Lista 3 - parte 2
12. Considere duas partículas A e B cada uma com massa m conectadas por
uma mola de constante elástica k e comprimento natural. Cada partícula está
ligada a dois suportes C e D por duas molas com as mesmas características da
primeira mola.Os dois suportes são separados por uma distância 3b, como
mostrado na figura (a). Em um dado instante de tempo t o deslocamento das
partículas A e B é x e y a partir da posição de equilíbrio resultando nas forças
mostradas na figura.
Calcule as frequências de oscilação do sistema.
m
d 2 x1
dt 2
2
m
d x2
dt
2
 kx1  k c ( x2  x1 )  0
 kx2  k c ( x1  x2 )  0
2 equações acopladas
2
d x1
dt
2
2
d x2
dt
2
k  kc
kc
(
) x1 
x2  0
m
m
k  kc
kc
(
) x2 
x1  0
m
m
d 2 x1
dt 2
d 2 x2
dt 2
x1 
q1  q2
2
x2 
2
d q1
k  kc
kc
(
) x1 
x2  0
m
m
k  kc
kc
(
) x2 
x1  0
m
m
q1  q2
2
2
2
 1 q1
2
2
  2 q2
dt
2
d q2
dt
Desacoplando as 2 equações
0
0
d 2 q1
dt2
 12 q1  0
kk

11 
mm
d 2 q2
dt2
  22 q 2  0
( k (23kkc))
 22 
mm
q1  q 2
2
q  q2
x2  1
2
x1 
q1 (t )  C1 cos1t  C 2 sin1t
q 2 (t )  C3 cos 2 t  C 4 sin 2 t
Modo Anti - Simétrico
Modo Simétrico
11. Duas partículas de mesma massa, igual a 250 g, estão suspensas do teto
por barras idênticas, de 0,5 m de comprimento e
massa desprezível, e estão ligadas uma à outra por uma mola de constante
elástica 25 N/m. No instante t = 0, a partícula 2 (figura abaixo) recebe um
impulso que lhe transmite uma velocidade de 10 cm/s.
Determine os deslocamentos x1(t) e x2(t) das posições de equilíbrio das duas
partículas (em cm) para t > 0.
R: x1(t) = 1,13 sen(4,43t) − 0,34 sen(14,8t)
x2(t) = 1,13 sen(4,43t) + 0,34 sen(14,8t)
FGrav.  - mg   -mgx/  -m02 x
2
d x1
dt
2
2
d x2
dt
2

2
0 x1

2
0 x2
Fmola  k ( x1  x2 )
 K ( x1  x2 )
 K ( x1  x2 )
2
0
 g /l
K  k/m
2
d x1
dt
2
2
d x2
dt
2
2
 0 x1
2
 0 x2
2
d q1
dt
2
2
d q2
dt
2
1
q1  x1  x2 
2
 K ( x1  x2 )
  K ( x1  x2 )
2
 0 q1
2
  2 q2
0
0
1
q 2  x1  x2 
2
0 
g 
 


2 
0  2 K 
d 2 q1
dt 2
d 2 q2
dt 2
 02 q1  0  q1 (t )  A1 cos(0t  1 )
  22 q2  0  q2 (t )  A2 cos( 2t   2 )
q1 
1
x1  x2  q 2  1 x1  x2 
2
2
x1 (t )  q1 (t )  q 2 (t )
m  250g  0,250k
k  25N / m
x2 (t )  q1 (t )  q 2 (t )
  0,5m
dx2 (0)
 10cm / s  0,10m / s
dt
24. Uma corda, submetida a uma tensão de 200 N e presa em ambas as extremidades,
oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária.
O deslocamento da corda é dado por:
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) onde x = 0 numa das extremidades da corda, x é dado
em metros e t em segundos.
(a) Qual é o comprimento da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
(b) Qual é a velocidade escalar das ondas na corda? y = (0, 10) sen(x/ 2) sen(12 t)
(c) Qual é a massa da corda?
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
(d) Se a corda oscilar num padrão de onda referente ao terceiro harmônico,qual será o
período de oscilação?
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
R: (a) L = 4 m, (b) v = 24 m/s, (c) μ = 0, 347 kg/m e (d) T = 0, 11 s
y1  A cos(nt  xkn )
y2  A cos(n t  xkn )
y  y1  y2  A cos(nt  xkn )  A cos(n t  xkn )
cos(a)  cos(b)  2 cos[1 / 2(a  b)] cos[1 / 2(a  b)]
y  2 A cos[1 / 2(2 xkn )] cos[1 / 2(2nt )]
y = (0, 10)cos(x/2 + /2))cos(12t + /2)
y  2 Asen( xk2 ) sen(2t )
Ondas estacionárias numa corda segundo harmônico.
y  2 Asen( xk2 ) sen(2t )
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
Qual o valor de L ?l
2
kn  n
L

2

 L  4m
2
L
y  2 Asen( xk2 ) sen(2t )
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
Qual o valor de v ?l
12  2

L
v  v  24m/s
y  2 Asen( xk2 ) sen(2t )
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
Qual o valor de m?
2  2

200N
4m

 12    0.347Kg / m e a massa 12.056,32Kg
y  2 Asen( xk3 ) sen(3t )
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
Terceiro harmônico
T3 = ?
2

2

n 
n V 
3
24m / s  0,11s
Tn
L
T3
4m
Ondas estacionárias numa corda terceiro harmônico.
A velocidade do som e a temperatura do gás(caso gás ideal).
Variação da velocidade do som com a temperatura
A velocidade do som em um gás não é constante, e sim que depende da temperatura.
Da equação de um gás ideal pV=nRT ou então,
 = Cp/Cv - processo adiabático
A fórmula da velocidade do som é expressa em função da temperatura t do gás em graus
centígrados.
Para obter esta expressão aproximada, tomamos os dois primeiros termos do
desenvolvimento de (1+t/T0)1/2 do binômio de Newton
Sabendo que T0=273.15 K, γ=1.4, R=8.314 J/(K·mol) e M=28.95·10-3 kg/mol, temos que
vs≈331.4+0.61·t
onde 331.4 m/s é a velocidade do som no ar a 0ºC.
O caso do Batimento
TONNN.iiii....
Toonnnnnn.iii.....
O afinador compara o som da corda do
piano com um diapasão e por batimento
ele acerta a nota desejada.
TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...!
y  y1  y 2  A cos(1t  xk1 )  A cos( 2 t  xk 2 )
cos(a )  cos(b)  2 cos[1 / 2( a  b)] cos[1 / 2( a  b)]
k

1
1
y ( x, t )  2 A cos[(
x
t )] cos[ ( k1  k 2 ) x  (1   2 )t )]
2
2
2
2
  (1   2 )  (1   2 )  
k  ( k1  k 2 )  ( k1  k 2 )  k
A( x ,t )



1
1


y ( x, t )  2 A cos[ ( kx  t )] cos[ ( k x   t )]
2
2


Duas oscilações(TONNNNN e TOoNNNNN) com pequena diferença
nas suas freqüências quando somadas, produzem o fenômeno do:
BATIMENTO!!! - TOINHoIINHIINHoIINHoIIII....!
A( x ,t )



1
1


y ( x, t )  2 Asen[ (kx  t )] cos[ (k x   t )]
2
2


TONNN.iiii....
Toonnnnnn.iii.....
TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...!
16. Um pulso, que se desloca com uma velocidade de 50m/s em uma corda de
10m de comprimento, é descrito pela função
y(x, t) = 2e−2(x−vt)2 + e−2(x+vt)2
(SI) .
(a) Qual o valor de x para o qual a velocidade transversal da corda seja
extremal em t = 0?
(b) Se a massa da corda for 1kg, qual a tensão nesta?
R: (a) x = 0, 5m
(b) 250N
y(x, t) = 2e−2(x−vt)2 + e−2(x+vt)2
dy(x, t=0)/dt = 0Se v=50m/s x=0,5m
v
F
F

 50m / s  F10m / 1kg  F  250N

1Kg



10
m


Várias ondas, quando convenientemente somadas podem
tomar a forma de um pulso:
+
+
+ .... =
+
Análise de Fourier
an = 0
bn = 2 (-1)n+1 / n.
Como cada onda tem diferente freqüência, a sua velocidade de
propagação será diferente e, com o tempo, o pulso perde a sua
amplitude original.
O fenômeno da dispersão de um pulso pode não ocorrer devido a não
linearidades. Aí temos um SÓLITON que também é um pulso dispersivo mas
neste caso há uma compensação.
18. Determine a amplitude da onda resultante da combinação de duas ondas
senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma frequência,
têm amplitudes de 3, 0 cm e 4, 0 cm e diferença de fase de /2 rad
R: y(x, t) = 0, 05 sen(kx − t + 0, 64)
A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
A

2
A1

2
A2
 2 A1 A2 cos(2  1 )

A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
 A2

  arcsen
sen( 2  1 ) 
 A

A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
X (t )  A cos(kx  t  1   )
A

2
A1

2
A2
 2 A1 A2 cos( 2  1 )
 A2

  arcsen
sen( 2  1 ) 
 A


y = Ysen(n t)
Figuras de Lissajus
x = Xsen(n´ t)
Para tratar de oscilações em placa temos que usar a equação de d´Alembert bidimencional
 A
2
x
2
A solução da equação de d´Alembert necessita
do conhecimento das condições de contorno
seus valores iniciais.
 A
2

y
2
v
2
 A
2
t 2
Quando são dadas as condições de contorno para a livre
oscilação teremos situações em que os máximos e mínimos
serão regidos por suas freqüências harmônicas características ou tons e
também sobretons.
Você sabe o que é superheterodinagem?
Neste caso multiplicamos dois sinais:
Dr. Sebastião Simionatto
FEP 2196 - 2009