GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Figuras Planas II
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
Para os casos em que uma figura plana está contida num plano projectante
não paralelo aos planos de projecção, é necessário a utilização de um método
geométrico auxiliar para resolver situações como obter a V.G. da figura
plana.
Qualquer dos três métodos (mudança do diedro de projecção, rotação ou
rebatimento) pode ser utilizado para resolver estas situações. O método de
rebatimento é o mais fácil e simples para estas situações, seguido da
mudança de diedro de projecção.
Mudança do Diedro de Projecção de um Plano Vertical
para um Polígono
Pretende-se as projecções de um triângulo equilátero [ABC], situado no 1.º
diedro, contido num plano vertical α, através da mudança de diedro de
projecção. São dados dois pontos A (1; 1) e B (3; 2), vértices do polígono,
sendo A0B0 = 3 cm, e estando A à esquerda de B.
fα
C2
B2
A2
x
A0
A1
2
1
B0
C1
B1
hα
Rebatimento de
um Plano Vertical
para um Polígono
Pretende-se as
projecções de um
quadrado [ABCD],
situado no 1.º diedro,
contido num plano
vertical α, através de
rebatimento. O plano α
faz um diedro de 45º
(a.d.) com o Plano Frontal
de Projecção. É dado um
ponto A (2; 1), vértice do
quadrado. O lado [AB] do
quadrado mede 3 cm, e
faz um ângulo de 20º
com o Plano Horizontal
de Projecção. O vértice
B do quadrado tem cota
e afastamento
superiores a A.
fα≡ e2 ≡ fαr
C2
Cr
D2
Dr
V.G.
Br
B2
Ar
A2
(e1)
x ≡ hαr
D1
A1
C1
B1
hα
São dados dois
pontos A (1; 3;
1) e B (-2; 1; 4).
y≡ z
fγ
Os pontos A e B
são vértices de
um triângulo
equilátero,
contido num
plano de topo γ
e situado no 1.º
diedro.
Desenha as
projecções do
triângulo,
recorrendo ao
método da
mudança do
diedro de
projecção.
C2
B2
A2
x
B1
A1
C1
hγ
V.G.
2
1
É dado um
quadrado
[QRST], situado
no 1.º diedro e
contido num
plano vertical δ.
y≡ z
fδ ≡ e2 ≡ fδr
Os pontos Q (1; 1; 2) e S (-4;
3; 3) são dois
vértices
opostos do
quadrado.
Desenha as
projecções do
quadrado,
recorrendo ao
método de
rebatimento.
T2
Tr
Sr
S2
Q2
Qr
Rr
x ≡ hδr
R2
(e1)
Q1
T1
R1
S1
hδ
É dado um ponto A
(1; 2), vértice de
um hexágono
regular [ABCDEF],
situado no 1.º
diedro e contido
num plano de topo
θ, que faz um
diedro de 40º
(a.e.) com o Plano
Horizontal de
Projecção.
O lado [AB] do
hexágono mede 3
cm e faz um
ângulo de 50º com
o fθr, sendo que B
tem cota inferior
a A.
Desenha as
projecções do
hexágono.
fθ
E2
F2
D2
A2
x ≡ fθr
C2
B2
(e2)
A1
Ar
F1
B1
Fr
Br
E1
Er
D1
C1
Cr
hθ≡ e1 ≡ hθr
Dr
É dado um
pentágono regular
[RSTUV], situado
no 1.º diedro e
contido num plano
de perfil π.
O pentágono
inscreve-se numa
circunferência
com 3 cm de raio,
cujo centro é o
ponto Q (5; 4).
O lado de maior
afastamento do
pentágono é o lado
[RS], que é
vertical, sendo a
cota de R superior
à de S.
Desenha as
projecções do
pentágono.
fπ ≡ hπ≡ e2 ≡ fπr
Vr
V2
R2
Rr
Ur
Qr
S2
Sr
Tr
x ≡ hπr
Q2 ≡ U2
T2
(e1)
U1
T1≡ V1
Q1
R1 ≡ S1
C
Rebatimento de um
Plano Vertical ou de
Topo para um Círculo
No caso de projecções de
círculos e circunferências em
planos verticais (ou de topo),
nenhuma projecção será em
V.G., resultando uma delas
numa elipse.
A
B
D
Uma elipse implica certas
características: eixo maior
(segmento [AB]), eixo menor
(segmento menor [CD]), ponto
de concorrência entre os dois
eixos e simultaneamente o
ponto médio (ponto M).
Para desenhar uma elipse à mão
livre requer identificar pelo
menos oito dos seus pontos,
para além dos eixos maior e
menor.
O
C
A
M
D
B
Pretende-se as
projecções de uma
circunferência, com
3 cm de raio, contido
num plano vertical α,
e com o centro no
ponto O (3; 5), via o
processo de
rebatimento.
O plano α faz um
diedro de 45º (a.d.)
com o Plano Frontal
de Projecção.
fα ≡ e2 ≡ fαr
Ar
A2
Br
Hr
Gr
B2
Cr
Or
O2
C2
Dr
Fr
H2
D2
Er
G2
F2
E2
(e1)
x ≡ hαr
C1
B1 ≡ D1
O1 ≡ A1≡ E1
F 1 ≡ H1
G1
hα
É dado um plano
vertical λ que faz um
diedro de 45º (a.e.)
com o Plano Frontal
de Projecção.
Desenha as
projecções de um
círculo contido no
plano λ, com 3 cm de
raio e com o centro
no ponto Q (3; 4),
via o processo de
rebatimento.
fλ ≡ e2 ≡ fλr
Ar
A2
Hr
H2
B2
Q2
C2
D2
(e1)
G1
F 1 ≡ H1
Q1 ≡ A1 ≡ E1
hλ
B1 ≡ D1
Cr
Qr
Dr
Fr
F2
x ≡ hλr
C1
Gr
G2
E2
Br
Er
É dado um plano de
topo θ que faz um
diedro de 60º (a.d.)
com o Plano
Horizontal de
Projecção.
Desenha as
projecções de um
círculo contido no
plano θ com 4 cm de
raio e tangente aos
dois planos de
projecção, via o
processo de
rebatimento.
fθ
O2
(e2)
x ≡ fθr
Or
O1
hθ≡ e1 ≡ hθr
É dado um círculo
com 3,5 cm de raio e
contido num plano
vertical γ, que faz
um diedro de 45º
(a.e.) com o Plano
Frontal de
Projecção.
fγ ≡ e2 ≡ fγr
A2
O2
B2
Ar
D2 Dr
Or
O centro do círculo
é o ponto O (3; 4),
Desenha as
projecções do
círculo, via o
processo de
rebatimento.
C2
x ≡ hγr
D1
O1 ≡ A1 ≡ C1
B1
hγ
(e1)
Cr
Br
É dado um plano de
topo θ que faz um
diedro de 60º (a.e.)
com o Plano
Horizontal de
Projecção.
Desenha as
projecções de um
círculo contido no
plano θ com 3 cm de
raio, sabendo que a
figura é tangente ao
Plano Frontal de
Projecção e que o
seu centro tem 4 cm
de cota.
fθ
B2
O2 ≡ A2 ≡ C2
D2
x ≡ fθr
B1
A1
(e2)
O1
D1
Ar
Dr
C1
Or
Cr
hθ≡ e1 ≡ hθr
Br