Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 1, Marco, 1999
33
Simetrias e Leis de Conservac~ao na
Mec^anica Classica
Adriano de Souza Martins
Dep. de F
sica do Estado S
olido - UFRJ
Cx. Postal 68528, CEP 21945-970, (Rio de Janeiro)
Recebido em 26 de Junho, 1998
A conex~ao entre leis de conservac~ao e simetrias do sistema s~ao analisadas dentro do formalismo
lagrangeano. Apos uma breve exposica~o dos conceitos acima citados, apresentaremos a conex~ao
entre estes sob o ponto de vista do teorema de Noether, cuja deduca~o sera apresentada. Discutiremos
uma ampliac~ao deste teorema, de modo a incluir a variac~ao de calibre das lagrangeanas, de modo
a lancar luz em novas simetrias do sistema.
The connection between conservation laws and symmetries properties of physical systems are showed
in Lagrangian formalism. After a short exposition of symmetries and conserved quantities concepts,
we will explore their connection in the Noether Theorem frame. We also discuss one ampliation of
this theorem to include the gauge variant Lagrangians.
I Introduc~ao
O estudo das propriedades de simetria de um sistema
nos da preciosas informac~oes sobre o mesmo, como a
forma de suas soluc~oes (Teorema de Bloch), reduc~ao de
graus de liberdade, etc.... Dentro deste contexto, quero
examinar o papel das simetrias dentro do formalismo
lagrangeano da mec^anica e sua relaca~o com quantidades fsicas conservadas, sob o ponto de vista do teorema
de Noether. Este teorema, de grande import^ancia e riqueza, quase n~ao e tratado nos cursos convencionais de
mec^anica classica, apesar de sua forma simples. Historicamente, a conex~ao entre leis de conservaca~o e simetrias
foi investigada primeiramente por Schutz[6] no caso de
simetria translacional. Uma formulac~ao mais precisa
e dada pelo teorema de Noether[5] , que estabelece o
elo entre as leis de conservac~ao e as transformac~oes do
grupo de Galilei.
O que pretendo neste texto e apresentar uma especie
de revis~ao dos conceitos de simetrias na fsica classica e
sua conex~ao com a conservac~ao de quantidades fsicas,
sob o ponto de vista do Teorema de Noether. Este Teorema e pouco comentado em livros didaticos, apesar
de sua aparente popularidade. Com vista a enriquecer
e-mail:
[email protected]
mais a discuss~ao, veremos como estender a aplicabilidade do teorema de Noether de modo a incluir o fato
que lagrangeanas que diferem por uma derivada total
no tempo de uma func~ao s~ao equivalentes, ou seja, descrevem o mesmo sistema fsico[4] . A seguir apresentarei
um breve resumo dos conceitos de simetria e leis de
conservac~ao, com as respectivas analogias entre os formalismos Newtoniano e lagrangeano.
II Simetrias
O termo simetria em Fsica refere-se a um conjunto
de transformac~oes denidas num grupo que levam uma
express~ao ser invariante na sua forma: dizemos ent~ao
que o sistema e invariante sob aquela transformac~ao ou
que ele apresenta uma simetria no par^ametro da transformac~ao. As operac~oes aqui ser~ao aquelas denidas
no grupo de Galilei, pois tudo que aqui sera analisado
sera dentro do limite n~ao relativstico. Vamos tomar o
formalismo Newtoniano como exemplo:
@ 2 ri
@t2
Fi = ,ri Ui (ri );
Fi = mi
(1)
(2)
Adriano de Souza Martins
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para forcas deste tipo, as equac~oes de movimento do
tipo 1, s~ao invariantes sob transformac~oes de Galilei do
tipo:
,!
t = t + ;
r = ,!
r + ,!
+ ,!
t
(3)
Aqui, ao referir-me ao termo invari^ancia, estarei me
referindo a invari^ancia da lagrangeana sob operac~oes
de deslocamento em suas coordenadas generalizadas,
n~ao em sua equac~ao de movimento. Como ilustraca~o
basta lembrarmos que sempre associa-se a conservac~ao
do momento linear a translac~oes espaciais e da energia
a translac~oes temporais. Mas esta invari^ancia referese a lagrangeana L que descreve o sistema, pois uma
partcula submetida a uma forca friccional movendo-se
segundo a equac~ao
2
m @@t2r = ,k @r
(4)
@t
n~ao conserva momento nem energia, apesar desta
equac~ao ser invariante sob translaco~es temporais e espaciais. Vemos assim que n~ao existe uma relac~ao
biunvoca entre as simetrias da equac~ao de movimento
com as da lagrangeana L. Para uma discuss~ao mais
aprofundada, sugiro a leitura do artigo do Havas[2] .
0
0
III Leis de Conservac~ao
Na mec^anica classica, uma grandeza fsica G e conservada se:
dG = 0
(5)
dt
O termo conservac~ao e utilizado aqui no sentido que
uma particular express~ao que caracteriza um sistema,
efetuada num instante t0 , e independente de de t, ou
seja, e uma constante de movimento. Na mec^anica newtoniana, se temos um sistema de partculas n partculas,
a forca sobre a i-esima partcula na aus^encia de forcas
externas e dada por:
,F! = X ,
F!;
i
ik
i6=k
,F! = ,r V;
i
i
(6)
Se estas forcas obedecem a terceira Lei de Newton,
,
,!
F!
c~ao usuais para
ik = ,Fki , obtemos as leis de conserva
um sistema de partculas:
dE = 0; E = X (T + V ) ;
(7)
i
i
dt
i
d,!
P = 0;
dt
X!
,!
P = ,
p;
i
i
(8)
d,!
L = 0;
dt
X ,!
,!
L = ,!
ri pi ;
i
(9)
X ,! ,!
d,!
G = 0; ,!
G
=
mi ri , P t;
(10)
dt
i
que expressam, respectivamente, a conservac~ao da energia, do momento linear, do momento angular e do movimento do centro de massa do sistema. No formalismo
lagrangeano, o sistema e descrito pela sua funca~o lagrangeana L:
L = L(q; q;_ t)
(11)
e as equac~oes de movimento s~ao dadas pelas equaco~es
de Euler-Lagrange:
d @L , @L = 0
(12)
dt @ q_
@qk
Se a lagrangeana L n~ao depende explicitamente de
uma coordenada q, dizemos que esta coordenada e
cclica ou ignoravel. Para uma coordenada ignoravel
qk :
@L = 0
(13)
@q
k
levando (13) para a equaca~o (12) obtemos:
pk = @@L
(14)
q_k = const:
Na equac~ao acima, pk e chamado de momento generalizado conjugado a coordenada qk . A equaca~o (12)
expressa a conservac~ao do momento generalizado.
IV Teorema de Noether
Vimos que a aus^encia explcita da depend^encia da lagrangeana L em uma coordenada leva a independ^encia
desta frente a uma transformac~ao que altere o valor da
variavel, nos dando a conservac~ao do momento generalizado. Pictoriamente, podemos visualisar o Teorema
de Noether como uma especie de maquina, onde entramos com a transformac~ao de simetria na variavel qk e
tiramos a grandeza conservada G:
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Figura 1. Estrutura pictoria do Teorema (maquina) de Noether.
Para uma lagrangeana do tipo (11), o teorema de
Noether e dado pela express~ao
d @L q_ , L t + @L q = 0
(15)
dt @ q_k k
@ q_k k
A demonstrac~ao deste, assim como as condic~oes necessarias para a sua deduc~ao est~ao no ap^endice deste
texto. Sugiro sua leitura para a melhor compreens~ao
n~ao so da conex~ao que queremos explorar, assim como
da extens~ao que se faz a este teorema de modo a se levar
em conta a variac~ao das lagrangeanas frente a transformac~oes de calibre.
A. Translac~ao temporal
Uma translac~ao temporal e denida como
et = t , t ; qk = 0
0
(16)
Levando estas transformac~oes para o teorema (15) teremos
d @L q_ , L = 0 ! E = @L q_ , L = const:;
dt @ q_k k
@ q_k k
(17)
onde a constante E resulta ser a energia total do sistema. Veremos no ap^endice uma extens~ao do teorema
de Noether que permitira obter a conservac~ao da energia e de outra quantidades n~ao previstas pela forma
padr~ao do teorema.
B. Translac~ao espacial
A mais simples transformac~ao de simetria neste caso
e a translac~ao da origem de um sistema cartesiano ao
longo de apenas uma das tr^es direc~oes que o forma.
Escolhendo o eixo x no qual a translac~ao e feita:
et = t; xe = x , x ; ye = y; ze = z
0
(18)
Levando estas transformac~oes em (15) teremos
d @L x = 0 ! @L = p = const:;
(19)
dt @ x_
@ x_ x
que e a express~ao usual para a conservac~ao do momento
linear ao longo da direc~ao em que e feita a translaca~o.
C. Rotac~ao em torno de um eixo
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Para uma rotac~ao innitesimal de um ^angulo em
torno do eixo z de um sistema de coordenadas cartesianas, as novas coordenadas s~ao conectadas as antigas
pelas seguintes transformac~oes
xe = x + y ; ye = y , x ; ze = z
ex_ = x_ + y_ ; ey_ = y_ , x_ ; ez_ = z_ (20)
onde implicitamente e assumido que et = t: Levando as
express~oes acima na express~ao do teorema de Noether
resulta que
@L @L x @ y_ , y @ x_ = [xpx , ypy ] = const: (21)
A express~ao (21) nos da a conservac~ao usual da componente z do momento angular. Aqui encerramos os
exemplos, porem estes n~ao se esgotam nestes poucos
aqui apresentados. Vale a pena tambem ressaltar que
ha uma formulac~ao analoga do Teorema de Noether
para campos, onde ele se mostra ainda mais poderoso.
Uma boa discuss~ao desta extens~ao podemos encontrar
num artigo devido a Hill[3] .
V Leis de conservac~ao para lagrangeanas que apresentam
variac~ao de calibre
A. Introduc~ao
Nesta sec~ao quero apresentar uma extens~ao natural da anterior. Quando um sistema fsico apresenta
alguma propriedade de simetria, ele e descrito por
equac~oes de movimento invariantes sob o grupo correspondente de transformaco~es. A lagrangeana que o
descreve porem n~ao deve necessariamente o ser. Na
demonstrac~ao do Teorema de Noether, detalhada no
ap^endice, uma das hipoteses levada em conta foi que a
lagrangeana deveria ter a mesma forma funcional apos
as transformac~oes de simetria, ou seja:
L = L (q; q;_ t) , Le qe; eq;_ et = 0
(22)
Com isto, exclui-se uma classe de sistemas cujas lagrangeanas s~ao ditas variantes de calibre[4] . Dizemos que
uma lagrangeana sofre uma variac~ao de calibre se ao
realizarmos sobre a mesma uma transformac~ao de simetria, ela variar apenas de uma derivada total no tempo
Adriano de Souza Martins
36
de uma funca~o (qk ; t). Da mec^anica classica, sabemos
que duas lagrangeanas que diferem apenas por uma derivada total no tempo s~ao equivalentes. Como exemplo, vejamos o caso do campo eletromagnetico. Uma
partcula de massa m e carga eletrica e num campo
eletrico ,!
E e magnetico ,!
B e descrita pela lagrangeana
L = 12 mq_2 + e,!
q_ ,!
A , eV;
(23)
onde ,!
A e V s~ao, respectivamente, o potencial vetor e
o escalar dos campos, tais que
0 ,! 1
,!
E = , @ @ A A , rV
@t
e
(24)
,!
B = r ,!
A
(25)
Sabemos da teoria eletromagnetica que estes potenciais
n~ao s~ao unicamente denidos, pois para transformac~oes
de calibre (gauge) do tipo
,!
A ! ,!
A + r
V ! V , @
@t ;
B. Teorema de Noether Generalizado
A raz~ao fsica da equival^ecia de lagrangeanas que
diferem por derivadas totais no tempo de func~oes do
tipo (qk ; t) vem do princpio de mnima ac~ao de Hamilton. Seja uma lagrangeana L (q; q;_ t), num intervalo
de tempo t = t1 a t = t2 o sistema move-se de tal forma
que a integral de ac~ao
S=
2
t1
L (q; q;_ t)dt
(28)
assuma o menor valor possvel, ou seja, S = 0. Assim, se duas lagrangeanas diferem entre si apenas pela
derivada total de uma func~ao (qk ; t)
L qe; eq;_ et = L (q; q;_ t) + dtd (qk ; t)
(29)
0
0
h i
S = S + q(2) ; t2 , q(1) ; t1 ;
0
(30)
cuja variac~ao S tambem sera nula.
Para um sistema com N graus de liberdade sua lagrangeana L que dependera das N coordenadas generalizadas qk , k = 1:::N, de suas velocidades generalizadas
q_k e possivelmente do tempo. Vamos impor agora uma
transformac~ao de coordenadas do tipo
0
qk = "fk (qk ; q_k ; t);
(31)
cujo efeito maximoe fazer a lagrangeana variar por uma
derivada total no tempo de uma funca~o que depende
apenas das coordenadas qk e de t:
L = " dtd (qk ; t)
(32)
Em termo das transformac~oes (46) a variac~ao L da
lagrangeana (omitindo o subscrito k) sera
@L @L L = @q q + @ q_ q;_
(26)
os campos, que contem a fsica do problema, n~ao se
alteram. Apos esta transformac~ao, a lagrangeana se
transformara da seguinte forma:
(27)
L ! L + 2e d
dt ;
e como sabemos, o sistema fsico e o mesmo, ou seja, as
duas lagrangeanas s~ao equivalentes.
Zt
o valor da ac~ao de L sera
(33)
onde L foi assumida ser independente do tempo.
Usando as equac~oes de Lagrange, podemos reescrever
(48) como:
@L @L d
d
L = dt @ q_ q + @ q_ dt (q) ;
e assim
L = " dtd
@L (34)
@ q_ f
Comparando com a hipotese (37) da variac~ao de gauge
da lagrangeana nos obtemos a lei de conservac~ao
dF = 0
(35)
dt
para a quantidade F , que sera dada por
F
X @L k
@ q_ fk , (qk ; t)
(36)
O resultado (41) difere do resultado obtido anteriormente pela adic~ao do termo . Vamos a seguir ilustrar
a import^ancia deste termo para o caso de uma partcula
carregada num campo eletromagnetico.
1. Conservac~ao da energia
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Se a lagrangeana L n~ao depende explicitamente do
tempo t,
@L = 0
(37)
@t
ent~ao, sua variac~ao sob uma translaca~o temporal innitesimal t
(38)
L = dL
dt t
37
Se fazemos a identicac~ao fk = q_k e = L, obtemos
de ( ) a lei de conservac~ao correspondente
X @L F=
(40)
@ q_ q_k , L = energia
k
basicas na fsica, que s~ao as de simetria e de conservac~ao
de grandezas fsicas, s~ao conectadas. Apesar de ter
passado ao largo do aspecto historico, julgo tambem
importante enfatizar como estes conceitos foram surgindo com o tempo, que pode ser visto das diferentes
formas com que os formalismos Newtoniano e Lagrangeano abordam o problema.
Do ponto de vista didatico, julgo importante a abordagem deste Teorema em cursos de graduaca~o, de forma
a dar uma vis~ao de conjunto das leis de conservaca~o em
fsica, tratadas muitas vezes de forma fragmentaria nestes cursos, como se cada lei de conservaca~o n~ao guarda
relac~oes entre si. Para quem se interessa, sugiro a leitura da extens~ao deste teorema para o formalismo de
campos, no livro do Goldstein.
2. Movimento num campo eletromagnetico
Ap^endice: Demonstrac~ao do Teorema de
Noether
Vimos que a lagrangeana de uma partcula carregada num campo eletromagnetico e
q_ ,!
A , eV
(41)
L = 12 mq_2 + e,!
Vamos considerar um campo eletrico E uniforme e constante. Este campo e invariante sob translac~oes espaciais
e temporais. Escolhendo o potencial escalar da forma
V = ,,!
E ,!
q , que e temporalmente invariante. A lagrangeana associada
L1 = 12 mq_ 2 + e,!
E ,!
q
(42)
n~ao e invariante sob translac~oes espaciais qk = a ja
que
,! d
,
!
,
!
a
(43)
L1 = e E a = dt e E t ,!
Simetria sobre transformac~oes de coordenadas toca
ao efeito de transformac~oes innitesimais do tipo:
somente vira atraves da variac~ao das coordenadas
qk = q_k t
(39)
e de acordo com o teorma de Noether generalizado a
express~ao acima implica a conservac~ao de
F m,!
q_ , e,!
E t = const;
(44)
mostrando a natureza uniformemente acelerada do movimento.
VI Conclus~oes
Pretendo ser breve nas conclus~oes deste trabalho, visto
que ele ja representa um corpo bem denido de ideias.
Expomos de uma maneira sistematica como duas ideias
t ! et = t + t
(45)
qk (t) ! qek te = qk (t) + qk ;
(46)
,
onde t e qk podem ser funco~es arbitrarias das coordenadas generalizadas. Ja as velocidades generalizadas
ter~ao a seguinte transformac~ao:
,
q_k (t) ! eq_k et = q_k (t) + q_k :
(47)
Sob transformac~oes do tipo (45), (46) e (47), a lagrangeana se transformara da seguinte maneira:
,
, L (qk (t) ; q_k (t) ; t) ! L qek et ; eq_k et ; et
(48)
A partir deste ponto, omitirei o subscrito k por simplicidade, cando subtendido que ele subscreve cada coordenada generalizada. Tr^es condic~oes s~ao assumidas a
valer:
1. Estaremos considerando um espaco-tempo euclidiano;
2. A lagrangeana L tem a mesma forma funcional
tanto em termo das quantidades transformadas
quanto das quantidades originais, isto e, vale a
express~ao (48).
Adriano de Souza Martins
38
3. A magnitude da integral de ac~ao e invariante sob
a transformac~ao
Ie =
Z et
Zt
Ledet = Ldt:
et
t
0
das coordenadas ignoraveis. Se a lagrangeana n~ao
muda sob transformac~oes nessas coordenadas n~ao
ha motivo que ela possa assim alterar o valor da
integral de ac~ao I.
(49)
0
Isto representa uma extens~ao das propriedades
c
Combinando (18) e (19)
Z et , , Z t
Le qe et ; eq_k et ; et det , L (q (t) ; q_ (t) ; t) dt = 0:
et
t
(50)
Z et Z t
Le qe; eq;_ et dt , L (q; q;_ t)dt = 0:
et
t
(51)
0
0
Na primeira integral et representa uma falsa variavel de integrac~ao, podendo ser rebatizada de t, mas o domnio de
integrac~ao n~ao se altera. Omitiremos tambem a partir daqui os t's das coordenadas, assim
0
0
Sob transformac~oes innitesimais do tipo (45) e (46), a diferenca entre as integrais em (51) sera
Zt
+t
Z
t0 +t0
t
=
[L + L] dt ,
Ldt +
t0
Zt
+t
t
Zt
t0
Ldt
[L + L] dt ,
(52)
Zt
0 +t0
t0
[L + L]dt
Em 1a ordem os dois ultimos termos em (52) podem ser escritos como:
Zt
+t
t
Ldt ,
Com isto, a equac~ao (52) torna-se:
Zt
+t
t0 +t0
[L + L] dt ,
Zt
0 +t0
t0
Zt
t0
Ldt = tL (t) , t0 L (t0)
Ldt =
=
Zt
(53)
Ldt + Lt jtt0
(54)
Z t0
t
t0
d
L (t) + dt (tL (t)) dt
d
ca
Vale a pena relembrar que
L = L qe; eq;_ et , L (q; q;_ t)
e, em 1a ordem, podemos descrever esta diferenca acima
como
@L q + @L q_ ;
(55)
L (~) , L () = @q
k
@ q_ k
k
k
onde representa uma variac~ao dos qk s e de suas derivadas num ponto xo do espaco, diferente da variaca~o
. Sendo assim, ela comuta com d=dt e a equac~ao (55)
0
L = L (~) , L () = dtd @@L
q_k qk
Substituindo (56) na eq. (54)
Z t d @L
qk + tL (t) dt = 0;
t0 dt @ q_k
(56)
(57)
que e uma forma de corrente conservada. As variac~oes
e e se relacionam da seguinte forma:
k
(58)
qk = qk + @q
@t t
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Levando a express~ao acima para a equac~ao (57)
Z t d @L
t0
dt
@L
@ q_k q_k , L t + @ q_k qk dt = 0
Refer^encias
(59)
dt
1. H.A. Buchdhal, L. J. Tassie, Austr. J. Phys. 17,
431 (1964).
2. P. Havas, Acta Physica Austriaca 38, 145 (1973).
Assim obtemos o resultado esperado
d @L
39
@L q = 0
q
_
k , L t +
@ q_k
@ q_k k
(60)
A equaca~o (59) e a forma nal do teorema de Noether,
que relaciona as transformac~oes de simetria na lagrangeana com suas equivalentes quantidades fsicas conservadas. Deve car claro que o teorema na forma apresentada acima sup~oe que as tr^es condico~es vistas no incio
da demonstrac~ao sejam validas.
3. E. L. Hill, Reviews of Modern Physics, vol. 23, n
3.
4. L. Leblond, J. Marc, American Journal of Physics, vol. 23, n 3.
5. E. Noether, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen,
Math.-Phys. K1. (1918), 235.
6. J. R. Schutz, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen,
Math.-Phys. K1. (1897), 110.