Razão e Proporção Razão: é o quociente indicado (exato) entre dois números racionais, sendo que o segundo número é diferente de zero. Como você pode perceber, uma razão é representada por uma fração. No entanto, não deve ser lida como se fosse um número racional. Observe o quadro abaixo: Número racional (representado por Razão (representada por fração) fração) 1/2 lê-se: um meio 1/2 lê-se: um para dois ou um está para dois 3/4 lê-se: três quartos 3/4 lê-se: três para quatro ou três está para quatro 5/3 lê-se: cinco terços 5/3lê-se: cinco para três ou cinco está para três 7/10lê-se: sete décimos 7/10 lê-se: sete para dez ou sete está para dez 5137 10 342 OS TERMOS DE UMA RAZÃO: O ANTECEDENTE E O CONSEQÜENTE 3 5 Vamos considerar a notação . O que ela representa? 3 A notação 5 é um numeral (fração) que representa um número “três quintos”, onde 3 é o numerador, e 5, o denominador. 3 Porém, 5 é a representação também da razão “três para cinco”, onde 3 é o antecedente, e 5, o conseqüente. RAZÕES EQUIVALENTES Ao multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero, obtém-se outra razão equivalente à primeira. Veja o exemplo: 3 6 9 12 4 8 12 16 48 24 12 4 Form a Irredutível 60 30 15 5 PROPORÇÃO A proporção é uma igualdade entre duas ou mais razões. Quando temos a igualdade só de duas razões , chamamos essa igualdade de proporção simples. Se tivermos a igualdade de mais de duas razões , chamamos de proporção contínua. Desta forma temos que: x 2 Proporção sim ples y 5 x y z Pr oporção contínua 4 5 3 Propriedade Fundamental A propriedade fundamental da proporção diz que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. a c axd bx c b d Exemplos: 1) Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é: a) 90 b) 96 c) 180 d) 72 e) -124 Solução: x 2 y 3 x2 3 e que y2 5 x y a x 2.a e a y 3a 2 3 substituindo os valores de x e y na outra proporção tem os: 2a 2 3 (2a 2) x 5 (3a 2 ) x3 3a 2 5 10a 10 9a 6 10a 9a 6 10 a 4 substituindo o valor de a em x e y tem os: x 2 . ( 4) 8 ; y 3.( 4) 12 logo x . y 96 2) Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção . x 5 e y 9 x y 42 y x a y 9a e a x 5.a 9 5 substituindo os valores de x e y na outra proporção tem os: 42 3 x y 42 5a 9a 42 14a 42 a 14 substituindo o valor de a em x e y tem os: x 5 . (3) 15 ; y 9 .(3) 27 3) A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, assim como 7 está para 2. Determine a idade do pai e do filho. P 7 e F 2 P F 45 P F a P 7.a e a F 2a 7 2 substituindo os valores de P e F na outra proporção tem os: 45 P F 45 7 a 2a 45 9a 45 a 5 9 substituindo o valor de a em P e F tem os: P 7 . (5) 35 ; F 2 .(5) 10 Porcentagem Introdução: Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos: 1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar? O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo: 10 1200 120 x 12 100 100 Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 12 = 108 Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00. 2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos? quantidade de meninas será: 40 4000 100 x 40 100 100 E a de meninos será: 100 - 40 = 60. Razão centesimal: Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100. Exemplos: ( lê-se 10 por cento) (lê-se 150 por cento) Definição de taxa porcentual ou porcentagem: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos: Calcular 10% de 300. Calcular 25% de 200kg. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? Exercícios Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8. Solução: Vamos igualar as razões. 8=2 X 7 2x = 8 x 7 2x = 56 X = 56/2 X = 28 Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7 2) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ? Solução: Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y. x/y = 5/4 (Igualam-se as razões) x + y = 45 (Soma total de alunos) x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções) x 5 45/x = 9/5 45 x 5 = 9x 225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos : 25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5. 3) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos. a)14 e 20 anos b)14 e 21 anos c)15 e 20 anos d)18 e 17 anos e)13 e 22 anos Solução: a 2 b 3 ; a b 35 a b x a 2.x ; x b 3x 2 3 substituindo os valores de a e b na outra proporção tem os: 35 a b 35 2 x 3x 35 5 x 35 x 7 5 substituindo o valor de x em a e b tem os: a 2. (7) 14 ; b 3.(7) 21 4) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes. a)17cm³ e 28cm³ b)18cm³ e 27cm³ c)19cm³ e 28cm³ d)20cm³ e 27cm³ e)n.d.a Solução: a 2 b 3 ; b a 9 a b x a 2.x ; x b 3x 2 3 substituindo os valores de a e b na outra proporção tem os: b a 9 3x 2 x 9 x 9 substituindo o valor de x em a e b tem os: a 2. (9) 18 ; b 3.(9) 27 5) O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento? Solução: Porcentagem 120 100 Preço 35 000 x 6) Aumentando-se 10% uma grandeza positiva x e do resultado diminui-se 10% obtemos: (A) x (B) 0,9·x (C) 0,99·x (D) 1,1·x (E) 1,2·x Solução: Acrescentar 10% em X significa dizer que x passa a ser 1,1 x. Retirar 10% de 1,1x é igual: 0,11 Logo : 1,1x – 0,11x = 0,99x 7) Com o reajuste de 10% no preço da mercadoria A, seu novo preço ultrapassará o da mercadoria B em R$9,99. Dando um desconto de 5% no preço da mercadoria B, o novo preço dessa mercadoria se igualará ao preço da mercadoria A antes do reajuste de 10%. Assim, o preço da mercadoria B, sem o desconto de 5%, em R$, é Solução: Temos: 1,1 A = B + 9,99 e que 0,95 B = A 1,1( 0,95 B ) = B + 9,99 1,045 B = B + 9,99 1,045B – B = 9,99 0,045B = 9,99 B = R$ 222,00