Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Teste de MATEMÁTICA A 12º Ano
Duração: 90 minutos
Classificação
Maio/ 2013
____________
Nome ________________________ Nº ___ T: __
O Prof.__________________
(Luís Abreu)
1ª PARTE
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, selecione a resposta correta de entre as alternativas que lhe são
apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo
acontecendo em caso de resposta ambígua.
1. Num determinado dia, de uma turma com 28 alunos só
1
fez o trabalho de casa da disciplina de
4
Matemática. O professor vai ver ao acaso o caderno de seis destes alunos.
Qual a probabilidade de apenas um deles ter feito o trabalho de casa?
C5
28
C6
2. Seja z  cis

3
C5  7
28
C6
21
21
(A)
(B)
(C)
1
7
(D)
2
3
(D)
7
C6
28
um número complexo.
Indique qual dos seguintes valores é o argumento de: 1  z .
(A)

3
(B)
4
3

3. Seja g uma função de domínio

(C)
5
3
. Sabe-se que:
g ( x)  x
1;
x 
x
O gráfico de g tem uma assintota não vertical.
lim

Qual das seguintes equações pode definir essa assintota?
(A) y  x
(B) y  2 x  1
(C) y  x
(D) y  2
4. Na figura está representada a função f e a reta r tangente ao seu gráfico no ponto de abcissa 1.
Sabendo que g ( x)  (2  x)2 , qual é o valor de
y
'
g
  (1) ?
f 
(A) 2
(C)
5
4
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2
(B) 2
(D)
3
4
o
1
3
f
x
r
5. Qual é o valor de lim
x 
(A) 0
sen  e x 
e2 x  2e x
?
(B) 0,5
(C) 1
(D) 2
2ª PARTE
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efetuados e as justificações necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exato.
1. Seja
o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária. Sem recorrer à
calculadora, determine
(1  3i)(2  i)  i 49  i100
.
(1  4i)  cis(4 )
Apresente o resultado na forma algébrica.
2. Seja
o conjunto dos números complexos. Considere a equação z 3  z 2  9 z  9  0 . Esta
equação tem três soluções em
.
2.1. Mostre que o número real cis (0) é uma dessas soluções.
2.2. As imagens geométricas, no plano complexo, dessas três soluções são vértices de um
triângulo. Determine a área desse triângulo. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
3. Resolva, em
, a equação:
z3
 1  3i .
z
4. Na figura está representado o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
 O ponto B tem coordenadas (0,1) ;

O ponto D tem coordenadas (1, 0) ;

Um ponto A se desloca ao longo do arco DB,

y
B
C
A
de tal forma que o segmento de reta  AC  é
sempre paralelo ao eixo das abcissas;
Para cada posição do ponto A,  designa a
amplitude, em radianos, do ângulo DOA

o
D
x

  
   0, 2   .



Seja f a função que a cada valor de  faz corresponder o perímetro do triângulo  ABC  .
Resolva os itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos.
4.1. Mostre que f ( )  2cos   2 2  2sen
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4.2. Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa

. Determine o declive da
6
reta r.
4.3. Existe um valor de  para o qual o perímetro do triângulo  ABC  é igual a 3. Determine esse
valor, arredondado às centésimas, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora.
Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a
resolução do problema.
5. De uma função g, de domínio   ,   , sabe-se que a sua derivada está definida igualmente no
intervalo   ,   e é dada por:
g '( x)  x  2senx
5.1. Determine o valor de lim
x 0
g ( x)  g (0)  g '( x)
.
x
5.2. Estude a função g quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos
pontos de inflexão.
Fim
Cotações:
1ª Parte
2ª Parte
Questões
10 pontos cada
questão. Total :
1.
2.1.
2.2.
3.
4.1.
4.2.
4.3.
5.1.
5.2.
Total
Pontos
50
20
10
15
20
15
20
15
15
20
200
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Formulário
Comprimento de um arco de circunferência
 .r (  amplitude,
em radianos, do ângulo ao
 u  v   u  v '
centro; r – raio)
Áreas de figuras planas
Losango:
Diagonal maior  Diagonal menor
2
Trapézio:
Regras de Derivação
Base maior  Base menor
 Altura
2
u×v   u×v  u×v
 u  u×v  u×v
  
v
v2
Polígono regular: Semiperímetro  Apótema
(u n )  n×u n1×u
r2
 sen u   u× cos u
Sector circular:
2
(α – amplitude, em radianos,
 cos u   u× sen u
do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone:
tg u  
 rg
(r – raio da base; g – geratriz)
Área de uma superfície esférica:
(r – raio)
4 r
2
Volumes
Pirâmide:
1
 Área da base  Altura
3
1
Cone:  Área da base  Altura
3
Esfera:
4 3
r
3
(n  )
u
cos2 u
 eu   u×eu
(au )  u×au × ln a
u
 ln u  
u
u
(log a u ) 
u× ln a
(a 

(a 

Limites notáveis
(r – raio)
n
Trigonometria
sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a
cos (a + b) = cos a .cos b − sen a. sen b
tga  tgb
tg (a + b) =
1  tga.tgb
Complexos
(  cis  )   cis (n. )
n  cis   n  cis   2k , k  0,...,n-1
n
n
n
Probabilidades
 1
lim  1    e
 n
sen x
1
x 0 x
lim
ex 1
1
x 0 x
lim
ln( x  1)
1
x 0
x
lim
  x1 p1  ...  xn pn
  ( x1   ) 2 p1  ...  ( xn   ) 2 pn
Se X é
lim
x
N(μ,σ) , então:
P(     X     )  0,6827
P(   2  X    2 )  0,9545
P(   3  X    3 )  0,9973
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lim
x 
ln x
0
x
ex
xp
 
(p  )
\{1})
\{1})