01) Abaixo, quatro das infinitas etapas da construção do fractal
denominado Curva de Koch. Se a área do triângulo destacado
inicialmente vale A e cada novo triângulo tem lado igual a 1/3 do
lado do(s) triângulo(s) da etapa anterior, calcule a área obtida se o
fractal for construído indefinidamente.
Um triângulo de área A.
Área = 1 x A = A
Para figuras semelhantes,
A
4 novos triângulos de área
.
se a proporção entre
os
9
A
Área = Alados
+ 4  for k, a proporção
9 áreas é k².
entre as
16 novos triângulos de área A .
A
A 81
Área = A + 4   16 
9
81
4A 16A
Logo, a área desejada é dada por A +

 ...
9
81
a1
S 

1q
A
4
A  4 9A


9
9
4 5
4
5
PG9com razão
1
9
9
02) Qual a probabilidade de no lançamento de quatro moedas
obtermos exatamente duas coroas e duas caras?
P=
Número de casos
que interessam
Número total
de casos
Tente entender o que acontece
em um caso específico.
1
PCARA =PCOROA =
2
PCOROA.PCOROA.PCARA.PCARA
É preciso considerar que podem
aparecer duas coroas e duas caras em
ordens diferentes, além desta!
Anagramas com 4 “letras”,
sendo duas duplas repetidas.
4!
24

6
2! 2! 2  2
1 1 1 1
1
   
2 2 2 2 16
1
3
P  6

16 8
CAU-TE-LA!
E qual a probabilidade de nesse lançamento obtermos
pelo menos uma cara?
NÃO INTERESSA:
Tente resolver o
caso contrário
PCOROA.PCOROA.PCOROA.PCOROA
1 1 1 1
1
   
2 2 2 2 16
1
15
Logo, P  1 

16 16
100%
03) Se |z| = 4 2 e z  30 , sendo z um número complexo, calcule a
área do triângulo de vértices nos afixos de z4 e z8 e na origem do plano
complexo.
FORMA TRIGONOMÉTRICA
DE UM NÚMERO COMPLEXO
z  z   cos   i  sen 
z  z   cos  n     i  sen  n    
n
Elevar o
módulo
n
Multiplicar o
argumento

z  4 2  cos 30  i  sen30

4
 2   cos  4  30   i  sen 4  30   2  cos120
8
 2   cos 8  30   i  sen 8  30   4  cos 240
z 
z 
4
4
4
8
 i  sen120
 i  sen240



z 4  2  cos120  i  sen120


z 8  4  cos 240  i  sen240

2
z4 (2; 120º)
120º
4
A
a  b  sen
A
2
4  2  sen120
2
3
8
2 2 3
A
2
z8 (4; 240º)
04) Qual é o valor máximo da a função f  x  =  sen x + cos x 
no intervalo 0, 2  ?
2
1  senx  1
1  cos x  1
O valor máximo de sen x e cos x é 1.
Com isso, o valor máximo da função é
1  1
2
(0, 1)
sen x = 1
 2   4
x
2

2
Porém, para tal valor de x temos que
cos x = 0. Assim, é impossível que sen x e
cos x sejam simultaneamente iguais a 1.
Como f  x  =  sen x + cos x  , o produto proposto pode ser
2
desenvolvido para f  x  = sen2x +2  sen x  cos x + cos2x
sen2 x+cos2 x = 1
Relação Fundamental da
Trigonometria
2  sen x  cos x = sen2x
Logo, a função pode ser reescrita como
f  x  = 1 + sen2x
f  x  = 1 + sen2x
Imagem [-1, 1]
g(x) = sen 2 x

Período
P
2
2

2
O gráfico de f(x) = 1 + sen 2x é obtido a partir de uma
translação de 1 unidade do gráfico de g(x) no sentido vertical,
para cima. Tem o mesmo período que g(x) e sua imagem passa
de [-1, 1] para [0, 2].
2
1

-1
Logo, o valor máximo de f(x) é 2.
2
05) Para que valores inteiros de k a inequação x² - kx + 5 > 1 para
qualquer valor de x?
+
+
+
+ ++
++
Duas raízes
reais e distintas
x² - kx + 5 > 1

x² - kx + 4 > 0
Ou seja, x² - kx + 4 é
positiva para qualquer
valor de x.
Δ>0
Uma raiz
real dupla
Δ=0
Duas raízes
complexas conjugadas
Δ<0
Observe que quando Δ < 0
f(x) é sempre positiva
ou sempre negativa.
< 0  b² - 4ac < 0
k² - 16 < 0
X
k² - 16 < 0
k² < 16
Inequação de 2º grau?
Resolver graficamente!
4< 0
k²k-<16
Parábola voltada
para cima
4 e -4 são
suas raízes
+
+
-4
-
4
-4 < k < 4  k pode valer -3, -2, -1, 0, 1, 2 ou 3
Receosos????
OMG OMG OMG????
Inseguros????
ENTÃO IMAGINA QUEM NÃO FEZ
POBRES CONCORRENTES!
COLE
AQUI!
COLE
AQUI!
COLE
AQUI!
COLE
AQUI!
BOA PROVA!
2013 É NA UFRGS
(E NO MUNDO!)