Cap. 7. Princípio dos trabalhos virtuais
1. Energia de deformação interna
1.1 Definição e pressupostos adoptados
1.2 Densidade da energia de deformação interna
1.3 Caso particular: Lei constitutiva é representada pela recta
1.4 Energia de deformação interna
2. Existência da solução do problema de elasticidade linear
3. Unicidade da solução do problema de elasticidade linear
4. Energia de deformação externa
5. Lei de conservação da energia
6. Energia potencial
7. Princípios variacionais
8. Princípio dos trabalhos virtuais
8.1 Princípio dos deslocamentos virtuais
8.2 Princípio das forças (tensões) virtuais
9. Ligação do Princípio dos trabalhos virtuais aos Princípios variacionais
1. Energia de deformação interna
Ui
1.1 Definição e pressupostos adoptados
Energia acumulada no corpo elástico devido ao trabalho das forças externas,
usa-se o termo “acumulada” porque no caso de elasticidade depois de remover
as cargas, o MC volta ao seu estado inicial com a libertação desta energia
Energia de deformação interna pode-se chamar energia potencial elástica
ou energia potencial das forças internas
Pressupostos
1. Comportamento do material elástico
2. Lento e gradual aumento das cargas
3. Campo de temperatura mantém-se constante
(processo de deformação adiabático)
Tem que se estabelecer um nível zero
estado natural
W=0, estado inicial, sem carga, sem solicitações,
1.2 Densidade da energia de deformação interna
Densidade tem o sentido de “por unidade de volume do material”

d

W*
Lei
constitutiva
W     d
T
0
W
d



Densidade da energia complementar de deformação interna

T

  d
0
W*  
W  W*
Nas expressões costuma-se omitir a “barra”
Transformação de Legendre
W  W*    
T
Adrien-Marie Legendre (1752-1833)
1.3 Caso particular: Lei constitutiva é representada pela recta


Existem deformações iniciais da origem térmica
W*

T
E
W * 
 D   T  


W
 

 
 
 
1 T E
1 T
T
T
W*                 D 
2
2
W
 C   T  

1 E T
1
T T
W            C   T 
2
2
T
T

 
Equações constitutivas podem-se determinar a partir de energia de deformação
Válido igualmente para a lei não-linear
George Green (1793-1841)
W 
 

W * 
 

Omitindo as deformações iniciais térmicas
W  W* 
1 T
  
2
1 T
1 T
W         C 
2
2
W é forma quadrática
em termos da deformação
1 T
1 T
W*         D 
2
2
W* é forma quadrática
em termos da tensão
1.4 Energia de deformação interna
U i   WdV
V
Energia complementar de deformação interna
U i *   W * dV
V
2. Existência da solução do problema de elasticidade linear
Caso mais simples, lei constitutiva linear, não há deformações iniciais (cap. 6)
Analogia
c/ corpo rígido
Para deslocar
a esfera
Equilíbrio
Estável
Energia potencial
aumenta
Equilíbrio
Indiferente
Energia potencial
é igual
Equilíbrio
Instável
Energia potencial
diminui
Condição necessária
para assegurar a estabilidade do MC, ou seja para assegurar a existência
da solução do problema de elasticidade é preciso que seja satisfeito
1 T
W  W*      0
2
W tem que ser forma quadrática, elíptica ou positivamente definida, ou seja o
determinante da matriz de rigidez e de flexibilidade tem que ser positivo ou nulo
3. Unicidade da solução do problema de elasticidade linear
Prova pela contradição
Pressuposto: existem duas soluções diferentes
do mesmo problema de valores de fronteira
Designa-se:
1
2 
u *  u
 *    u *  
T
T
u  u 
1
2
 u 
  u      
 u
1
2 
1
2 
 *  C  *  C 1 2  1 2
Equações
Deformações deslocamentos
Equações
Constitutivas
Equações de Equilíbrio
 1 f   0
Analisa-se:
&
 2 f   0
T



*
  *dV  0
V

  *  0
Teoremas em analogia com a integração por partes
dg x 
df x 
b
a ,b  f x  dx dx  f x  gx  a  a ,b  gx  dx dx
Teorema de divergência
f 1
& Extensão para 3D
T
T








v
dV

n
V
s  vdS
Teorema de Clapeyron ou de Green
   dV     u  dV 
 u  nˆ  dS   u   dV
T
V
V
T
s
T
T
T
V
Émile Clapeyron (1799-1864)
Voltando a prova de unicidade da solução
T


V  *   *dV 
(Teorema de Clapeyron)
T
T
T
ˆ
















u
*

n


*
dS

u
*




*
dV

u
*
S
V
S  t*dS
T
T






u
*

t
*
dS

u
*
 t *dS  0
S
S
u

+ Condições de fronteira
p
u  u  & u  u  em S
t   p  & t   p  em S
1
2
0
0
1
u
2
0
Su  Sp  S
0
p
V  *   *dV  0
Quando
Su  Ø
Quando
Su  Ø
T
u  u 
u  u 
1
2
1
2

u *  0
t *  0

   
1
2
em Su
em Sp
&
   
1
2
No 1º problema de valores de fronteira as
soluções de deslocamento diferem pelo
movimento de corpo rígido (as cargas tem
que assegurar o equilíbrio global)
4. Energia de deformação externa
Ue
= trabalho das forças externas
P
Ex.: Uma força concentrada
w
assumindo que o deslocamento aumenta proporcionalmente
com o aumento da força: P=kw e w=P/k
U   Pw dw
e
w
0
U *   wP dP
e
P
0
Caso geral
U   Pw  dw  
e
w
w
0
0
U *   w P  dP  
e
P
P
0
0
P
1 P2 1
dP 
 Pw
k
2 k 2
Impostos
1
T
T
U    u f dV   u p 0 dS 
Sp
2 V

e
1
1
2
kw dw  kw  Pw
2
2
1
T
U *   t u 0 dS
2 Su
e
5. Lei de conservação da energia
Quando as condições geométricas são homogéneas, ou seja
u  0em Su
Ui  Ue
Quando as condições estáticas são homogéneas e as forças de volume nulas
t  0em Sp
&
f   0em V
6. Energia potencial
Ui*  Ue*
Energia potencial = - trabalho mecânico
no sistema conservativo
Energia potencial das forças exteriores
L   u f dV   u p0 dS
T
V
T
Sp
L  2Ue
Energia potencial complementar das forças exteriores
L*   t u 0 dS L*  2Ue*
Su
T
Energia potencial total
  Ui  L   WdV   u f dV   u p0 dS
T
V
T
V
Sp
Energia potencial complementar total
*  Ui* L*   W* dV   t u 0 dS
T
V
Su
Deslocamentos geometricamente admissíveis
1. são contínuos e derivadas são contínuas em partes
2. satisfazem as condições de fronteira geométricas
3. deformações admissíveis calculam-se usando as relações
deformações - deslocamentos
Tensões estaticamente admissíveis
1. são contínuos e derivadas são contínuas em partes
2. satisfazem as condições de fronteira estáticas
3. satisfazem as condições de equilíbrio
7. Princípios variacionais
Princípio de Lagrange
De todos os campos dos deslocamentos (e das deformações)
geometricamente admissíveis acontece aquele, que
dá mínimo ao funcional 
Princípio de Castigliano
De todos os campos das tensões
estaticamente admissíveis acontece aquele, que
dá mínimo ao funcional *
Carlo Alberto Castigliano (1847-1884)
8. Princípio dos trabalhos virtuais
Virtual = não real, mas não precisa de ser infinitesimal
Deslocamentos geometricamente admissíveis
Tensões estaticamente admissíveis
Sem qualquer ligação entre si pelas relações constitutivas
T
T
T
T














V    dV  V f  u dV  S p0  u dS  S t u 0 dS
p
Prova directamente
pelo teorema
de Clapeyron
u
   dV     dV     u dV 
 u  nˆ  dS   u   dV 
 u  tdS   u   f dV 
 u   tdS   u  p dS   u  f dV
T
T
V
V
V
T
T
s
V
T
T
s
V
T
su
T
0
T
sp
T
0
V
T
8.1 Princípio dos deslocamentos virtuais
Deslocamento virtual

Real, ou seja estaticamente admissível
u
Real, ou seja geometricamente admissível
u u
geometricamente admissível
u
u  u 0  em Su
2
u u  u0 em Su
2
    u
3
u  0 em Su
T
u u  T  dV   f T  u udV 
V
V
T
T










p

u


u
dS

t
S 0
S u 0 dS
PTV para u
T
T
T
T

















dV

f

u
dV

p

u
dS

t
V
V
S 0
S u 0 dS
PTV para
p
u
p
T
T
T













dV

f


u
dV

p
V
V
S 0  udS
p
u
2U i  2U e
8.2 Princípio das forças (tensões) virtuais
u

Tensão virtual

Real, ou seja geometricamente admissível
t  p0 em Sp
Real, ou seja estat. admiss.
 
t t  p0 em Sp
E. adm.
t  0em Sp
t  nˆ  
PTV para
 
   0
   dV   f   udV 
 p   udS   t t u dS
T
V
T

2     f   0 3
T
V
PTV para
2   f   0 3
Sp
T
0
0
Su
T
T
T
T

















dV

f

u
dV

p

u
dS

t
V
V
S 0
S u 0 dS
p
V  dV  S t  u 0 dS
T
T
u
u
2Ui*  2Ue*
9. Ligação do Princípio dos trabalhos virtuais aos Princípios variacionais
Princípio de Lagrange
  Ui  L   WdV   u f dV   u p0 dS
T
V
V
T
Sp
u geometricamente admissível


u,

 
u

u real
  0
T
T
T
u    dV   u f dV   u p0 dS  0 PDV
V
V
S
p
Princípio de Castigliano
*  Ui* L*   W* dV   t u 0 dS
T
V


estaticamente admissível
real
*  0
Su

t,
t
* 
 *     dV   t u 0 dS  0
T
V
T
Su



PFV