“Análise de Padrões Gradientes de
Deformações Topológicas em Variedades
Dinâmicas”
Cristiane P. Camilo*, Reinaldo R. Rosa*, Nandamudi Vijaykumar*,
Fernando M. Ramos* e Marcelo Rebouças**
* Núcleo
para Simulação e Análise de Sistemas Complexos (NUSASC)
Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada (LAC)
Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE)
São José dos Campos – SP
**Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)
Rio de Janeiro – RJ
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Objetivo:
Caracterização da resposta local devido à deformação topológica em variedades
dinâmicas extensas.
Neste trabalho nós apresentamos uma variedade dinâmica 2D baseada em uma
função escalar Laplaciana em uma superfície triangular. Essa superfície é dividida
em duas classes de regiões:
(a)onde uma deformação local máxima ocorre e
(b)onde o efeito desta deformação alcança.
A aplicação da análise de padrões gradientes nestas regiões para uma oscilação
com dois modos em uma superfície Laplaciana, mostra que a deformação
topológica é detectável por meio da caracterização da quebra de simetria local da
variedade. Nós discutimos e apresentamos também a detectabilidade da
deformação em variedade não trivial e sua aplicação para caracterização das
deformações devido à torções no campo gravitacional.
O que são problemas de variedades dinâmicas
com deformações topológicas?
 São problemas de contorno livre para um:
{(t): 0t<T}  Compacto suave fechado.
Com curvatura média k e velocidade normal V que obedecem a relação:
V = k
(1)
Onde:
  Operador de Laplace - Beltrami e
k  Independe da orientação.
Assumindo-se que  uma solução suave para (1) e fazendo A(t) denotar a área de (t ),
definimos uma função A(t) suave com derivada temporal dada por:
d
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A(t )   V ds   (k )kds    k ds  0
dt
 (t )
(t )
(t )
onde o || é computado com respeito a métrica de (t ) (1)
(1) Mayer, U. F. Comp. And Applied Mathematics. 20:3 (2001)
(2)
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Exemplos:
(*,t)
Figura 1 – Exemplos de variedades dinâmicas e suas possíveis deformações.
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A pergunta fundamental:
“Para uma dada deformação global em uma variedade
(t ) , como podemos caracterizá-la (detectá-la) a partir de
uma região distante da máxima deformação?”
Um estudo sobre essa caracterização é feito através da
análise dos padrões gradientes gerados localmente.
A figura a seguir mostra dois exemplos de deformação oscilatória
de uma superfície Laplaciana
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deformação local
deformação global
Conceito de modo de amplitude:
“Identifica os níveis de amplitude,
considerando a quantidade de máximos e
mínimos da estrutura”
(a)
(b)
Figura 2. Exemplo de deformação oscilatória de uma superfície Laplaciana
(a) com 1 modo de amplitude e (b) com 2 modos de amplitude.
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Análise de Padrões Gradientes:
 Dada uma matriz M temos as seguintes operações:
1.  M
2. A M  
3. Td []  L Pontos
I Linhas
 As possíveis deformações são computadas através do parâmetro de fragmentação
assimétrica, dado pela seguinte equação (2):
g3 =
I L
L
I L
onde g3 é o terceiro momento gradiente extraído da matriz M*
* todo M pode ser representado por 3 momentos gradientes, na forma: M= g1eig2 g3
(2) R. R. Rosa, A. S. Sharma, J. A. Valdivia, Physica A 257:509 (1998)
R. R. Rosa, A. S. Sharma, J. A. Valdivia, Int. J. Mod. Phys. C 10(1):147 (1999)
(3)
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Aplicação em Variedades Protótipos:
Vibração oscilatória com dois modos:
Figura 3. Vibração oscilatória com 2 modos
de amplitude em tripleto.
Membrana com 6 exemplos
de sítios de operação local:
Figura 4. Exemplos de sítios de operação.
Estudo da variabilidade do terceiro momento
gradiente:
Figura 5. Valores de g3 para cada sítio de operação - azul: membrana
com mínima deformação, vermelho: membrana com máxima deformação.
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Dinâmica de campo gravitacional sobre topologia
Garrafa de Klein.
Modelo 2-D - Farrar - Melott(3)
Figura 6 – Figuras (a) e (b), exemplos de padrões que surgem através
de torções no campo gravitacional.
(3) Farrar K. A.; Melott, A. Computers in Physics, 4:185 (1990)
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Teste de sensibilidade do terceiro momento
gradiente (g3):
(a)
(b)
(c)
Figura 7 – Figura (a) imagem sem deformação  = 0, (b) imagem com mínima deformação
e parâmetro de deformação  = 0,2 e (c) imagem com máxima deformação e  = 1.
Para o teste de sensibilidade, calculamos g3 nas 5 sub-matrizes em cada uma das imagens
(100x100) acima (sítios de operação), com as seguintes dimensões: 25x25, 20x20, 15x15,
10x10 e 5x5, localizados nas extremidades de cada, os resultados são mostrados a seguir:
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Resultados:
(a) Sub-matriz 25x25
(b) Sub-matriz 20x20
(d) Sub-matriz 10x10
(c) Sub-matriz 15x15
(e) Sub-matriz 5x5
Figura 8 – Resultados do teste de sensibilidade.
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Conclusão:
A partir dos estudos realizados, verificamos que o momento gradiente g3 é
localmente sensível à deformação global (mínima e máxima, figura 5). Notamos
que as deformações locais não são homogêneas, pois dependem da sua
localização com relação ao tipo de deformação global, e sensível a deformação
de estruturas localizadas, como podemos observar na seqüência de resultados
da figura 8, principalmente para as sub-variedades 25x25, 20x20 e 15x15. Para
as escalas inferiores, o momento gradiente é sensível à deformação, mas não
aos padrões de amplitude. Portanto, sua aplicação em padrões topológicos
gerados por modelos gravitacionais, restringe-se a raios de aspecto até 10% da
escala global.