01) Abaixo, quatro das infinitas etapas da construção do fractal denominado Curva de Koch. Se a área do triângulo destacado inicialmente vale A e cada novo triângulo tem lado igual a 1/3 do lado do(s) triângulo(s) da etapa anterior, calcule a área obtida se o fractal for construído indefinidamente. Um triângulo de área A. Área = 1 x A = A Para figuras semelhantes, A 4 novos triângulos de área . se a proporção entre os 9 A Área = Alados + 4 for k, a proporção 9 áreas é k². entre as 16 novos triângulos de área A . A A 81 Área = A + 4 16 9 81 4A 16A Logo, a área desejada é dada por A + ... 9 81 a1 S 1q A 4 A 4 9A 9 9 4 5 4 5 PG9com razão 1 9 9 02) Qual a probabilidade de no lançamento de quatro moedas obtermos exatamente duas coroas e duas caras? P= Número de casos que interessam Número total de casos Tente entender o que acontece em um caso específico. 1 PCARA =PCOROA = 2 PCOROA.PCOROA.PCARA.PCARA É preciso considerar que podem aparecer duas coroas e duas caras em ordens diferentes, além desta! Anagramas com 4 “letras”, sendo duas duplas repetidas. 4! 24 6 2! 2! 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 16 1 3 P 6 16 8 CAU-TE-LA! E qual a probabilidade de nesse lançamento obtermos pelo menos uma cara? NÃO INTERESSA: Tente resolver o caso contrário PCOROA.PCOROA.PCOROA.PCOROA 1 1 1 1 1 2 2 2 2 16 1 15 Logo, P 1 16 16 100% 03) Se |z| = 4 2 e z 30 , sendo z um número complexo, calcule a área do triângulo de vértices nos afixos de z4 e z8 e na origem do plano complexo. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO z z cos i sen z z cos n i sen n n Elevar o módulo n Multiplicar o argumento z 4 2 cos 30 i sen30 4 2 cos 4 30 i sen 4 30 2 cos120 8 2 cos 8 30 i sen 8 30 4 cos 240 z z 4 4 4 8 i sen120 i sen240 z 4 2 cos120 i sen120 z 8 4 cos 240 i sen240 2 z4 (2; 120º) 120º 4 A a b sen A 2 4 2 sen120 2 3 8 2 2 3 A 2 z8 (4; 240º) 04) Qual é o valor máximo da a função f x = sen x + cos x no intervalo 0, 2 ? 2 1 senx 1 1 cos x 1 O valor máximo de sen x e cos x é 1. Com isso, o valor máximo da função é 1 1 2 (0, 1) sen x = 1 2 4 x 2 2 Porém, para tal valor de x temos que cos x = 0. Assim, é impossível que sen x e cos x sejam simultaneamente iguais a 1. Como f x = sen x + cos x , o produto proposto pode ser 2 desenvolvido para f x = sen2x +2 sen x cos x + cos2x sen2 x+cos2 x = 1 Relação Fundamental da Trigonometria 2 sen x cos x = sen2x Logo, a função pode ser reescrita como f x = 1 + sen2x f x = 1 + sen2x Imagem [-1, 1] g(x) = sen 2 x Período P 2 2 2 O gráfico de f(x) = 1 + sen 2x é obtido a partir de uma translação de 1 unidade do gráfico de g(x) no sentido vertical, para cima. Tem o mesmo período que g(x) e sua imagem passa de [-1, 1] para [0, 2]. 2 1 -1 Logo, o valor máximo de f(x) é 2. 2 05) Para que valores inteiros de k a inequação x² - kx + 5 > 1 para qualquer valor de x? + + + + ++ ++ Duas raízes reais e distintas x² - kx + 5 > 1 x² - kx + 4 > 0 Ou seja, x² - kx + 4 é positiva para qualquer valor de x. Δ>0 Uma raiz real dupla Δ=0 Duas raízes complexas conjugadas Δ<0 Observe que quando Δ < 0 f(x) é sempre positiva ou sempre negativa. < 0 b² - 4ac < 0 k² - 16 < 0 X k² - 16 < 0 k² < 16 Inequação de 2º grau? Resolver graficamente! 4< 0 k²k-<16 Parábola voltada para cima 4 e -4 são suas raízes + + -4 - 4 -4 < k < 4 k pode valer -3, -2, -1, 0, 1, 2 ou 3 Receosos???? OMG OMG OMG???? Inseguros???? ENTÃO IMAGINA QUEM NÃO FEZ POBRES CONCORRENTES! COLE AQUI! COLE AQUI! COLE AQUI! COLE AQUI! BOA PROVA! 2013 É NA UFRGS (E NO MUNDO!)
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