MA12 - Unidade 10
Matemática Financeira
Semana 09/05 a 15/05
Uma das importantes aplicações de progressões geométricas é a Matemática Financeira.
A operação básica da matemática nanceira é a operação de empréstimo.
Alguém que dispõe de um capital
C
(chamado de principal ), em-
presta-o a outrem por um certo período de tempo, e após esse período,
J pelo
empréstimo. Essa remuneração é chamada de juro. A soma C + J é
J
que
chamada de montante e será representada por M . A razão i =
C
recebe o seu capital
C
e volta, acrescido de uma remuneração
é a taxa de crescimento do capital, será sempre referida ao período da
operação e chamada de taxa de juros.
1
2
MA12 - Unidade 10
Exemplo 1. Lúcia tomou um empréstimo de R$100,00. Dois meses
após, pagou R$140,00. Os juros pagos por Lúcia são de R$40,00 e a
taxa de juros é de
40
= 0, 40 = 40%
100
ao bimestre. O principal, que
é a dívida inicial de Lúcia, é igual a R$100,00; o montante, que é a
dívida na época do pagamento, é de R$140,00.
Exemplo 2. Manuel tomou um empréstimo de 100 reais, a juros de
10% ao mês. Após um mês, a dívida de
0, 10 × 100 reais de juros (pois J = iC ),
taxa
Manuel será acrescida
de
passando a 110 reais.
Se Manuel e seu credor concordarem em adiar a liquidação da dívida
por mais um mês, mantida a mesma taxa de juros, o empréstimo será
quitado, dois meses depois de contraído, por 121 reais, pois os juros
relativos ao segundo mês serão de
0, 10 × 110
reais = 11 reais. Esses
juros assim calculados são chamados de juros compostos. Mais precisamente, no regime de juros compostos, os juros em cada período são
calculados, conforme é natural, sobre a dívida do início desse período.
As pessoas menos educadas matematicamente têm tendência a
10% ao mês dão em dois meses juros de 20%.
10% ao mês dão em dois meses de juros de 21%.
achar que juros de
Note que juros de
Teorema 1. No regime de juros compostos de taxa
C0 transforma-se,
Cn = C0 (1 + i)n .
depois de
n
i,
um principal
períodos de tempo, em um montante
Prova. Basta observar que os valores do capital crescem a uma taxa
constante
i
e, portanto, formam uma progressão geométrica de razão
1 + i.
Exemplo 3.
Pedro investe 150 reais a juros de 12% ao mês. Qual
será o montante de Pedro três meses depois?
Matemática Financeira
Solução.
3
C3 = C0 (1 + i)3 = 150(1 + 0, 12)3 = 210, 74
reais.
É importante perceber que o valor de uma quantia depende da
época à qual ela está referida. Se eu consigo fazer com que meu dinheiro renda 10% ao mês, é-me indiferente pagar agora R$100,00 ou
pagar R$110,00 daqui a um mês. É mais vantajoso pagar R$105,00
daqui a um mês do que pagar R$100,00 agora. É mais vantajoso pagar
R$100,00 agora do que pagar R$120,00 daqui a um mês.
No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira:
deslocar quantias no tempo.
Cn = C0 (1 + i)n , é que uma
quantia, hoje igual a C0 , transformar-se-á, depois de n períodos de
n
tempo, em uma quantia igual a C0 (1 + i) . Isto é, uma quantia, cujo
valor atual é A, equivalerá no futuro, depois de n períodos de tempo,
n
a F = A(1 + i) .
Outro modo de ler o Teorema 1,
Essa é a fórmula fundamental da equivalência de capitais: Para
obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por
o valor atual, basta dividir o futuro por
(1 + i)n .
Para obter
(1 + i)n .
O exemplo a seguir é, pode-se dizer, um resumo de todos os problemas de Matemática Financeira.
Exemplo 4.
Pedro tomou um emprétimo de 300 reais, ajuros de
15% ao mês. Dois meses após, Pedro pagou 150 reais e, um mês após
esse pagamento, Pedro liquidou seu débito. Qual o valor desse último
pagamento?
Solução. Os esquemas de pagamento abaixo são equivalentes. Logo,
300 reais, na data 0, têm o mesmo valor de 150 reais dois meses após,
mais um pagamento igual a
P,
na data 3.
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Figura 1:
Igualando os valores, na mesma época (0, por exemplo), dos pagamentos nos dois esquemas, obtemos
300 =
daí,
P = 283, 76.
Exemplo 5.
150
p
=
.
2
(1 + 0, 15)
(1 + 0, 15)3
O último pagamento foi de R$283,76.
Pedro tem duas opções de pagamento na compra de
um televisor:
i) três prestações mensais de R$160,00 cada;
ii) sete prestações mensais de R$70,00 cada.
Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra.
Se o dinheiro vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção que
Pedro possui?
Solução. Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos
de pagamentos na mesma época, por exemplo na época 2. Os esquemas de pagamentos são:
Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de pagamentos na mesma época, por exemplo na época 2.
Matemática Financeira
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Figura 2:
Temos,
a = 60(1 + 0, 02)2 + 160(1 + 0, 02) + 160 = 489, 66
70
b = 70(1 + 0, 02)2 + 70(1 + 0, 02) + 70 +
1 + 0, 02
70
70
70
+
+
+
= 480, 77
(1 + 0, 02)2 (1 + 0, 02)3 (1 + 0, 02)4
Pedro deve preferir o pagamento em seis prestações.
É um absurdo que muitas pessoas razoavelmente instruídas achem
que o primeiro esquema é melhor pois o total pago é de R$480,00 ao
passo que no segundo esquema o total pago é de R$490,00.
Exemplo 6.
Pedro tem três opções de pagamento na compra de
vestuário.
i) à vista, com 30% de desconto.
ii) em duas pretações mensais iguais, sem desconto, vencendo a
primeira um mês após a compra.
iii) em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a
primeira no ato da compra.
Qual a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao
mês?
6
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Solução.
Fixando o preço do bem em 30, temos os três esquemas
abaixo
Figura 3:
Comparando os valores, por exemplo, na época 0, obtemos:
a = 21
15
15
+
= 21.6
1 + 0, 25 (1 + 0, 25)2
10
10
c = 10 +
+
= 24, 4
1 + 0, 25 (1 + 0, 25)2
b =
A melhor alternativa é a primeira e a pior é a em três prestações.
Exemplo 7. Uma loja oferece duas opções de pagamento:
i) à vista, com 30% de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira
prestação sendo paga no ato da compra.
Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?
Matemática Financeira
Solução.
7
Fixando o valor do bem em 100, temos os esquemas de
pagamentos abaixo:
Figura 4:
Igualando os valores, por exemplo, na época 0 (a data usada nessas
comparações é chamada de data focal), obtemos
i = 1, 5 = 150%.
70 = 50 +
50
. Daí,
1+i
A loja cobra 150% ao mês nas vendas a prazo.
Exemplo 8. Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em quanto
tempo você dobrará o seu capital inicial?
Solução. Temos
C0 (1 + 0, 08)n = 2C0 .
1, 08n = 2
e
n=
Daí,
log 2 ∼
=9
log 1, 08
Em aproximadamente nove meses você dobrará o seu capital inicial.
Um importante resultado que já foi obtido na Unidade 7 e será
repetido é a
Fórmula das taxas equivalentes. Se a taxa de juros relativamente
i, a taxa de juros
1 + I = (1 + i)n .
a um determinado período de tempo é igual a
tivamente a
n
períodos de tempo é
I
tal que
rela-
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Exemplo 9.
tal que
A taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês é
12
1 + I = (1 + 0, 12)
. Daí,
I∼
= 2, 90 = 290%
Um erro muito comum é achar que juros de
a juros anuais de
12 × 12% = 144% ao ano.
I
ao ano.
12% ao mês equivalem
Taxas como 12% ao mês e
144% ao ano são chamadas de taxas proporcionais, pois a razão entre
elas é igual à razão dos períodos aos quais elas se referem.
Taxas proporcionais não são equivalentes. Um (péssimo) hábito
em Matemática Financeira é o de anunciar taxas proporcionais como
se fossem equivalentes. Uma frase como 144% ao ano, com capitalização mensal signica que a taxa usada na operação não é a taxa de
144% anunciada e sim a taxa mensal que lhe é proporcional.
Portanto, a tradução da expressão 144% ao ano, com capitalização mensal é 12% ao mês. As pessoas menos educadas matematicamente podem pensar que os juros sejam realmente de 144% ao ano,
mas isso não é verdade.
Como vimo no exemplo 9, os juros são de
290% ao ano.
A taxa de 144% ao ano é chamada de taxa nominal e a taxa de
290% ao ano é chamada de taxa efetiva.
Exemplo 11.
24% ao ano com capitalização semestral signica
12% ao semestre; 1% ao mês com capitalização trimestral signica
3% ao trimestre e 6% ao ano com capitalização mensal signica
0,5% ao mês.
Exemplo 12.
Verônica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano
com capitalização mensal. Qual a taxa anual de juros à qual está investido o capital de Verônica?
Matemática Financeira
Solução.
9
O dinheiro de Verônica está investido a juros de taxa
i = 0, 5% ao mês. A taxa anual equivalente a I tal que 1+I = (1+i)12 .
Daí, I = 0, 0617 = 6, 17% ao ano. A taxa de 6% ao ano é nominal e a
taxa de 6,17% ao ano é efetiva.
Exemplo 13.
A taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao
semestre com capitalização mensal é
Daí,
I = 26, 53%
I
tal que
1 + I = (1 + 0, 04)6 .
ao semestre.
Exercícios
1. Investindo R$450,00 você retira, após 3 meses, R$600,00. A que
taxa mensal de juros rendeu seu investimento?
2. Determine as taxas mensais equivalentes a 100% ao ano e a 39%
ao trimestre.
Determine as taxas anuais equivalentes a 6% ao mês e a 12%
3.
ao trimestre.
4. Determine as taxas efetivas anuais equivalente a:
a) 30% ao ano, com capitalização mensal.
b) 30% ao ano, com capitalização trimestral.
c)
i
ao ano, capitalizados
5. Qual o limite, quando
k
k
vezes ao ano.
tende para innito, da resposta ao item
c) do problema anterior? Neste caso diz-se que os juros estão sendo
capitalizados continuamente e
ros.
ié
chamado de taxa instantânea de ju-
10
6.
MA12 - Unidade 10
Use a resposta do problema anterior para dar uma denição -
nanceira do número
e.
7. Determine
a) a taxa efetiva trimestral equivalente a 12% ao trimestre com
capitalização contínua.
b) a taxa instantânea anual equivalente à taxa efetiva anual de
60%.
c) a taxa instantânea semestral equivalente à taxa efetiva anual de
60%.
8.
A Mesbla, em vários natais, ofereceu a seus clientes duas alter-
nativas de pagamento:
a) pagamento de uma só vez, um mês após a compra.
b) pagamento em três prestações mensais iguais, vencendo a primeira no ato da compra.
Se você fosse cliente da Mesbla, qual seria a sua opção?
9.
O Foto Studio Sonora convidou, em dezembro de 1992, os seus
clientes a liquidarem suas prestações mensais vincendas, oferecendolhes em troca um desconto. O desconto seria dado aos que pagassem,
de uma só vez, todas as prestações a vencer em mais de 30 dias, e
seria de 30%, 40% ou 50%, conforme fossem pagas uma, duas ou três
prestações.
Supondo que o dinheiro valia 27% ao mês, a oferta era
vantajosa?
10.
Lúcia comprou um exaustor, pagando R$180,00, um mês após
a compra e R$200,00, dois meses após a compra. Se os juros são de
Matemática Financeira
11
25% sobre o saldo devedor, qual é o preço à vista?
11.
Uma geladeira custa R$1 000,00 à vista e pode ser paga em
três prestações mensais iguais. Se são cobrados juros de 6% ao mês
sobre o saldo devedor, determine o valor da prestação, supondo que a
primeira prestação é paga:
a) no ato da compra;
b) um mês após a compra;
c) dois meses após a compra.
12. Ângela tomou um empréstimo de R$400,00, por dez meses. Os
juros foram de 3% ao mês durante os quatro primeiros meses, de 5%
ao mês durante os cinco meses seguintes e de 9% ao mês no último
mês. Calcule:
a) a taxa média de juros.
b) o montante pago.