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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 2, Junho, 2000
Uma Analise Semi-Classica
para Teoria de Perturbac~ao na Forma
Rosana B. Santiago
Departamento de Eletr^onica Qu^antica,
Instituto de Fsica, Universidade do Estado do Rio de Janeiro,
Rua S~ao Francisco Xavier 524 Maracan~a, 20550-013, Rio de Janeiro,Brazil
e
L. G. Guimar~aes
Departamento de Fsica Nuclear,
Instituto de Fsica, Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Cx. Postal 68528, 21945-970, Rio de Janeiro,Brazil.
Recebido em 13 de janeiro, 2000
Neste trabalho, baseados na regra de quantizac~ao de Bohr-Sommerfeld e nos efeitos de tunelamento,
mostramos que e possvel estimar o espectro de energia de pocos de potencial nitos por meio do
comportamento do espectro de um poco innito equivalente.
In this work based on Bohr-Sommerfeld quantization rule and wave function tunneling eects, we
show that it is possible to estimate the energy levels of a nite conning potential well comparing
the energy spectrum of this one with the behavior of the spectrum of an innite well.
I Introduc~ao
Em geral, nos cursos introdutorios de fsica moderna
n~ao e uma tarefa facil introduzir o conceito de tunelamento. Acreditamos que isto1 se deva em parte a
aus^encia de uma analogia clara deste fen^omeno com
outros da mec^anica classica. Aqui vamos tentar mostrar
que a ideia de comprimento de tunelamento pode ser
vista como uma escala natural de medida de dist^ancia
espacial. Por outro lado, certos problemas em fsica podem ter seu estudo facilitado por meio de teorias perturbativas. Em geral, na teoria de Rayleigh-Schrodinger
modelamos o potencial relacionado ao problema real
como sendo um potencial exatamente soluvel superposto a uma pequena perturbac~ao. Aqui veremos que
estes conceitos podem tambem ser estendidos as teorias semi-classicas. Para tanto, faremos um estudo
do espectro de energia de pocos nitos utilizando as
ideias do modelo de mec^anica qu^antica de Bohr para a
quantizac~ao de movimentos periodicos. Com isto, mostraremos que o problema de determinac~ao do espectro
de energias mais baixas de pocos nitos e analogo ao
calculo dos mesmo nveis de energia de um poco mais
largo porem delimitado por barreiras mais altas. Para
tanto, e necessario que o conceito e os efeitos de tunelamento sejam introduzidos como novas escalas de
comprimento associadas ao problema.
1
Este trabalho esta organizado da seguinte forma.
Na segunda Sec~aII exporemos as ideias basicas relacionadas a teoria semi-classica de perturbac~ao na
forma. Nas sec~oes posteriores estudaremos dentro deste
contexto tr^es classes distintas de potenciais a saber:
Harm^onico, retangular e triangular. Por m, nalizaremos o trabalho fazendo um resumo de nossos principais
resultados.
II O modelo semi-classico
Neste trabalho vamos admitir que uma partcula de
massa m seja connada por um potencial da forma:
2
~
V (x) = 2mL
2 V0 (x ; x0)
(1)
Sendo uma func~ao da posic~ao da partcula e as
grandezas positivas V0 e L representando respectivamente escalas apropriadas de energia e comprimento.
Alem disto, sem perda de generalidade vamos admitir
que x0 seja um ponto onde o potencial e a forca sejam
nulos. Desta forma, estamos interessados em obter estimativas para as auto-energias associadas a seguinte
equac~ao de Schrodinger unidimensional e independente
do tempo:
Achamos que o conceito de ondas evanescentes comumente abordado em livros-texto n~ao e muito apropriado para esta tarefa.
Rosana B. Santiago e L.G. Guimar~aes
~2 d2
217
~2
~2
; 2m dx2n + 2mL2 V0 (x ; x0 ) n = 2mL2 "n n
;1 < x < 1
(2)
onde temos associadas as auto-func~oes n (x), as respectivas escalas "n de auto-energias (em unidades reduzidas). Alem disso, como V0 e nito, existe um numero
nito nmax +1 de estados ligados, de tal forma que n =
0; 1; :::; nmax . Para fazermos uma analise semi-classica
e conveniente reescrever a equac~ao diferencial(2) da seguinte forma:
d2 n + k2 (x) = 0 ; ;1 < x < 1;
n
n
dx2
onde denimos kn o momento efetivo como
(3)
p
kn(x) "n ; V0L(x ; x0) ; x1 ("n ) x x2 ("n );
(4)
sendo x2;1("n ) os pontos de retorno classicos, ou seja,
s~ao os zeros do momento efetivo (kn (x2;1) = 0 ). A
regra de quantizac~ao de Bohr-Sommerfeld [1] nos diz
que
Zx2
x1
dx kn(x) = (n + 12 ) :
(5)
Em geral, a regra de quantizac~ao(5) da origem
a equac~oes transcendentais cujos zeros s~ao os valores
possveis para as auto-energias "n . Alem disso, e interessante notar da Fig. 1, que a area hachurada sob
a curva kn vale (n + 1=2). Portanto para um dado
valor de "n , pode haver diferentes curvas passando por
pontos de retorno proximos a x2;1, tais que sua area
tambem seja (n+1=2). Para entendermos isto melhor
vamos olhar para a serie de Taylor de kn (x) em torno
de x0, a saber:
c
kn (x) L;1 p"n
2
1 ; 4"1 V0 ddx2
n
x0
(x ; x0 + O(x ; x0
)2
)3
!
:
(6)
d
Figura 1. Comportamento do momento efetivo k . Observe
que k , possui um maximo em x0 e zeros em x2 1 . A regra
de quantizac~ao de Bohr-Sommerfeld(5) arma que a area
hachurada acima vale (n + 1=2).
n
n
;
Desta forma uma vez que o valor de "n e adotado
como xo, curvas com a propriedade de preservac~ao de
area acima citada devem ter o termo entre colchetes
da expans~ao em Taylor(6) bastante semelhantes. Em
outras palavras, para que isto ocorra e necessario que
o produto da barreira de potencial pela curvatura do
mesmo na vizinhanca de x0 varie pouco. Por exemplo,
sabemos que os valores das auto-energias associadas a
pocos qu^anticos crescem a medida que os valores caractersticos das larguras efetivas destes pocos decrescem.
Porem, isto tambem ocorre quando a altura das barrei-
ras que delimitam o poco crescem. Ou seja, do ponto
de vista do espectro, existe um mecanismo competitivo
entre a largura de pocos versus a altura de barreiras.
Este fato nos permite introduzir um procedimento sistematico de calculo de espectro de energia baseado em
perturbac~ao na forma do potencial. Por exemplo, para
um dado valor especco de auto-energia associada a
um poco nito podemos tambem associa-la a um poco
innito porem mais largo. Sendo que esta nova escala
de largura do poco sera delimitada pelo comprimento de
tunelamento (veja a Fig. 2)). Obviamente, este procedimento n~ao e unico. Entretanto, muitas vezes o fato da
barreira de potencial ser ilimitada introduz condico~es
de contorno que facilitam a resoluc~ao do problema. A
Fig. 2 compara o potencial V0 (x) com o potencial
modelador U0 (x). Suponha, por outro lado, que seja
inviavel uma resoluc~ao exata ou mesmo semi-classica do
problema real V0 (x), entretanto isto n~ao ocorra para
o potencial modelador U0 (x). Desta forma, admitamos por exemplo que no limite de U0 ! 1, possamos
aplicar a regra de quantizac~ao(5) ao potencial U0 (x)
para estimar uma dada auto-energia sua. Sendo assim, podemos tambem estimar o espectro associado ao
problema real V0 (x) de poco de profundidade nita
contanto que sejam adicionadas as escalas de comprimento do problema modelado o comprimento de tunelamento (veja Fig.2). Uma vez que obteve-se explicitamente "n () aplicando-se a Eq.(5) ao potencial
modelador U0 (x), a Fig. 2 sugere que uma estimativa
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para o comprimento de tunelamento e a soluc~ao da
seguinte equac~ao transcedental
! n x02("n ) ; x2("n ):
(7)
+
n + 34 :
(8)
Nos abordamos com essas ideias problemas de pocos
de potenciais nitos com formas simples tais como parabolica, retangular e triangular. A seguir exibiremos
estes resultados em mais detalhes.
III Comparando o oscilador harm^onico com o
potencial tanh2(x)
Figura 2. O espectro de um poco de profundidade V0 pode
ser interpretado como sendo o espectro de um poco U0 mais
profundo porem com uma `largura efetiva' maior devido ao
tunelamento da func~ao de onda.
No caso de pocos nitos porem discontnuos nos
pontos x = xd , essas ideias podem tambem serem aplicadas. Para tanto, e necessario se utilizar uma regra
de quantizac~ao similar a Eq.(5) aplicavel ao caso de
potenciais discontnuos. Tal equac~ao e expressa como
[2]
Zx2
x1
dx kn(x) = ; lim
!0
X
d
(xd ; ) arctan kkn (x
n d + )
Neste trabalho, denimos como potenciais contnuos
aqueles que com excec~ao da origem x = 0 (que por ventura pode se tornar um eixo de simetria de invers~ao)
s~ao em todo restante do eixo real func~oes innitamente
diferenciaveis (C 1 ). Em caso contrario, dizemos que o
potencial e discontnuo, e se torna necessario se impor
como condic~ao de contorno a continuidade da funca~o de
onda e sua derivada nestes pontos de discontinuidade.
Vamos inicialmente analisar o problema de uma
partcula sujeita ao potencial dado por
(x) =
1
tanh2(x=s)
x<0
0 < x < 1;
(9)
onde s e o alcance do potencial. Para resolvermos o
problema acima[3] e conveniente fazermos a mudanca
de variavel = tanh(x=s) na equac~ao diferencial(3),
obtendo
c
d ;1 ; 2 d n + s 2 V ; (V0 ; "n )
(10)
0
n = 0 ; ;1 < x < 1:
d
d
L
1 ; 2
Observando que a Eq. (10) e a equac~ao diferencial das func~oes associadas de Legendre e que alem disso, tambem
temos que impor a condic~ao de contorno que n se anule na origem, segue-se ent~ao que as auto-energias s~ao dadas
por
2 (2n + 3=2)pV (s=L)2 + 1=4 ; 1 [2(n + 1)(2n + 1) + 1=2] :
(11)
"n = (s=L)
0
2
(s=L)2
d
Por outro lado, segue da regra de quantizac~ao (5)
que "n satisfaz
p
2 V0 (2n + 1) 1 ; (2n +p1) :
"n = (s=L)
(12)
2(s=L) V0
Uma vez que V0 e nito, a dist^ancia entre nveis
consecutivos diminui a medida que n cresce. Este tipo
de comportamento nos permite estimar nmax , ou seja,
admitindo que nmax e um ponto crtico da Eq.(12) obtemos que
p
nmax s V20 ; 1 :
(13)
Para V0 = 200 e s = L, a Fig. 3 mostra todos
os possveis nveis de energia(11). E interessante notar
que para estes valores de V0 e s, a Eq.(13) fornece que
nmax 6:57. Comparando os resultados numericos nos
Rosana B. Santiago e L.G. Guimar~aes
casos exato (11) e semi-classico (12), vemos, da tabela
1, que a medida que n cresce os dois resultados se aproximam. Isto e um comportamento tpico dos resultados
semi-classicos, uma vez que a aproximac~ao((5) e t~ao
melhor quanto mais afastados estejam os pontos de retorno x1 e x2 . Por outro lado, do ponto de vista de suas
formulas explcitas, comparando o resultado exato (11)
com o resultado semi-classico (12), vemos que no caso
de pocos muito profundos ou largos, que este ultimo resultado pode ser interpretado como o limite assintotico
do primeiro (veja a tabela 1) para mais detalhes). Alem
disso para pocos muito profundos (V0 ! 1), podemos
notar de (12) que a separac~ao entre nveis consecutivos
e quase constante. Este fato sugere que neste limite
podemos modelar o comportamento do potencial (9)
como o de um oscilador harm^onico do tipo:
x<0
(x) = 1
(14)
(x=r)2 0 < x < 1
219
p
2 V0 (2n + 1):
"n = (r=L)
(15)
Portanto, para uma dada auto-energia "n , a soluc~ao
de (15), se adotarmos r ! rn = s + n . Segue de (7)
que neste caso particular, uma estimativa para o comprimento de tunelamento e dada por
n s "n =(2V0 ):
(16)
Figura 4. Potenciais (9) com o modelador (14). Para os estados a) Fundamental e b) Primeiro Excitado com V0 = 200
e s = L:
Figura 3. Perl do potencial (9) e seus respectivos nveis de
energia (11) para V0 = 200 e s = L:
n
0
1
2
3
4
5
6
"Exato
n
39.95291510
86.55680190
125.1606887
155.7645755
178.3684623
192.9723491
199.5762359
"BS
n
27.28427124
75.85281371
116.4213562
148.9898987
173.5584411
190.1269836
198.6955261
Erro(%)
31.70893495
12.36643216
6.982489942
4.349305212
2.696676945
1.474493892
0.441289914
Tabela 1: Comparaca~o das auto-energias para V0 = 200 e
s = L, com o resultado exato "
(veja Eq.(11)) com o
resultado semi-classico " dado pela Eq.(12). Observe na
ultima coluna que o erro relativo entre os dois resultados
decresce a medida que n cresce.
Exato
n
BS
n
Desta forma, uma vez que no caso do oscilador
harm^onico os resultados exato e semi-classico coincidem, segue que as auto-energias devem satisfazer a
equac~ao
Vemos que (12) e (15) possuem o mesmo comportamento assintotico quando V0 ! 1. Isto signica que
para obtermos o espectro, podemos resolver simultaneamente Eqs.(15 e 16) ao inves de resolvermos Eq.(12).
Certamente isto se tornaria extremamente util caso n~ao
fosse possvel se obter explicitamente (12) ou (11). Para
V0 = 200 e s = L, as Figs. 4a e b mostram para o
estado fundamental e primeiro estado excitado respectivamente os possveis potenciais modeladores do tipo
oscilador harm^onico (14). Note-se, como era de se esperar, que em ambos os casos os potenciais modeladores
s~ao mais 'largos' que o potencial nito(9). Passemos
agora a aplicar estas ideias a potenciais discontnuos.
IV Os potenciais nitos retangular e triangular
Inicialmente para analisar estes dois tipos de potenciais e conveniente se introduzir um fator 2 nas escalas
de energia, de forma que as equac~oes de Schrodinger
(2) e momento efetivo kn (veja a Eq.(4)) passam a ser
respectivamente reescritas como
2 2
2 2
2 2
~ d n
~ ~ ; 2m
dx2 + 2mL2 V0 (x ; x0) n = 2mL2 "n n
;1 < x < 1;
(17)
220
com
Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 2, Junho, 2000
p
kn(x) "n ; V0L(x ; x0 )
x1 ("n ) x x2 ("n ):
(18)
Sendo assim, denimos o potencial retangular nito
como
s=2
(x) = 0V ;; jjxxjj <
(19)
> s=2 :
0
Como este potencial e par, suas auto-func~oes possuem paridade denida. Isto introduz a util condic~ao
de cont^orno que as auto-func~oes mpares e a primeira
derivada das pares devam se anular na origem. Desta
forma exigindo tambem a continiudade da derivada logartmica de n em x = s=2 ou em x = ;s=2, pode-se
mostrar [1] que o espectro e soluc~ao da seguinte equac~ao
transcedental e dada por
+ 1)2 2 :
"n (V0 ) (s(n
+ 2 L=s)2
A Eq.(24) acima pode ser interpretada como o espectro de energia de um poco innito porem com uma
largura n(L=s)+s+n (L=s), onde cada fator proporcional a n deve-se ao tunelamento da func~ao de onda nas
duas regi~oes classicamente proibidas ;1 < x ;s=2
e s=2 < x 1.
Observe que com isto para os nveis de mais baixa
energia podemos fazer uma estimativa rudimentar para
o espectro, como sendo
(n + 1)22
"n (V0 ) 2
q
2
s + 2 L= V0 ; [(n + 1)=s]
com n nsmax :
(25)
De forma analoga podemos estudar o problema de
um poco triangular nito. Neste caso, denimos o potencial da seguinte forma
2
s
(21)
s + 2`n ;
onde denimos uma escala de comprimento `n dada por
!
r
`n (V0 ) pL" arctan 1= V" 0 ; 1 :
n
n
(22)
Observe que no limite de V0 ! 1, `n e da mesma
ordem do comprimento de tunelamento (7) (veja Fig.2)
ou seja
(24)
n
!
r
s p" + 2 arctan 1= V0 ; 1 = (n + 1)
L n "n
s
n = 0; 1; :::; nmax
(20)
No caso de aplicarmos a regra de quantizac~ao(8)
obtemos um resultado analogo a (20) onde troca-se
(n + 1) ! (n + 3=4). Nos dois casos, uma maneira
mais conveniente de se escrever (20) e a seguinte
2 2
"n (V0 ) = (n +s1)
2
=L :
`n p L
(23)
V0 ; "n s n
Um vez que `n ! 0 quando V0 ! 1, ent~ao podemos neste limite reescrever (21) como
(x) =
2V0 jxj =t para jxj < t=2
V0
para jxj > t=2:
(26)
Novamente o potencial e par e t e seu alcance.
Porem neste caso as func~oes de onda com paridade denida s~ao combinac~oes lineares de func~oes regulares Ai
e irregulares (no innito) Bi de Airy [4]. Desta forma,
usando a simetria das auto-func~oes do problema e exigindo a continuidade da sua derivada logartmica em
x = t=2, o espectro de energia tem que satisfazer a
seguinte equac~ao transcendental
c
r
0 (n (x)) ; ;nBi0 (n (x)) p
22 V0 Lt Ai
=
;
V0 ; "n ;
Ai(n (x)) ; ;nBi(n (x)) x=t=2
p
onde denimos n (x) 3 22 V0 L=t (x ; t "n =V0) e,
0 (n (0))
1
Ai
Ai(
n (0))
n
n
;n 2 (1 + (;1) ) Bi0 ( (0)) + (1 ; (;1) ) Bi( (0)) ;
n
n
3
(27)
(28)
d
Em geral, a soluc~ao numerica de (27) n~ao e uma tarefa trivial. Porem aplicando-se a regra de quantizac~ao
(8) ao potencial (26) obtem-se um resultado relativamente simples para o espectro, a saber
"n 23 (t +V02` )
n
2=3 n + 43
2=3
Rosana B. Santiago e L.G. Guimar~aes
221
com n = 0; 1; :::; ntmax ;
(29)
onde `n e descrito pela Eq.(23). De forma analoga ao
problema do poco retangular, podemos interpretar (29)
como sendo as auto-energias associadas a um poco triangular innito porem com sua largura efetiva t + 2`n
mais larga que o caso nito. Essa diferenca entre larguras deve-se a penetrac~ao da func~ao de onda nas regi~oes
classicamente proibidas. Alem disso para ambos os tipos de pocos tanto retangular como triangular, usandose as formulas semi-classicas acima podemos estimar os
seus respectivos numeros maximos de estados ligados,
nsmax e ntmax , tais que
p
nsmax 2 s V0 ; 1;
(30)
p
ntmax 43 t V0 ; 32 :
(31)
Comparando (30) com (31), vemos que para pocos
de mesmas larguras e alturas, o poco retangular permite a exist^encia de mais estados ligados que o triangular. Isto deve-se a variac~ao com a energia dos pontos
de retorno associados ao poco triangular, fato este que
n~ao ocorre no caso retangular. A Fig. 5 compara os
nveis de energia de pocos retangular com triangular
que possuem barreiras de mesma altura (V0 ) e largura
(t = s = L). Os smbolos com formas quadradas e triangulares representam os resultados semi-classicos que
s~ao dados respectivamente pelas Eqs.(24 e 29) enquanto
que as barras verticais s~ao os resultados numericos exatos obtidos resolvendo-se (20) e (27) respectivamente.
Observe que neste casos, nsmax = 27 > ntmax = 17 conrmando os resultados semi-classicos dados em (30) e
(31).
V Conclus~ao
Neste trabalho, atraves de argumentos semi-classicos,
mostramos que e possvel se estimar o espectro de pocos
nitos modelando-os por potenciais tambem connantes com larguras efetivas maiores, porem cujas barreiras
possam ser innitas. Este acrescimo na largura do poco
modelador deve-se basicamente a penetrac~ao da funca~o
de onda nas regi~oes classicamente proibidas. Com essas ideias, abordamos problemas de pocos de potenciais nitos com formas simples tais como parabolica,
retangular e triangular. Estes resultados se mostraram bastante simples e satisfatorios quando comparados com os resultados exatos descritos em geral em termos de func~oes especiais. Desta forma, acreditamos que
a metodologia semi-classica aqui proposta seja uma pequena contribuic~ao para uma compreens~ao pedagogica
dos mecanismos inerentes da mec^anica qu^antica como
por exemplo, o tunelamento. Este trabalho tem apoio
parcial das ag^encias de fomento CNPq e FAPERJ.
Figura 5. Nveis de energia de pocos retangular com triangular com barreiras de mesma altura (V0 ) e largura (t = s = L).
Os quadrados, os tri^angulos e as barras verticais representam os resultados semi-classicos e exatos dados respectivamente
pelas Eqs.(24, 29) e Eqs.(20, 27). V0 = 200 e s = L.
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