prof. Nilton Cesar
de Oliveira Borges
Equação de Euler
A equação de Euler aparece por exemplo em um sistema massa-mola
A aceleração é a
Prof. Nilton Cesar deFOliveira
  KxBorges segunda derivada
do espaço pelo
ma   Kx
tempo, sendo
assim a equação
 Kx
fica na forma:
a 
m
K
a  
x
m
2
dx
K
 x
2
dt
m
Para resolver essa equação é
preciso achar a função que:
d2x
K
 x
2
dt
m
d2x K
 x0
2
dt m
somada
derivada duas
vezes em relação a
tempo
resulte em 0
Com ela mesma
vezes uma
constante
Que função é essa ?
A função que Euler tirou do bolso foi:
X= C1*sen(ωt)+C2*cos(ωt)
Onde C1 e C2 são encontradas dependendo
das condições de contorno
Abaixo, o teste da função:
d2x K
 x0
2
dt m
d(C
1.sen
(t))
C
1.cos(
t).
dt
d(C
1.cos(
t))
C
1.sen
(t).
2
dt
1º derivada do seno
2º derivada do seno
Fazendo a segunda derivada do co-seno temos:
2
d
(
C
1
.
cos(

t
))
2


C
1
.
cos(

t
).

2
dt
Desse modo juntando tudo temos:
K
K
2
2
1
.cos(

t) 
.C
1.sen
(
t)  .C
C
1
.
sen
(

t
).


C
2
.
cos(

t
).

m
m
0
Ora para que a soma resulte sempre 0 é necessário
que:
K
2
.C
1.sen
(
t) C
1
.sen
(
t).

m
Quando t=0, temos:
K
2.cos(

t).
2
.C
2
.cos(

t) C
m
0
0
K
.C1.sen
(0)
m
1
C
1.sen
(0).
2
1
K
0).
2
.C
2
.cos(
0
)  C2.cos(
m
00
K 2
K

 

m
m
Condições de contorno:
X(t=0)=X0
V(t=0)=V0
X= C1*sen(ωt)+C2*cos(ωt)
0
1
X0= C1*sen(ω0)+C2*cos(ω0)
X0= C2
X= C1*sen(ωt)+C2*cos(ωt)
V=dx/dt
V= C1.cos(ωt). ω - C2.sen(ωt). ω
1
0
V0= C1.cos(ω0). ω - C2.sen(ω0). ω
V0= C1.ω
V0 /ω = C1
V
m
0

C
1

V
. 
C
1
0

K
Temos então a função resultante:
m
X

V
. .sen
(

.t)
Xo
.cos(

.t)
0
k
m
k
k
X

V
. .sen
( .t)
Xo
.cos(
.t)
0
k
m
m