ENERGIA CINÉTICA RELATIVÍSTICA
Consideremos uma partícula de massa de repouso m0 submetida a uma força
constante, F , conforme ilustra a figura, a qual parte do repouso e atinge a
velocidade v. A energia que a partícula adquire devido ao movimento, isto é,
sua
energia cinética, Ec , corresponderá ao trabalho realizado pela força F . Assim,
Ec =
Z
v
F dl =
0
Z
v
0
dp
dl =
dt
Z
v
vdp =
0
Z
v
vd (mv)
(1)
0
Na mecânica newtoniana, a massa de uma partícula independe de sua velocidade. Logo, 1fica:
Ec =
Z
v
vmdv = m
0
Z
v
0
·
v2
vdv =
2
¸v
0
=
mv 2
,
2
(2)
que é a conhecida expressão para a energia cinética newtoniana. Na mecânica
relativística, no entanto, a massa, m, depende da velocidade e, em conseqüência,
a diferencial d (mv) não pode ser escrita como mdv. Sendo assim, de 1, segue:
Ec =
Z
v
vd (mv) =
0
v
2
v dm =
0
Z
0
v
v
v (vdm + mdv) =
0
³
onde m = γm0 = 1 −
ao lado direito em 3.
Z
Z
v2
c2
´− 12
Z
v
v2 dm +
0
Z
v
vmdv,
(3)
0
m0 . Calculemos as duas integrais que aparecem
Ãµ
!
¶µ
¶− 12
¶− 32 µ
¶
Z v µ
v2
v2
1
2v
2
1− 2
1− 2
v d
m0 = m0
v −
− 2 dv =
c
2
c
c
0
2
= m0
Z
0
v
v2
c2
µ
¶− 32
v2
1− 2
vdv
c
1
Façamos cos θ =def
Z
v
c.
v
v2 dm = m0
0
−m0 c2
Z
Logo, v = c cos θ e dv = −c cos θ. Logo,
v
0
Z
v
0
¡
¢− 3
cos2 θ 1 − cos2 θ 2 c cos θ (−c sin θ) dθ =
¡
¢− 3
cos2 θ sin2 θ 2 c cos θ sin θdθ = −m0 c2
Z
v
0
cos2 θ
cos θdθ
sin2 θ
Façamos x =def sin θ. Logo, dx = cos θdθ. Portanto,
Z
v
v 2 dm = −m0 c2
0
= m0 c2
m0 c2
·
£¡
Z
0
1 + x2
x
v
Z
1 − x2
dx = −m0 c2
x2
¸v
= m0 c2
0
·
v
0
1 + sin2 θ
sin θ
¸v
0
¡ −2
£
¢
¤v
x − 1 dx = −m0 c2 −x−1 − x 0

v
v2
1
+
1
−
2
c 
= m0 c2  q
=
v2
1 − c2
0
¢ ¤v
£
¤v
¡
¢
1 + γ −2 γ 0 = m0 c2 γ + γ −1 0 = m0 c2 γ + γ −1 − 2 ,
(4)
pois γ = 1 quando v = 0.
A outra integral no lado direito de 3 é dada por:
Z
v
vmdv = m0
0
Z
0
Mas, sin θ =
Z
v
0
v
v
q
1−
2
v2
c2
dv = −m0 c
q
√
1 − cos2 θ = 1 −
v2
c2
Z
0
v
cos θ sin θ
dθ = −m0 c2
sin θ
Z
0
v
v
cos θdθ = −m0 c2 [sin θ]0
= γ −1 . Logo,
£
¤v
¡
¡
¢
¢
vmdv = −m0 c2 γ −1 0 = −m0 c2 γ −1 − 1 = m0 c2 1 − γ −1
(5)
Somando-se 4 e 5, obtemos:
¡
¢
Ec = m0 c2 γ + γ −1 − 2 + 1 − γ −1 = m0 c2 (γ − 1) .
Desta última equação, chegamos, finalmente, a:
Ec = γm0 c2 − m0 c2 = mc2 − m0 c2 .
2
(6)
O primeiro termo ao lado direito em 6 pode ser encarado como sendo a
energia total da partícula em movimento e o segundo termo como sendo a energia
total da partícula em repouso. Assim sendo, a enrgia total de uma partícula
será dada por:
E = mc2 .
3