GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Métodos Geométricos Auxiliares II
Mudança de Diedros (Mudanças Sucessivas)
Planos
© antónio de campos, 2009.
TRANSFORMAÇÃO DOS ELEMENTOS DEFINIDORES
DE UM PLANO
A mudança de diedros de projecção permite em relação aos planos,
transformar planos oblíquos aos planos de projecção em planos paralelos aos
planos de projecção.
Transformação de um Plano Oblíquo
num Plano Horizontal ou Frontal
Pretende-se determinar a V.G. do triângulo [ABC], que faz parte do plano
oblíquo α, com o recurso à mudança do diedro de projecção.
fα
F’2
F2
x
C2
A2
F1
h’2
h2
B2
2
1
F’1
C1
A1
B1
hα
h’1
h1
Primeiro é
necessário
transformar o
plano α num plano
de topo (para
depois obter um
plano horizontal),
com um novo plano
(plano 4)
ortogonal ao plano
α, substituindo o
Plano Frontal de
Projecção (plano
2).
Mantém-se o Plano Horizontal de
Projecção, pelo que se mantém as
projecções horizontais dos
vértices do triângulo e as suas
cotas. A4, B4 e C4 são
determinados com a mesma cota.
A seguir, é necessário um novo plano
(plano 5) para obter o plano
horizontal (que foi a opção para este
caso).
Será paralelo ao plano α e substitui o
Plano Horizontal de Projecção. O eixo
x’’ é paralelo a f4α.
Mantém-se o plano 4, pelo que se
mantém as projecções dos vértices
do triângulo (A4, B4 e C4 ), bem
como os seus afastamentos. A5, B5
e C5 são determinados com o
mesmo afastamento.
fα
F’2
F2
x
C2
A2
F1
h’2
h2
B2
2
1
F’1
C1
A1
B1
hα
h’1
h1
O resultado é um novo diedro de
projecção (formado pelo plano 4
e plano 5) em que o plano α é
paralelo ao plano 5, em que a V.G.
do triângulo [ABC] está no
triângulo [A5B5C5].
Transformação de um Plano de Rampa
num Plano Horizontal ou Frontal
Pretende-se determinar a V.G. do triângulo [ABC], que faz parte do plano
oblíquo ρ, com o recurso à mudança do diedro de projecção.
x’
fρ
B4
r2
A4
A2
C4
H’2
F’1
F1
B1
r1
H1
F’2
C2
A1
h4ρ
hρ
s2
B2
H2
x
F2
H’1
2
1
Primeiro é
necessário
transformar o
plano ρ num plano
vertical (para
depois obter um
plano frontal),
com um novo plano
(plano 4)
ortogonal ao plano
ρ, substituindo o
Plano Horizontal
de Projecção
(plano 1).
C1
s1
2
4
Mantém-se o Plano Frontal de
Projecção, pelo que se mantém as
projecções frontais dos vértices do
triângulo e os seus afastamentos. A4,
B4 e C4 são determinados com o mesmo
afastamento.
A seguir, é necessário um novo plano (plano
5) para obter o plano frontal (que foi a opção
para este caso).
Será paralelo ao plano ρ e substitui o Plano
Frontal de Projecção. O eixo x’’ é paralelo a
h4ρ.
x’
fρ
B4
r2
A4
A2
C4
H’2
F’1
F1
2
1
B1
r1
H1
F’2
C2
A1
h4ρ
hρ
s2
B2
H2
x
F2
Mantém-se o plano
4, pelo que se
mantém as
projecções dos
vértices do
triângulo (A4, B4 e
C4 ), bem como as
suas cotas. A5, B5 e
C5 são
determinados com o
mesma cota.
H’1
s1
C1
2
4
O resultado é um novo diedro de
projecção (formado pelo plano 4
e plano 5) em que o plano ρ é
paralelo ao plano 5, em que a V.G.
do triângulo [ABC] está no
triângulo [A5B5C5].
É dado um triângulo oblíquo [ABC]; contido num plano α; sendo A (5; 2), B (1; 4) e C
(2; 1). O plano α é ortogonal ao β1,3 e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º
(a.e.) com o eixo x. Determina a V.G. do triângulo, transformando o plano α num
plano frontal com 2 cm de afastamento, por meio de mudanças de diedro de
projecção.
Primeiro, há que desenhar o triângulo,
pertencente ao plano, via os traços frontais.
fα
Depois é necessário transformar o plano α
num plano vertical (projectante horizontal),
com um novo plano (plano 4) ortogonal ao
plano α, substituindo o Plano Horizontal de
Projecção (plano 1).
B2
A2
C2
x
2
1
B1
C1
A1
hα
Mantém-se o Plano Frontal de Projecção,
pelo que se mantém as projecções frontais
dos vértices do triângulo e os seus
afastamentos. A4, B4 e C4 são
determinados com o mesmo afastamento.
A seguir, é necessário um novo plano (plano 5) para
obter o plano frontal.
Será paralelo ao plano α e substitui o Plano Frontal
de Projecção. O eixo x’’ é paralelo a h4α.
Mantém-se o plano 4, pelo
que se mantém as
projecções dos vértices do
triângulo (A4, B4 e C4 ), bem
como as suas cotas. A5, B5 e
C5 são determinados com a
mesma cota.
O resultado é um novo diedro de
projecção (formado pelo plano 4 e
plano 5) em que o plano ρ é paralelo
ao plano 5, em que a V.G. do
triângulo [ABC] está no triângulo
[A5B5C5].
fα
B2
A2
C2
x
2
1
B1
C1
A1
hα
É dado um triângulo oblíquo [PQR]; contido num plano de rampa ρ. Os traços
frontal e horizontal do plano têm, respectivamente, 4 cm de cota e 3 cm de
afastamento. P, Q e R têm, respectivamente, 1, 3 e 2 cm de cota. P0Q0 = 2 cm,
estando P à esquerda de Q. Q0R0 = 3 cm, estando Q à esquerda de R. Determina a
V.G. do triângulo, transformando o plano ρ num plano horizontal com 1 cm de cota,
por meio de mudanças de diedro de projecção.
4
1
Primeiro, há que desenhar o
triângulo, pertencente ao
plano, via as projecções
frontais de uma recta r.
r2
fρ
F2
O ponto R’ foi utilizado para
obter a projecção horizontal
do ponto R.
Q2
R’2
R2
P2
H2
P0
Q0
x
R4
Q4
H1
P4
P1
Q1
R0
2
1
R1
hρ
r1
x’
Depois é necessário
transformar o plano ρ num
plano de topo (para depois
obter um plano horizontal),
com um novo plano (plano 4)
ortogonal ao plano ρ,
substituindo o Plano Frontal
de Projecção (plano 2).
R’1
F1
Mantém-se o Plano Horizontal de
Projecção, pelo que se mantém as
projecções horizontais dos vértices do
triângulo e as suas cotas. P4, Q4 e R4
são determinados com a mesma cota.
A seguir, é necessário um novo plano (plano
5) para obter o plano horizontal.
Mantém-se o plano 4, pelo que se
mantém as projecções dos vértices
do triângulo (P4, Q4 e R4 ), bem como
os seus afastamentos. P5, Q5 e R5
são determinados com o mesmo
afastamento.
4
1
Será paralelo ao plano ρ e substitui o Plano
Horizontal de Projecção. O eixo x’’ é
paralelo a f4ρ.
O resultado é um novo
diedro de projecção
(formado pelo plano 4 e
plano 5) em que o plano α é
paralelo ao plano 5, em que
a V.G. do triângulo [PQR]
está no triângulo [P5Q5R5].
r2
fρ
F2
Q2
R’2
R2
P2
H2
P0
Q0
x
R4
Q4
R’1
P4
H1
x’
r1
P1
Q1
F1
R0
2
1
R1
hρ