TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo
espaço de tempo, produzem montantes iguais.
Diz-se que a taxa mensal im é equivalente à taxa anual ia quando:
C(1 + ia) = C(1 + im)12
ou seja, duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes quando produzem o mesmo montante no final
de determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial. Da igualdade acima, deduz que:
(1 + ia) = (1 + im)12
ia = (1 + im)12 – 1
para determinar a taxa anual, conhecida a taxa mensal.
im = (1 + ia)1/12 - 1
para determinar a taxa mensal, quando se conhece a anual.
Da mesma forma, dada uma taxa mensal ou anual, determina-se a taxa diária e vice versa.
Exemplos:
1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
ia = ( 1 + im)12 - 1
ia = ( 1 + 0,02)12 -1 = 1,2682 - 1 = 0,2682 ou 26,82% ao ano.
2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.
im = ( 1 + ia)1/12 -1 = (1 + 0,60103)1/12 - 1 = (1,60103)1/12 - 1
im = 1,04 - 1 = 0,04 ou 4% ao mês.
3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia:
ia = (1 + id)360 - 1 = (1,0019442)360 - 1 = 2,0122 - 1 = 1,0122 OU101,22%
Nota: As expressões do tipo ( 1 + i)1/12, (1 + i)1/360 somente podem ser resolvidas por meio de calculadoras que possuam a função
potência, por tentativa e erro ou com auxilio de tabelas financeiras (quando as taxas procuradas estiverem tabeladas); a solução
por meio de tábuas logarítmicas também pode ser obtida, embora em muitos casos apresente uma aproximação grosseira.
Como no dia a dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e às taxas que se quer são os mais variados, vamos apresentar
uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja;
iq = ( 1 + it)q/t - 1, que para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue:
iq = taxa para o prazo que eu quero
it = taxa para o prazo que eu tenho
q = prazo que eu quero
t = prazo que eu tenho
Exemplo:
Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Taxa Nominal: é aquela cuja unidade do período a que se refere não coincide com a unidade do período de capitalização.
Taxa Efetiva: é aquela que grava efetivamente uma operação.
Cálculo da taxa efetiva: dada uma taxa nominal, para encontrar a respectiva taxa efetiva, calcula-se a taxa proporcional à dada,
relativa a unidade de tempo relacionada para a capitalização e, posteriormente, apura-se exponencialmente a taxa efetiva.
Seja
i: a taxa nominal;
k: nº de períodos de capitalização efetiva
if: taxa efetiva
Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem
o mesmo rendimento.
Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização composta, não.
No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de:
Atribuindo um capital R$ 100, temos:
M = 100(1,1)3  M = 10  1,331  M = R$ 133,10.
Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%.
Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas.
Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim:
Equivalência entre ANO e MÊS: 1 + ia = (1 + im)12
Observamos que o lado da igualdade que contém a menor das unidades de tempo envolvidas, fica elevado ao expoente igual a
quantas vezes a menor unidade “cabe” na maior.