Centro Federal de Educação Tecnológica Unidade de Nova Iguaçu Ensino de Graduação Matemática Exercícios de Cálculo 1 Funções de Uma Variável Lista 1 1) Considere as funções f (x) = 2x2 − x, g(y) = funções: a) h(x) = ef (x) − 2(g(x))2 + 3q(x) √ 3y − 2 e q(z) = 5z . Escreva as regras das z−4 f (x) 1 + q(x) g(x) 2 p d) h(z) = q(z)f (z) − g(z) c) h(x) = b) h(y) = (g(y))(f (y)) − (q(y))−1 2) Determine o domínio de cada função abaixo e represente-o gracamente: a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = d) g(t) = √ √ √ √ e) f (x) = x f) f (x) = x2 g) f (x) = ln(x2 − 4) x3 p (x − 2)(x + 1)(1 − 3x) 2x2 + 1 (x2 − 1)(16 − x4 ) √ x−1 i) f (x) = ln x−2 h) g(x) = t2 − 1 x2 2x − 1 3) Para as funções abaixo esboce os grácos: c) f (x) = x2 − 3x + 1; a) f (x) = 1 − x; d) f (x) = ln(x + 2); 1 b) f (x) = ; x e) f (x) = 2cos(x + π3 ); 4) Esboce as regiões planas: a) A = {(x, y) ∈ R2 |y ≤ 2 − x2 e y ≥ x}; c) A = {(x, y) ∈ R2 |y ≤ x2 − 4 ∧ y ≥ −x2 − 2x}; b) A = {(x, y) ∈ R2 |y 2 ≤ 2x + 4 ∧ y ≥ x − 2}; d) A = {(x, y) ∈ R2 |y ≤ x2 ∧ y ≥ x4 − 2x2 }; e) A = {(x, y) ∈ R2 |x2 + (y − 1)2 ≤ 1 ∧ x2 + (y − 2)2 ≤ 4 ∧ y ≥ x2 }; 5) Faça a representação dos produtos cartesianos abaixo: a) A = {x ∈ R; 3 < x < 4} e B = {x ∈ R; 3 < x < 4}, construa AXB . b) A = {x ∈ R; 3 < x < 8}, construa AX R. c) A = {x ∈ R; −3 ≤ x < −1} e B = {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 4}, construa AXB . 1 6) Para as funções abaixo diga quais são injetoras, sobrejetoras, bijetoras, esboce seu gráco em um plano cartesiano. a) f : R −→ R, c) f : R −→ R, f (x) = 1 − x; f (x) = 2 − x2 ; b) f : R −→ R, d) f : R −→ R, f (x) = |x|; f (x) = 1 + x; 7) Para o exercício anterior faça restrições no domínio e na imagem de cada função de forma a obter uma função bijetora em seguida dena as inversas das funções obtidas. 8) Resolva as equações em R e esboce, se possível, a interpretação gráca de cada uma delas: a) |5x − 3| = 12; f) |x + 3| + |x| = 7; b) |9x| − 11 = x; g) |3x + 2| = 5 − x; c) |4 − 3x| = 3x − 4; h) |3x − 2| = 3x − 2; d) |2x − 3| = |7x − 5|; x + 2 = 5. i) x − 2 e) 2x − 7 = |x| + 1; 8) Resolver as inequações em R: 1 1 ≥ ; |x + 1||x − 3| 5 x − 1 2 i) ≤ 1; x + 12 a) |x + 12| < 7; h) b) |2x − 5| > 5; c) |4x − 7| ≥ −1; d) |2x − 4| < −1; j) |x2 − 6x + 5| + 1 < x; e) 1 ≤ |x + 2| < 4; k) |x2 − 4| ≤ 3x; 5 1 ; f) ≥ 2x − 1 x − 2 g) 3|x − 1| + |x| < 1; l) |2x − 6| − |x| ≤ 4 − x; m) |x − 2| + |x − 4| ≥ 6; 9) Complete quadrados: a) p(x) = x2 + 10x + 2; d) p(x) = − 32 x2 − 23 x − 25 ; b) p(x) = 2x2 − 16x + 4; e) p(x) = x2 + bx + c; c) p(x) = x2 + 23 x − 1; f) p(x) = ax2 + bx + c; a 6= 0 2 10) Complete quadrados em x e em y : a) x2 − 2x + y 2 − 2y − 2 = 0; d) x2 + 6x + y 2 − 7 = 0; b) x2 + 2x + y 2 − 6y + 9 = 0; e) x2 − 2ax + y 2 − 2y − 16 + a2 = 0; c) x2 − 6x + y 2 + 4y + 4 = 0; f) x2 − 2ax + y 2 − 2by + a2 + b2 − c = 0; 11) Sejam p(x) = 3x4 + 2x3 + 4x2 + 5x + 1 e d(x) = 4x3 + 4x2 − x − 2. Efetue a divisão de p(x) por d(x). 12) Sejam p(x) = x4 + 3x2 − 2x + 1 e d(x) = 2x2 − 3x + 2. Efetue a divisão de p(x) por d(x). 13) Sejam p(x) = 15x5 − 2x4 + 15x2 − 2x + 15 e d(x) = −x2 + 4x + 1. Efetue a divisão de p(x) por d(x). 14) Partindo do traço de 1 = x2 + y 2 construa o traço de: a) x2 − 2x + y 2 − 2y − 2 = 0; c) x2 − 6x + y 2 + 4y + 4 = 0; b) x2 + 2x + y 2 − 6y + 9 = 0; d) x2 + 6x + y 2 − 7 = 0; 15) Determine o domínio das funções abaixo: a) f (t) = b) f (t) = √ t2 + 4t − 5; 65 p 4 2 3 16t d) f (t) = 6 ; q p 1 3 4 2 4 (t ) (t ) √ t4 + 4t2 + 8; c) f (t) = √ t3 − √ 4 2 t −1 1 e) f (t) = p +q ; 1 t(t − 2) (−t + 2 ) 1 ; + 11t − 6 6t2 16) Separe em frações parciais as funções racionais: a) f (x) = 2x + 3 ; (x − 3)(x − 1) c) f (x) = x+1 b) f (x) = ; (x − 1)(x + 2)(x − 3) 3 1 (x − 1)2 (x + 2)2 ; 17) Considere as funções f (x) = ln(x), g(x) = compostas abaixo: √ x2 − x e p(x) = x1 , determine o domínio das funções a) h(x) = f ◦ g(x); e) h(x) = g ◦ p(x); b) h(x) = g ◦ f (x); f) h(x) = p ◦ f (x); c) h(x) = f ◦ g ◦ p(x); g) h(x) = f ◦ f (x); d) h(x) = g ◦ p ◦ f (x); h) h(x) = p ◦ p ◦ p(x). 18) Simplique as expressões: a) a2 cos π − (a − b)2 sin( 3π 2 ) + 2ab cos 0 = π 2 b sin( 2 ) d) sec(x) + sin(x) = tan(x)[csc(x) + cos(x)] e) sin(x)cotg(x) sec(x) = cos4 (x) − sin4 (x) = b) cos(2x) f) c) cos(x) tan(x) csc(x) = 1 1+sin2 (x) + 1 1+cos2 (x) + 1 1+sec2 (x) + 1 1+csc2 (x) = g) cos2 (x) + cos2 (x) tan2 (x) + tan2 (x) = 19) Verique se as igualdades são verdadeiras: a) sin2 (x) = 1 − cos(2x) ; 2 e) tan(x) = sin(x) cos(x); 1 + tan2 (x) b) cos2 (x) = 1 + cos(2x) ; 2 f) sec(x) + sen (x) = tan(x) csc(x) + cos(x) c) sin(x) 1 + cos(x) + = 2 csc(x); 1 + cos(x) sin(x) d) 2 − sin2 (x) − tan2 (x) = 2; cos2 (x) g) sec2 (x) csc2 (x) = tan2 (x) + cot2 (x) + 2; h) [tan(x) − sin(x)]2 + [1 − cos(x)]2 = [sec(x) − 1]2 4