UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
INSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Lista de Exercícios 1
Disciplina: Teoria Eletromagnética
PROFESSOR: Fernando Simões Junior
Problemas
1. Encontre o vetor separação r a partir de
um ponto fonte em (2, 8, 7) até o ponto
(4, 6, 8). Determine a magnitude de |r|, e
construa o vetor unitário r̂ .
2. p
Encontre o gradiente de r
=
2
2
2
x + y + z (a magnitude do vetor posição). Discuta o resultado em função do
vetor unitário r̂.
Figura 2: Problema 6
3. Considere as funções va = xx̂ + yŷ + zẑ;
vb = ẑ; vc =zẑ. Calcule os seus divergentes.
7. Calcule a integral de volume de T = xyz 2
para o prisma da Figura.
4. Suponha as funções va = − yx̂ + xŷ, e
vb =xŷ. Esboce o gráfico das funções e
calcule seus rotacionais.
5. Calcule a integral de linha da função
v = y 2 x̂ + 2x(y + 1)ŷ a partir do ponto
a = (1, 1, 0) até o ponto b = (2, 2, 0), ao
longo do
H caminho (1) e (2) da figura 1.
Qual é v·dl para o caminho fechado que
vai de a até b ao longo de (1) e retorna
para a ao longo de (2)?
Figura 3: Problema 7
8. Teste o teorema do divergente para a
função v = (xy)x̂ + (2yz)ŷ + (3zx)ẑ.
Use como volume o cubo mostrado na
Figura4, com lados de comprimento 2.
Figura 1: Problema 5
6. Calcule a integral de superfície de v =
2xzx̂+(x+2)ŷ+y(z 2 −3)ẑ sobre cinco lados (excetuando o fundo) da caixa cúbica
(de lado igual a 2) Figura 2. Considere
que “para cima e para fora” é a direção
positiva, como indicam as setas.
Figura 4: Problema 8
9. Suponha que v = (2xz − 3y 2 )ŷ + (4yz 2 )ẑ.
Verifique o teorema de Stokes para a superfı̃cie quadrada mostrada na Figura5.
1
11. Encontre o volume de uma esfera de raio
R.
Respostas:
Figura 5: Problema 9
Problemas:
10. Expresse os vetores unitários r̂, θ̂, φ̂ e m
termos de x̂, ŷ, ẑ . Teste sua resposta ve?
?
?
rificando (r̂·r̂ = 1, θ̂·φ̂ = 0, r̂×θ̂ = φ̂, . . .).
Dicas: 1) Você pode utilizar como referência a Figura 6.
2) Defina r = xx̂ + yŷ + zẑ =
r sin θ cos φx̂ + r sin θ sin φŷ + r cos θẑ para
cada componente calcule:
∂r
∂r
1. r = 2x̂ − 2ŷ +ẑ; |r| = 3 ; r̂ = 23 x̂ − 23 ŷ + 13 ẑ
2.
r
r
= r̂
3. 3; 0; 1
4. 2ẑ; ẑ
∂r
5. 11; 10; 1
∂φ ; θ̂ = ∂θ
r̂ = ∂r
∂r ∂r ; φ̂ = ∂r ∂φ ∂r
∂θ
Lembre que o produto escalar de vetores
idênticos pode ser escrito A · A = |A|2 .
6.
R
7.
R
superfı́cie
T dτ =
v · da = 20
3
8
8. 48
9.
4
3
10. r̂ = sin θ cos φx̂ + sin θ sin φŷ + cos θẑ
θ̂ = cos θ cos φx̂ + cos θ sin φŷ − sin θẑ
r̂ = − sin φx̂ + cos φŷ
Figura 6: Problema 10
11.
2
4
πR3
3