Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Teste de MATEMÁTICA A 12º Ano
Duração: 90 minutos
Classificação
Maio/ 2008
____________
Nome ________________________ Nº ___ T: __
O Prof.__________________
(Luís Abreu)
1ª PARTE
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas
que lhe são apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será
anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua.
1. Uma empresa vai adquirir novos computadores, sendo a selecção feita de entre dez
modelos diferentes existentes no mercado: cinco modelos são portáteis e cinco são de
secretária.
Devido às necessidades da empresa, vão ser comprados dois computadores portáteis e três
computadores de secretária.
De quantas maneiras podem ser feitas as escolhas?
(A) 5C2  5 A3
(B) 2  5C3
(C) 5 A2  5 A3
(D) 10C5
2. Considere a função j, de domínio  , cujo gráfico se encontra parcialmente representado
na figura, bem como, a sua única assimptota.
cos x
?
x  j ( x )
y
Qual o valor de lim
(A) Não existe
(B) 
(C) 1
(D) 0
j
O
1
x
-1
3. Seja a função m, real de variável real, definida por m( x )  3  7 x 2 .
O domínio da função inversa de m é:
(A) ]  3, [
(B) ]  , 3[
(C) ]7, [
(D)  
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4. Na figura encontra-se representada parte do gráfico da função h´ , primeira derivada de h,
de domínio  .
y
Sabe-se que:
 Os zeros de h' são a e c;

a é minimizante e b é maximizante de h' .
Relativamente ao gráfico da função h, quais são as
abcissas dos seus pontos de inflexão?
(A) a, b e c.
(B) a e b
(C) c
O
a
b
c
x
h’
(D) a e c
5. Para certo valor de k, é contínua no seu domínio, a função definida por:
 k  senx

y   senx  x
 sen( 2 x )

(A) 1
se x  0
se 

2
 x0
(B) 0
(C)
1
2
(D) 2
2ª PARTE
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efectuados e as justificações necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exacto.
1. A massa de carbono 14 por grama de carbono, num fóssil com t anos é dada, em gramas,
M (t ) 
por:
106
2
t
5500
1.1. Sendo M  2  108 g qual é a idade do fóssil com aproximação ao milhar?
1.2. Exprima t em função de M e explique o que essa função representa.
2. De uma certa função f, real de variável real, sabe-se que a sua derivada, f´, de domínio  ,
está definida por: f '( x ) 
2.1. Determine
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ln x  1
.
x2
lim
k 0
k
.
f (e  k )  f (e 1 )
1
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2.2. Estude a função f ' quanto à existência de assimptotas do seu gráfico, paralelas
aos eixos coordenados.
3  2ln x
e estude a função f quanto ao sentido das
x3
concavidades do seu gráfico e determine a abcissa do ponto de inflexão.
2.3. Mostre que f ''( x ) 
3. A figura representa uma circunferência de centro O e raio r na qual está inscrito um
triângulo, sendo  um dos seus ângulos agudos.
3.1. Mostre que a área da região sombreada é dada por
A( )  r 2 (  2sen  cos );

 ]0, [ .
O

2
3.2. Nas alíneas seguintes considere r  1 .
3.2.1. Suponha que cos  
4
. Determine analiticamente A( ) .
5
3.2.2. Recorra à calculadora gráfica e à alínea 3.1. para determinar  de modo
que a área do triângulo seja um quarto da área do círculo. Apresente o valor de 
arredondado às centésimas. Explique como procedeu, indicando o(s) gráfico(s) obtido(s) na
calculadora.
3.2.3. Considere a função B, real de variável real, definida por
B( ) 
A( )

,  ]0, [ .
cos
2
Comente a afirmação:
“O gráfico da função B não admite assimptotas.”
FIM
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Cotações
1ª Parte (50 pontos)
Cada resposta certa ….. 10 pontos
1 ……..... 30
1.1 .… 15
1.2 …. 15
Resposta errada ….. 0 pontos
2ª Parte
2 ….……... 60
2.1 …. 15
2.2 …. 25
2.3 …. 20
3 …….…. 60
3.1 .… 15
3.2.1 ..…15
3.2.2 …. 15
3.2.3 …. 15
Soluções:
1ª Parte
1 2 3
B D B
4 5
B B
2ª Parte
1.1. t  31
106
1.2. t  5500log 2
M
1
2.1.
2e 2
2.2. x=0 e y=0
3
2
2.3. Concavidade voltada para cima x ]0, e ]
3
Concavidade voltada para baixo x [ e 2 , [
Abcissa do ponto de inflexão e
3.2.1.  
3
2
24
25
3.2.2.   0.45 ou   1.12
3.2.3. Falsa. x 

é assimptota vertical.
2
lim B( x )  
x
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
2
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