Tratamento de uma Curva
Tensão Deformãção
COT – 741 Princípios de Deformação
Plástica
Prof: Paulo Emílio Valadão de Miranda
Monitor: Guilherme Farias Miscow
Justificativa
• Um gráfico carga vs. deslocamento (Pi vs. lTi)
produzido por um ensaio de tração é influenciado pela
elasticidade do sistema deformante;
• Entende-se por sistema deformante toda a região fora
do comprimento útil da amostra (l0), compreendendo
parte do corpo de prova, garras, travessão de aplicação
de carga, etc;
• A influência da elasticidade do sistema (Ks) será tão
maior quanto menor for sua rigidez (resistência à
deformãção elástica);
• Traçar uma curva tensão nominal vs. deformação
nominal sem excluir os valores elásticos do sistema
deformante resulta em erros.
OBS: Exemplos baseados em resultados reais para um ensaio de tração
em uma liga de alumínio D16T.
Gráfico Carga vs. Deslocamento
1800
1600
1400
Pi (Kgf)
1200
1000
800
Carga vs. Deslocamento
600
400
200
0
0
1
2
3
lTi(mm)
4
5
6
Tratamento Matemático
(l )
e+ p
a
i
lTi
Pi
ks
Pi lo
Ao E
Alongamento elástoplástico da amostra
(l )
e+ p
a
i
Pi Pilo
 lTi  +
ks Ao E
Alongamento elastoplástico total
Alongamento elástico
total
Alongamento elástico
da amostra
 nie + p
(
l )

Pi
 ni 
Ao
e+ p
a
i
lo
Comparação
600
Tensão (MPa)
500
400
300
Não corrigida
Corrigida
200
100
0
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
Deformação (%)
0,12
0,14
0,16
Tensão Verdadeira vs.
Deformação Verdadeira
• Uma vez que a deformãção elástica é não
permanente, a deformação verdadeira é
considerada somente a parcela plástica
da deformação;
• Os valores são obtidos a partir da curva
tensão nominal vs. deformação nominal.
 ni P
Pi 
1
  lTi  
lo 
ks 
 vi  ln( ni P + 1)
 vi   ni ( ni P + 1)
Tratamento Matemático
• A partir dos valores obtidos, obtenha um
polinômio que melhor ajuste a curva
original;
• A partir desse polinômio, trace uma nova
curva tensão verdadeira vs. deformação
verdadeira ajustada;
• Os cálculos da cinética da deformação
plástica serão obtidos a partir da curva
ajustada.
Exemplo
650
Tensão Verdadeira (MPa)
600
550
500
450
400
350
2
Y =439,56076+3518,85283 X-24388,34265 X +74175,19867 X
300
250
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
Deformação Verdadeira (%)
0,12
0,14
3
Comparação
• A seguir aparecem 3 exemplos práticos;
• A curva não corrigida A inclui as
informações elasto-plásticas tanto da
amostra quanto do sistema deformante;
• Aplicando a correção, mas ainda deixando
os valores elásticos da amostra, gera a
curva não corrigida B;
• A curva corrigida leva em conta somente
valores plásticos.
Comparação
Tensão Verdadeira (MPa)
700
600
500
400
300
200
Tensão Verdadeira vs. Deformação Verdadeira não corrigida 1
Tensão Verdadeira vs. Deformação Verdadeira não corrigida 2
Tensão Verdadeira vs. Deformação Verdadeira corrigida
100
0
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
Deformação Verdadeira (%)
0,14
0,16
Tratamento Matemático
• Equações empíricas buscam descrever o
comportamento do material durante a
deformação plástica;
• São determinados matematicamente os
estágios de encruamento;
• As equações mais utilizadas são as de
Hollomon, Ludwig e Swift.
Tratamento Matemático
• Hollomon -  = Ken
– Normalmente descreve curvas que apresentam um único
estágio de encruamento;
– Em um gráfico logarítmico o traço é uma reta;
– K representa um coeficiente de resistência enquanto n é o
expoente de encruamento.
• Ludwig -  = 0 + Ken
– Descreve um ou mais estágios de encruamento;
– Em um gráfico logarítmico o traço é parabólico ou linear;
– 0 representa uma tensão de escoamento.
• Swift -  = K(ε+ ε0)n
– Descreve um ou mais estágios de encruamento;
– Em um gráfico logarítmico o traço é hiperbólico ou linear;
– ε0 representa uma deformação inicial.
Obtenção dos
Estágios de Encruamento
•
•
•
A partir da curva tensão verdadeira vs. deformação verdadeira ajustada,
aplicar o logarítimo nos dois eixos (Hollomon) e depois traçar a derivada
(Ludwig e Swift);
Fazer ajustes lineares convenientes;
A partir das equações constitutivas linearizadas, identificar os valores de
inclinação (m) das retas ajustadas e de b.
Equação da reta: y – y0 = m(x – x0)
Hollomon linearizada: ln σ = ln K + n * ln ε
Ludwig derivada - linearizada:
ln dσ/dε = ln(n*K) + (n-1)*ln ε
Swift derivada – linearizada:
ln dσ/dε = ln(n) + 1/n * ln(k) + ((n-1)/n) * ln (σ)
Exemplo
ln (d/d)
2980,95799
PROBLEMA!
1096,63316
Como ajustar
retas a essa
curva???
403,42879
0,01832
0,04979
ln 
0,13534
Determinação Analítica
• Identificar os pontos de uma curva v x εv;
• Ajustar um polinômio a esses valores;
• A partir do polinômio ajustado traçar a curva v x
εv ;
• Aplicar um ajuste não linear através de uma
equação escolhida em intervalos cada vez
maiores;
• Interromper o ajuste a partir do momento em
que a curva ajustada não acompanhar mais a
curva v x εv;
• Repetir o ajuste para valores a partir dos valores
interrompidos anteriormente.
Exemplo
700
D16T - CP2: Swift
Estágio II  = 0 = 0,02578, K = 1030,69309, n = 0,23385
0
650
Estágio III  = -0,00483, K = 847,26758, n = 0,13146
0
V(MPa)
Transição: 0,051 V
600
550
500
450
0,00
0,02
0,04
0,06
V(%)
0,08
0,10
0,12
Gráfico
vs. Computacional
• De simples execução;
• Rápido e fácil;
• Sujeito
a
erros
sistemáticos;
• Baixa reprodutibilidade.
• Alta reprodutibilidade;
• Dificilmente sujeito a
erros;
• Resultados comparáveis
em tempo real;
• Requer conhecimentos
computacionais;
• Relativamente demorado;