Centro Federal de Educação Tecnológica
Unidade de Nova Iguaçu
Ensino de Graduação
Matemática
Exercícios de Cálculo 1
Funções de Uma Variável
Lista 1
1) Considere as funções f (x) = 2x2 − x, g(y) =
funções:
a) h(x) = ef (x) − 2(g(x))2 + 3q(x)
√
3y − 2 e q(z) =
5z
. Escreva as regras das
z−4
f (x) 1
+ q(x)
g(x) 2
p
d) h(z) = q(z)f (z) − g(z)
c) h(x) =
b) h(y) = (g(y))(f (y)) − (q(y))−1
2) Determine o domínio de cada função abaixo e represente-o gracamente:
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) =
d) g(t) =
√
√
√
√
e) f (x) =
x
f) f (x) =
x2
g) f (x) = ln(x2 − 4)
x3
p
(x − 2)(x + 1)(1 − 3x)
2x2 + 1
(x2 − 1)(16 − x4 )
√
x−1
i) f (x) = ln
x−2
h) g(x) =
t2 − 1
x2
2x − 1
3) Para as funções abaixo esboce os grácos:
c) f (x) = x2 − 3x + 1;
a) f (x) = 1 − x;
d) f (x) = ln(x + 2);
1
b) f (x) = ;
x
e) f (x) = 2cos(x + π3 );
4) Esboce as regiões planas:
a) A = {(x, y) ∈ R2 |y ≤ 2 − x2 e y ≥ x};
c) A = {(x, y) ∈ R2 |y ≤ x2 − 4 ∧ y ≥ −x2 − 2x};
b) A = {(x, y) ∈ R2 |y 2 ≤ 2x + 4 ∧ y ≥ x − 2}; d) A = {(x, y) ∈ R2 |y ≤ x2 ∧ y ≥ x4 − 2x2 };
e) A = {(x, y) ∈ R2 |x2 + (y − 1)2 ≤ 1 ∧ x2 + (y − 2)2 ≤ 4 ∧ y ≥ x2 };
5) Faça a representação dos produtos cartesianos abaixo:
a) A = {x ∈ R; 3 < x < 4} e B = {x ∈ R; 3 < x < 4}, construa AXB .
b) A = {x ∈ R; 3 < x < 8}, construa AX R.
c) A = {x ∈ R; −3 ≤ x < −1} e B = {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 4}, construa AXB .
1
6) Para as funções abaixo diga quais são injetoras, sobrejetoras, bijetoras, esboce seu gráco em um
plano cartesiano.
a) f : R −→ R,
c) f : R −→ R,
f (x) = 1 − x;
f (x) = 2 − x2 ;
b) f : R −→ R,
d) f : R −→ R,
f (x) = |x|;
f (x) = 1 + x;
7) Para o exercício anterior faça restrições no domínio e na imagem de cada função de forma a obter
uma função bijetora em seguida dena as inversas das funções obtidas.
8) Resolva as equações em R e esboce, se possível, a interpretação gráca de cada uma delas:
a) |5x − 3| = 12;
f) |x + 3| + |x| = 7;
b) |9x| − 11 = x;
g) |3x + 2| = 5 − x;
c) |4 − 3x| = 3x − 4;
h) |3x − 2| = 3x − 2;
d) |2x − 3| = |7x − 5|;
x + 2
= 5.
i) x − 2
e) 2x − 7 = |x| + 1;
8) Resolver as inequações em R:
1
1
≥ ;
|x + 1||x − 3|
5
x − 1 2
i) ≤ 1;
x + 12 a) |x + 12| < 7;
h)
b) |2x − 5| > 5;
c) |4x − 7| ≥ −1;
d) |2x − 4| < −1;
j) |x2 − 6x + 5| + 1 < x;
e) 1 ≤ |x + 2| < 4;
k) |x2 − 4| ≤ 3x;
5 1 ;
f) ≥
2x − 1 x − 2 g) 3|x − 1| + |x| < 1;
l) |2x − 6| − |x| ≤ 4 − x;
m) |x − 2| + |x − 4| ≥ 6;
9) Complete quadrados:
a) p(x) = x2 + 10x + 2;
d) p(x) = − 32 x2 − 23 x − 25 ;
b) p(x) = 2x2 − 16x + 4;
e) p(x) = x2 + bx + c;
c) p(x) = x2 + 23 x − 1;
f) p(x) = ax2 + bx + c; a 6= 0
2
10) Complete quadrados em x e em y :
a) x2 − 2x + y 2 − 2y − 2 = 0;
d) x2 + 6x + y 2 − 7 = 0;
b) x2 + 2x + y 2 − 6y + 9 = 0;
e) x2 − 2ax + y 2 − 2y − 16 + a2 = 0;
c) x2 − 6x + y 2 + 4y + 4 = 0;
f) x2 − 2ax + y 2 − 2by + a2 + b2 − c = 0;
11) Sejam p(x) = 3x4 + 2x3 + 4x2 + 5x + 1 e d(x) = 4x3 + 4x2 − x − 2. Efetue a divisão de p(x) por
d(x).
12) Sejam p(x) = x4 + 3x2 − 2x + 1 e d(x) = 2x2 − 3x + 2. Efetue a divisão de p(x) por d(x).
13) Sejam p(x) = 15x5 − 2x4 + 15x2 − 2x + 15 e d(x) = −x2 + 4x + 1. Efetue a divisão de p(x) por
d(x).
14) Partindo do traço de 1 = x2 + y 2 construa o traço de:
a) x2 − 2x + y 2 − 2y − 2 = 0;
c) x2 − 6x + y 2 + 4y + 4 = 0;
b) x2 + 2x + y 2 − 6y + 9 = 0;
d) x2 + 6x + y 2 − 7 = 0;
15) Determine o domínio das funções abaixo:
a) f (t) =
b) f (t) =
√
t2 + 4t − 5;
65
p
4
2
3
16t
d) f (t) =
6 ;
q
p
1
3
4
2
4
(t )
(t )
√
t4 + 4t2 + 8;
c) f (t) = √
t3
−
√
4 2
t −1
1
e) f (t) = p
+q
;
1
t(t − 2)
(−t + 2 )
1
;
+ 11t − 6
6t2
16) Separe em frações parciais as funções racionais:
a) f (x) =
2x + 3
;
(x − 3)(x − 1)
c) f (x) =
x+1
b) f (x) =
;
(x − 1)(x + 2)(x − 3)
3
1
(x −
1)2 (x
+ 2)2
;
17) Considere as funções f (x) = ln(x), g(x) =
compostas abaixo:
√
x2 − x e p(x) = x1 , determine o domínio das funções
a) h(x) = f ◦ g(x);
e) h(x) = g ◦ p(x);
b) h(x) = g ◦ f (x);
f) h(x) = p ◦ f (x);
c) h(x) = f ◦ g ◦ p(x);
g) h(x) = f ◦ f (x);
d) h(x) = g ◦ p ◦ f (x);
h) h(x) = p ◦ p ◦ p(x).
18) Simplique as expressões:
a)
a2 cos π − (a − b)2 sin( 3π
2 ) + 2ab cos 0
=
π
2
b sin( 2 )
d)
sec(x) + sin(x)
=
tan(x)[csc(x) + cos(x)]
e) sin(x)cotg(x) sec(x) =
cos4 (x) − sin4 (x)
=
b)
cos(2x)
f)
c) cos(x) tan(x) csc(x) =
1
1+sin2 (x)
+
1
1+cos2 (x)
+
1
1+sec2 (x)
+
1
1+csc2 (x)
=
g) cos2 (x) + cos2 (x) tan2 (x) + tan2 (x) =
19) Verique se as igualdades são verdadeiras:
a) sin2 (x) =
1 − cos(2x)
;
2
e)
tan(x)
= sin(x) cos(x);
1 + tan2 (x)
b) cos2 (x) =
1 + cos(2x)
;
2
f)
sec(x) + sen (x)
= tan(x)
csc(x) + cos(x)
c)
sin(x)
1 + cos(x)
+
= 2 csc(x);
1 + cos(x)
sin(x)
d)
2 − sin2 (x)
− tan2 (x) = 2;
cos2 (x)
g) sec2 (x) csc2 (x) = tan2 (x) + cot2 (x) + 2;
h) [tan(x) − sin(x)]2 + [1 − cos(x)]2 = [sec(x) − 1]2
4