16.21 Técnicas de Análise e Projeto Estrutural
2º Trimestre de 2003
Unidade Nº 3 – Cinemática da deformação
Figura 1: Cinemática de corpos deformáveis
Deformação descrita por mapeamento de deformação:
1
Procuramos caracterizar o estado local da deformação do material em uma
circunvizinhança de um ponto P. Considere dois pontos P e Q nas configurações não
deformadas:
e deformadas
Nesta expressão,
Expressando os diferenciais
e de modo semelhante para
em termos dos derivativos parciais das funções
na notação do índice:
Substituindo na equação (5):
Tentaremos agora calcular a alteração no comprimento do segmento
deformou no segmento
, que se
Comprimento não deformado (ao quadrado):
2
Comprimento deformado (ao quadrado):
A alteração no comprimento do segmento
equações (12) e (11):
é então dada pela diferença entre as
Queremos extrair os diferenciais como fator comum. Para este fim, observamos que:
Então, temos:
tensor de deformação Green-Lagrange
possui a forma:
Suponha que o mapeamento da deformação
onde u é o campo de deslocamento. Então,
e o tensor de deformação Green-Lagrange torna-se:
3
Tensor de deformação Green-Lagrange:
Quando os valores absolutos dos derivativos do campo de deslocamento são bem
menores do que 1, os seus produtos (parte não linear da deformação) são até menores,
os quais serão desprezados. Manteremos esta premissa durante todo o curso (veja o
bloco de notas Mathematica anexo, que avalia os limites desta premissa).
Matematicamente:
Definiremos a parte linear do tensor de deformação Green-Lagrange como sendo o
tensor de deformação pequena:
Transformação dos componentes da deformação
Dado:
base
e uma nova base
determine os componentes da deformação na nova
Queremos expressar as expressões com til no lado direito com suas contrapartes sem til.
Inicie aplicando a regra de três composta da diferenciação:
Transforme os componentes do deslocamento:
4
tome o derivativo de
em relação a
conforme exigido pela equação (23):
e tome o derivativo da transformação inversa dos componentes do vetor da posição x:
Substituindo-se as equações (28) e (33) na (23):
Substituindo-se na equação (22):
Troque os índices l e k no segundo termo:
Ou, finalmente:
Compatibilidade das deformações
Admitindo-se o campo de deslocamento u, a expressão (21) permite calcular os
componentes das deformações ∈ij. Como se pode responder a pergunta inversa?
Observe a analogia com o campo do gradiente potencial. Restrinja a análise a duas
dimensões:
5
Diferencie os componentes de deformação como segue:
e conclua que:
6