Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Teste de MATEMÁTICA A 12º Ano
Duração: 90 minutos
Classificação
Março/ 2012
____________
Nome ________________________ Nº ___ T: __
O Prof.__________________
(Luís Abreu)
1ª PARTE
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que
lhe são apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será
anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua.
1. Sejam m e n as funções, de domínio
, definidas por
m( x)  e x e
n( x)  e2 x 3
Os gráficos de m e n intersetam-se num ponto.
Qual é a ordenada desse ponto?
(A)
2
30
(B)
a
2. Indique o valor de
1
1log a  
a
(A) 1
1
e3
(C)
1
e4
(D)
(C)
1
4
(D)
3
e
4
.
4
(B) 4
1
2
3. Considere a função g cujo gráfico se encontra representado parcialmente na figura ao lado.
Tal como a figura sugere, tem-se que:
 O domínio de g é
\ 0 ;
y
 x  0, y  0 e y   x  2 são assintotas do gráfico de g.
g
Qual das seguintes afirmações é falsa?
(A) lim g ( x)  lim g ( x)
(B) lim  g ( x)  x  2  0
(C) lim g ( x)  lim ( x  2)
(D) lim g ( x)  0
x o
x 
x 
o
x
x 
x 
4. Seja f uma função de domínio
x 
. A reta de equação y  2 x  1 é tangente ao gráfico de f no
ponto de abcissa 1.
 f ( x)   f (1)
lim
2
Qual é o valor de
(A) 1
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x 1
x 1
(B) 2
2
?
(C) 3
(D) 4
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5. De uma função h, estritamente decrescente em
, sabe-se que h ''( x)  h '( x)  e x .
Qual das seguintes representações gráficas pode ser a da segunda derivada de h?
(A)
(B)
y
o
(C)
y
x
o
(D)
y
o
x
y
x
o
x
2ª PARTE
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efectuados e as justificações necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exacto.
1. A Joana foi comprar legumes e, às onze horas, pô-los no frigorífico onde, nesse momento, a
temperatura era de 6º Celsius.
Assim que os legumes foram introduzidos no frigorífico, a temperatura no seu interior começou a
aumentar, tendo atingido um valor máximo e voltado depois a diminuir, aproximando-se da
temperatura inicial.
Admita que a temperatura, T, no interior do frigorífico, medida em graus Celsius, t minutos após
os legumes terem sido lá colocados, pode ser dada por
T (t )  6  0, 2te0,03t ,
t 0
1.1. Qual era a temperatura no interior do frigorífico às onze horas e doze
minutos?
Apresente o resultado arredondado às décimas.
1.2. Calcule, com aproximação às décimas, a taxa média de variação da
temperatura no intervalo  0, 10 . Interprete este resultado no contexto
do problema.
1.3. Recorrendo à calculadora gráfica, resolva o seguinte problema:
Ao fim de quanto tempo é que a temperatura no interior do frigorífico estava a diminuir mais
rapidamente.
Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).
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2. Considere a função g, de domínio
, definida por:
 e3 x  1
se x  0

 x

g ( x)  3
se x  0

2
 ln  x 
se x  0
 x
2.1.Justifique que a função g é contínua apenas à esquerda do ponto de abcissa 0.
2.2. Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa 1.
2.3. Determine as equações das assintotas paralelas aos eixos coordenados.
2.4. Determine, utilizando a definição de derivada, o valor de g´(0 ) .
3. De uma certa função f :


sabe-se que a sua derivada, é definida por:
f '( x ) 
2  ln x
.
x
3.1. Poderá concluir-se que f é contínua para x  e ? Justifique a sua resposta.
3.2. Mostre que f ''( x) 
3  ln x
e estude a função f quanto ao sentido das concavidades
x2
do seu gráfico e à existência de pontos de inflexão.
3.3. Sabe-se que os gráficos da função f e da função h, definida por h( x)  ln x , admitem
num mesmo ponto, a mesma reta tangente. Determine a abcissa desse ponto.
Fim
Cotações:
2ª Parte
1ª Parte
Questões
Pontos
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10 pontos
cada
questão
1.1.
1.2.
1.3
2.1.
2.2
2.3.
2.4.
3.1.
3.2.
3.3.
10
10
15
15
15
20
20
10
20
15
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Formulário
Comprimento de um arco de circunferência
 .r (  amplitude,
em radianos, do ângulo ao
 u  v   u  v '
centro; r – raio)
Áreas de figuras planas
Losango:
Diagonal maior  Diagonal menor
2
Trapézio:
Regras de Derivação
Base maior  Base menor
 Altura
2
 u×v   u×v  u×v
 u  u×v  u×v
  
v
v2
Polígono regular: Semiperímetro  Apótema
(u n )  n×u n1×u
r2
2
 sen u   u× cos
Sector circular:
(α – amplitude, em radianos,
 tg u  
 rg
(r – raio da base; g – geratriz)
Área de uma superfície esférica: 4 r
(r – raio)
2
Volumes
1
3
Pirâmide:  Área da base  Altura
1
Cone:  Área da base  Altura
3
Esfera:
4 3
r
3
u
cos 2 u
 eu   u×eu
(au )  u×au × ln a
u
 ln u  
u
u
(log a u ) 
u× ln a
(a 

(a 

\{1})
\{1})
Limites notáveis
(r – raio)
n
Trigonometria
sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a
cos (a + b) = cos a .cos b − sen a. sen b
tga  tgb
tg (a + b) =
1  tga.tgb
sen x
1
x 0 x
ex 1
1
x 0 x
lim
(  cis  )n   ncis (n. )
 cis   n  cis
 1
lim  1    e
 n
lim
Complexos
n
u
 cos u   u× sen u
do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone:
(n  )
  2k
n
, k  0,...,n-1
ln( x  1)
1
x 0
x
lim
Probabilidades
  x1 p1  ...  xn pn
  ( x1   ) 2 p1  ...  ( xn   ) 2 pn
lim
x
lim
Se X é
N(μ,σ) , então:
x 
ln x
0
x
ex
xp
 
(p  )
P(     X     )  0,6827
P(   2  X    2 )  0,9545
P(   3  X    3 )  0,9973
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Soluções
1ª Parte
1 2 3 4 5
B C B D B
2ª Parte
1.1. 7,7 graus Celsius 1.2. t.m.v.0,10  0,1 nos primeiros 10 minutos a temperatura aumentou, em
média,0,1 graus Celsius por minuto. 1.3. Calcular o mínimo da função derivada (1hora e sete
minutos).
2.2. y  2 x  2
2.3. x=0 e y=0
3.1. Como f ´(e) 
1
valor finito existe derivada no ponto de abcissa e. Toda a função derivável num
e
ponto é contínua nesse ponto.
3.2. Concavidade voltada para baixo para x ]0, e3 ] , Concavidade voltada para cima para
x [e3 , [ . Tem um ponto de inflexão para x  e3 .
3.3. f ´( x)  h´( x)  x  e
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