GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Sólidos I – Cones e Cilindros
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES – Cones e Cilindros
Uma superfície é o lugar geométrico que resulta das posições sucessivas de
uma linha (geratriz) que se desloca no espaço segundo uma determinada lei
(directriz).
Na imagem em baixo, uma superfície plana.
Uma superfície cónica de revolução.
Uma superfície cónica circular oblíqua.
Uma superfície piramidal.
Uma superfície cilíndrica.
Uma superfície cilíndrica de revolução.
REPRESENTAÇÃO DE CONES COM BASES
HORIZONTAIS
Pretendem-se as projecções de um cone de revolução, situado no 1.º diedro, com 4
cm de altura, e com a base contida num plano horizontal ν com 1 cm de cota e 2,5 cm
de raio. O centro da base é o ponto O com 3,5 cm de afastamento.
V2
(fυ)
A2
O2
B2
x
A1
O1≡ V1
B1
REPRESENTAÇÃO DE CILINDROS COM BASES
FRONTAIS
Pretendem-se as projecções de um cilindro oblíquo situada no 1.º diedro, com 4 cm
de altura, e com uma das bases contida no Plano Frontal de Projecção, com 2 cm de
raio e de cota. As projecções do eixo do cilindro fazem com o eixo x, ângulos de 60º
(a.e.) e 45º (a.e.), respectivamente as projecções horizontal e frontal.
e2
A’2
D’2
B’2
Q2
D2
C’2
A2
A1
C1
x
(hφ)
A’1 C’1
e1
Q1
B2
O2
C2
O1
D’1 B’1
D1
B1
REPRESENTAÇÃO DE CONES COM BASES DE
PERFIL
Pretendem-se as projecções de um cone oblíquo situada no 1.º diedro, com 6 cm de
altura, e com a base com 2 cm de raio, contida num plano de perfil π com o ponto O
(3; 4) como centro. O vértice do cone é o ponto V (2; 3), situado à esquerda da base.
fπ ≡ hπ
fπ1 ≡ hπ1
A2
O2 ≡ C2 ≡ D2
V2
B2
x
C1
V1
O1 ≡ A1 ≡ B1
D1
Um cilindro de
revolução situado no
1.º diedro, com bases
horizontais tem 8 cm
de altura.
(fυ)
A sua base superior
está limitada por uma
circunferência com 3
cm de raio, cujo
centro é o ponto O
(4; 9).
Desenha as
projecções do cilindro.
(fυ1)
A2
A’2
O2
B2
Q2
B’2
O1 ≡ Q 1
B1 ≡ B’1
x
A1 ≡ A’1
Um cone oblíquo situado
no 1.º diedro, tem a base
contida num plano frontal
e limitada por uma
circunferência com 3,5
cm de raio, cujo centro é
o ponto O (-3; 1; 4).
y≡ z
C2
O vértice do cone é o
ponto V (2; 7; 3).
Desenha as projecções
do cone.
Desenha as projecções
das duas geratrizes do
contorno aparente
horizontal do cone, e das
duas geratrizes do
contorno aparente
frontal do cone,
respeitando as
respectivas
invisibilidades.
O2
A2
B2
V2
D2
x
A1
(hφ)
V1
C1
D1
O1
B1
REPRESENTAÇÃO DE LINHAS E PONTOS
PERTENCENTES À SUPERFÍCIE DE CONES E
CILINDROS
Um cone de revolução
situado no 1.º diedro, com a
base contida num plano
horizontal ν com 1 cm de
cota e 2,5 cm de raio. O
cone tem 4 cm de altura. O
centro da base é o ponto O
com 3,5 cm de afastamento.
O ponto M é um ponto
qualquer da directriz (que é
a circunferência).
A geratriz g (como é
qualquer geratriz) é definida
pelo ponto M (ponto da
directriz) e pelo vértice V
(vértice da superfície,
vértice do cone).
g2
V2
(fυ)
A2
M2
O2
B2
x
A1
O1≡ V1
M1
g1
B1
Um cone de revolução situado
no 1.º diedro, com a base
contida num plano horizontal ν
com 1 cm de cota e 2,5 cm de
raio. O cone tem 4 cm de altura.
O centro da base é o ponto O
com 3,5 cm de afastamento.
É pretendido uma figura de
secção produzida na superfície
lateral do cone por um plano
horizontal ν1 com 2 cm de cota.
A figura de secção será uma
circunferência, com o ponto Q
como centro. Q é também o
ponto de intersecção do plano
ν1 com o eixo do cone.
O ponto C é o ponto de
intersecção entre o plano ν1 e
uma geratriz g do cone.
V2
g2
(fυ1)
(fυ)
Q2
C2
A2
O2
B2
x
A1
C1
g1
O 1 ≡ V1 ≡ Q 1
B1
Um cilindro oblíquo situado no
1.º diedro, tem as bases
contidas em planos horizontais.
y≡ z
g2
O ponto O (3; 5; 1) é o centro
da base inferior do cilindro. O
ponto Q (-2; 3; 5) é o centro
da base superior. A base
superior é tangente ao Plano
Frontal de Projecção.
Desenha as projecções do
cilindro.
(fυ1)
Q2
(fυ2)
(fυ)
A2
M2
O2
x
Desenha as projecções de uma
geratriz qualquer do cilindro
que seja visível em ambas as
projecções.
Desenha as projecções da
figura de secção produzida na
superfície lateral do cilindro
por um plano horizontal ν1 com
4 cm de cota. Analisa as suas
invisibilidades com os traços
adequados.
C2
A1
O1
M1
g1
C1
Q1