FíSICA DE PARTíCULAS A ALTAS ENERGIAS
Uma análise introdutória
Eduardo André Flach Basso
[email protected]

Tópicos
1- Motivação geral
2- Visão geral sobre espalhamento
3- Forma geométrica do núcleo
4- Espalhamento elástico de nucleons
5- Conclusões e panorama para o futuro
Introdução/motivação


Familiarização com os aspectos introdutórios da física
de partículas elementares.
Conhecer a dinâmica das interações mediadas pela
força forte.
Visão geral sobre espalhamento
Processos de espalhamento


Para se entender como se dão as interações a nível nuclear
e subnuclear é preciso saber: como extrair informação a
respeito dos constituintes fundamentais da matéria? A
resposta é, analisando processos de espalhamento.
Em um experimento típico, o objeto a ser estudado (o
alvo), é bombardeado com um feixe de partículas com
energia bem definida. Podemos representar o processo da
seguinte forma:
a + b  c + d
Espalhamento elástico
a + b  a’ + b’
Partículas permanecem em seu
estado fundamental.
Absorvem somente momento de
recuo, mudando sua energia
cinética.
Espalhamento inelástico
a + b  a’ + b*
↳ c+d
presença do estado
excitado b*, que logo
retorna ao estado
fundamental.
a) espalhamento elástico;
b) Espalhamento inelástico –
produção de um estado
excitado que decai em duas
partículas;
c) Produção inelástica de novas
partículas;
d) Reação de feixes em colisão.
Cross-sections


probabilidade de reação
entre duas partículas em
colisão.
A “seção de choque de
reação geométrica” é dada
por:

N
b 
 a Nb
onde
.
N : T axade reação
 a : Fluxo de partículasincidente
N b : Nº de centrosde espalhamento



Esta descrição pode ser uma boa aproximação em muitos
casos, mas geralmente a probabilidade de reação entre duas
partículas é diferente.
Na pratica, uma grande dependência com a energia é
observada.
A forma, força e alcance do potencial da interação é que, a
priori, determina a área efetiva da seção de choque.


 tot 
A interação pode ser determinada da taxa de reação se o
fluxo do feixe de partículas e a densidade de área dos
centros de espalhamentos são bem conhecidos.
Assim a seção de choque total é definida analogamente
àquela geométrica:
nº de reaçõespor unidade de tempo
(particulas - feixe /unidade de tempo) (centrosde espalhamento/unidadede área)
Unidades


Seções de choque têm dimensão de área.
Uma unidade freqüentemente usada é o barn definido por:
1 barn = 1b = 10-28 m2
Seções de choque diferenciais
Somente uma parte das reações é medida.


Uma taxa destas reações é proporcional a seção de choque
diferencial d(E,)/d.
Pode-se determinar a seção de choque duas vezes
diferenciável d2(E,E’,)/ddE’, se o detector puder medir a
energia E’ das partículas espalhadas.
 tot ( E )  
'
Emax
0

4
d 2 ( E , E ' , )
ddE'
ddE'
Forma geométrica do núcleo
Espalhamento por elétrons para investigar pequenos objetos.
Dificuldades:
os projéteis são objetos extensos, o que reflete também na
seção de choque.
As forças nucleares entre o projétil e o alvo são complexas e
ainda não são bem entendidas.
Cinemática do espalhamento com elétrons
Geralmente, usa-se partículas altamente relativísticas, o que implica
no uso de quadri-vetores nos cálculos cinemáticos:
x  x0 , x1 , x2 , x3   ct, x
p   p0 , p1 , p2 , p3   E / c, p 
Onde os termos em negrito indicam os tri-vetores.
O produto escalar invariante de Lorentz de dois vetores é defido
como
a  b  a0b0  a1b1  a2b2  a3b3  a0b0  a  b
Aplicando esta ao quadri-momento ao quadrado,
E2
p  2  p2
c
2
Este último é igual ao quadrado da massa de repouso m
multiplicado por c2.
A quantidade
2
m
p /c
é chamada de massa invariante. Das duas últimas obtem-se a
relação energia-momentum relativística:
E 2  p 2 c 2  m2 c 4
No sistema do laboratório, a energia do elétron espalhado é:
E' 
E
1  E Mc 2 1  cos 
A seção de choque de Rutherford
Em termos de b, a seção de choque diferencial é igual a área de
um anel de raio b e espessura db: d  2bdb ;
Como pode ser visto nas figuras acima , um específico parâmetro
de impacto resulta em um especifico ângulo de espalhamento.
Quando o parâmetro de impacto está entre b e b + db, o ângulo
de espalhamento estará entre  e  - d. Assim escreve-se e
seção diferencial de choque como:
d
d db
db
d cos 

db d cos 
 2b
d cos 
Deve-se examinar como b depende de cos para chegar em
uma expressão para a distribuição angular da partícula
espalhada . Pode-se derivar uma eq. Para b achando duas
expressões independentes para a variação de momentum p da
partícula  espalhada que envolvam b e .
Tomando: 
p1  momentumde  antesdo espalhamento

p 2  momentumde  depois do espalhamento
então
p2   p1  p2 2  p22  p12  2 p1 p2 cos
Somente a direção do momentum muda e não sua magnitude,
já que a massa do núcleo é muito maior que a massa da partícula .
Com isso escreve-se: p1  p2  m v
m  massa da partícula
v  velocidade da partícula
Assim, p 2  p 2  p 2  2 p 2 cos  2 p 2  2 p 2 cos
p 2  2 p 2 1  cos 
Temos então a primeira das expressões para p:
p  p 21 cos   m v 21 cos 
1
A transferência de momentum se dá ao longo de uma linha
que bissecsiona o ângulo ( - ), como mostra a figura
abaixo.
A magnitude da força (F) sobre a partícula  é:
onde
q1  2e  carga de 
F
kq1 q 2
r2
q 2  Ze  carga do núcleo
A componente da força na direção da transferência do momentum p
é Fcos. Desta forma p pode ser escrita como a integral temporal da
força:
t
t
cos 
p   dtF cos   kq 1 q 2  dt 2
2
t1
2
t1
r
Ao resolver esta última, deve-se ter em mente que ambos ( e r )
dependem do tempo. A integral se torna mais simples se usarmos o
conceito de conservação de momentum angular. Em qualquer ponto
ao longo da trajetória da partícula , a componente da velocidade
perpendicular (VT) a direção da força é
d
VT  r
dt
O momentum angular (L) da partícula  em relação ao núcleo é:

 
 d 
2 d
L  m VT  r  m VT r  m  r
r  m r
dt
 dt 
VT  r .
com
Quando a partícula  está a uma longa distância do núcleo, antes
do espalhamento, tem-se por definição do parâmetro de impacto,
L  m vb
Pela conservação do momentum angular temos,
m vb  m r 2
d
dt

dt d

r 2 vb
Então, escreve-se p como
p 
kq1 q 2
vb
0


d cos 
0
kq1 q 2
2kq1 q 2
[sen 0  sen  0 ] 
sen  0
vb
vb
Agora, devemos converter o ângulo 0 de volta no ângulo 
de espalhamento. Os dois ângulos estão relacionados por
2 0    

0 

2


2
Assim
2kq1q2
    2kq1q2
 
sen   
cos 
vb
vb
 2 2
2
p 
1  cos
 
cos  
2
2
Usando a identidade trigonométrica:
temos,
p 
2kq1q 2
1  cos
vb
Equacionando (1) e (2) temos,
2
p  m v 21  cos  
2kq1q 2
1  cos
vb
Resolvendo para o parâmetro de impacto,
kq q 1  cos
b  1 22
m v 1  cos

 kq q 
b 2   1 22 
 m v 
2
 1  cos 


1

cos



Para calcular a seção de choque faz-se a mudança de variável:   cos
2
Assim,


1  
kq
q
2
 1 2


b 
2  
 m v   1   
Diferenciando b2 temos:
 kq q  1    1   
 kq1q2 
d


2bdb   1 22 
d


2
2
 m v 2  1   2
m
v


1


  
  
2
2
2
Como
d  2bdb
 kq q 
d
1
 2  1 21 
2
d
 m v  1   
temos:
voltando à variável cos:
2
 kq q 
d
1
 2  1 22 
2
d cos
 m v  1  cos 
Podemos escrever esta em termos da energia cinética da partícula
incidente ( Ek  m v 2 / 2 ), obtendo:
d
  kq q
  1 2
d cos 2  E k
2

1

2
 1  cos 
Supondo a carga elétrica do projétil como q1=ze e sendo a carga
elétrica do núcleo Ze, tem-se:
2
d
  zZke2 
1

 
d cos 2  Ek  1  cos 2
Em termos da constante de acoplamento eletromagnética (   ke2
tem-se:
2
 c 
d

1

 z 2 Z 2 2 
2
d cos 2
 E k  1  cos 
c
)
Esta é a fórmula de Rutherford para a seção de choque diferencial.
Sem a integração no ângulo
sólido teríamos:
 
Ze
 d 



 d  ruth 4 0 2 4 E 2 sen 4 
2 2
2
Notas:
1. Seção de choque
proporcional à α2 ; e
inversamente proporcional a
Ek.
2. Existe uma singularidade na
seção de choque para  = 0,
onde esta é infinita.
A seção de choque de Mott
 Considera-se o spin da
partícula do feixe.
 d 
 d  
2
2 
     1   sen 
2
 d  Mott  d  Ruth 
*


v
c
4Z 2 2 c  E '
 d 
 d 
2 
2 


cos


 cos
4
2
2 
 d  Mott  d  Ruth
qc
*
2
2
O asterisco indica que o recuo
foi negligenciado.
Esta só é valida para |q|
0 ; à grandes valores de
|q|,  reduzido do fóton
virtual diminui e a
resolução aumenta.
O elétron espalhado não
sente mais toda a carga do
núcleo, mas somente parte
dela.
gráfico para as seções de choque de Rutherford e Mott; e o gráfico para a
taxa de espalhamento, que é proporcional a esta última. Neste último vê-se
a inconsistência de um núcleo pontual. Ambos representam espalhamento de
Elétrons com energia de 125 MeV por núcleos de ouro.
Fatores de forma nucleares: F(q2)
Descrevem a extensão espacial dos núcleos.
Experimentalmente temos:
*
d

d





2

F
q




 d  exp  d  Mott
 
Teoricamente, sob certas condições temos:
 
2
Fq

sen q r  2
 4  f r  
r dr
qr
2
Exemplos de fatores de forma
com suas respectivas distribuições
de carga
Gráfico dos fatores de forma para algumas distribuições de carga.
Distribuição de carga nuclear
Núcleos não são esferas com uma superfície bem definida.
A distribuição radial de carga na superfície pode ser bem
aproximada pela função de Fermi com dois parâmetros:
 0 
 r  
r c  a
1 e
A constante c é o raio onde  r  cai pela metade.
Empiricamente, para núcleos pesados, c e a são dados por:
c  1.07[fm]A1 3
a  0.54[fm]
Gráfico da densidade de carga nuclear para o carbono. A densidade de carga
no centro foi normalizada à um.
Espalhamento elástico por nucleons
Fatores de forma dos nucleons

Devemos aqui, fazer algumas considerações a respeito dos
nucleons (alvos):
*
'
d

d

E




Recuo:



 .
 d  Mott

Momento magnético:
 d 
 d 


 d  point spin 1/2

 d  Mott E

2

.
1

2

tan

2 
 d  Mott 
Q2

4M 2 c 2
Momento magnético anômalo:
g
 n  n  N  1.91   N
2
p 
gp
2
 N  2.79   N

Onde o magnéton nuclear é:
N

e

2M p
A seção de choque para o espalhamento de um elétron por
um nucleon é dada pela fórmula de Rosenbluth:
 GE2 (Q 2 )  GM2 (Q 2 )
 d   d 
2
2
2 
 2GM (Q ) tan 


 
1
2
 d   d  Mott 
Onde GE2 (Q 2 ) e G (Q ) são os fatores de forma elétrico e magnético,
ambos dependentes de Q .
2
M
2
2
O fator de forma elétrico do próton e os fatores de forma
magnético de ambos, prótons e neutrons decaem similarmente
com Q2. Eles podem ser aproximados pelo chamado dipole fit:
p
E
 
G Q
onde
2
 
 
 
GMp Q 2
GMn Q 2


 G dipole Q 2
2.79
 1.91
 
G dipole Q 2

Q2
 1 
2
 0.71 GeV / c





2
Este modelo corresponde a uma distribuição de carga que
cai exponencialmente:
 r    0e ar
com
a  4.71 fm-1
Raio de carga de Pions e Kaons

Como pions e kaons são partículas com spin zero, eles têm
apenas um fator de forma elétrico. Ambos podem ser
descritos pelo chamado fator de forma de monopolo:
a2  6
2 1
GE (Q )  (1  Q a  )
2

2
2
r2
Os raios médios quadrados, que saem da declividade das
curvas próximas a origem, são dados por:
r2

 0.44  0.02 fm 2
r2

 0.34  0.05 fm 2
Fatores de forma para píon e kaon como função de Q2. As
linhas sólidas correspondem ao fator de forma de monopolo.
Analisando estes gráficos vê-se que ambos, o píon e o kaon,
têm diferentes distribuições de carga e são bem menos
espalhadas no espaço do que a distribuição de carga para o
próton. Isto pode ser entendido como o resultado das diferentes
estrutras internas de seus constituintes:enquanto o próton é
formado por três quarks, o pion e o kaon são formados por um
quark e um antiquark.
O kaon tem menor raio de carga que o pion. Assim, conclui-se
que estes possuem constituintes diferentes.
Para o futuro...
Entender mais a fundo o DIS, o modelo de partons e suas
implicações na funções de estrutura.
Aplicação dos conhecimentos ao processo de espalhamento
próton-próton, para entender o processo mais geral Pb-Pb
produzindo píons.