Capítulo 5
Exponenciais
5.1 Propriedades dos Expoentes
Dados a ∈ R e n ∈ N, denota-se por an o produto de a por si mesmo n vezes, isto é
an = a · a · a · · · a (n fatores).
(5.1)
Como conseqüência de (5.1) temos as seguintes propriedades para os expoentes (m, n ∈ N):
(i) am an = am+n ;
(ii)
am
an
= am−n ;
(iii) (am )n = amn ;
(iv) a−n =
1
an
(vii) 00 @
(v) a0 = 1, se a 6= 0;
(vi) 0n = 0, se n 6= 0;
Além disto, denimos expoentes racionais (fracionários) como
√
am/n = n am ,
onde ca subententido que m/n é uma fração irredutível e que a raiz n-ésima de am exista. A validade de
(5.1)
quando n é um número irracional é bem mais difícil de se estabelecer. Por exemplo, qual o signicado de
√
2
3 ? Apesar deste incoveniente, admitiremos, sem provas, que tanto (5.1) e as propriedades listadas continuam
válidas para expoentes reais quaisquer.
Para a desigualdade ax > ay observamos que:
(i) se a > 1 então x > y ;
(ii) se 0 < a < 1 então x < y .
5.2 Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função da forma
f (x) = ax ;
(5.2)
onde a base a é qualquer real positivo diferente de 1 (a ∈ R+∗ e a 6= 1). É importante distinguir potências da
forma xa (a variável está na base) de exponenciais da forma ax (a variável está no expoente).
5.3 Problemas Propostos
Problema 5.1 Escreva a expressão
r
√
5
x
x3
√
√
3
4
x
x7
na forma de expoente fracionário.
18
Problema 5.2 Sabendo-se que A =
3x +3−x
2
Problema 5.3 Simplique a expressão
eB=
3x −3−x
,
2
determine A2 + B 2 .
2n+4 + 2n+2 + 2n−1
.
2n−2 + 2n−1
Problema 5.4 Resolva as equações exponenciais
(a) 3x
2
√
(d) 8x−2 = 8 2;
= 243;
√
(b) 27x = 3;
+1
2
(c) (0.5)x
+x−12
= 1;
212;
(e) 2x 3x = 216;
(g) 16x 4x+3 − 8x+2 = 0;
(f ) 4x+2 + 4x−1 − 4x+1 + 4x =
(h) 28x − 4 · 24x − 32 = 0;
Problema 5.5 Resolva as inequações exponenciais
(a) 2x+2 + 2x−1 > 3x−1 + 3x ;
(b)
¡
√1
2
¢ x−1
x−2
≥8
x−1
x
;
(c) 2x − 3 > −22−1 ;
Problema 5.6 Em uma colônia, o número N de bactérias em função do tempo t (em dias) é dada pela função
exponencial N (t) = M 2kt , onde M e k são constantes.
(a) Determine M e k sabendo-se que a população inicial (no tempo t = 0) é de 100 bactérias e que esta
população se quadruplicou após um dia;
(b) determine o número de bactérias presentes na colônia após cinco dias.
Problema 5.7 Se um raio de luz de intensidade k é projetado verticalmente para baixo na água, então a
intensidade luminosa I a uma profundidade de h metros é dada por I(h) = k3αt , onde k e α são constantes.
(a) Determine k e α sabendo-se que a intensidade luminosa na superfície é de 12 lux/m2 e de 4 lux/m2
a um metro de profundidade;
(b) determine a intensidade luminosa a 3 metros de profundidade.
5.4 Problemas Teóricos
Problema Teórico 5.1 Suponha que uma quantia de capital C é capitalizada periodicamente a uma taxa de
juros j . Use indução matemática para mostrar que o montante de capital M após n períodos é dado pela função
exponencial
µ
¶n
j
M (n) = C 1 +
.
100
5.5 Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 5
• 5.1 (página 18) x−15/46
• 5.2 (página 19)
(a) x < 3
(b) 0 < x ≤ 1
32x +3−2x
2
• 5.3 (página 19) 82/3
ou 12/7 ≤
x2
(c) x > 0
• 5.6 (página 19)
• 5.4 (página 19)
(a) x = ±2
x=3
(f) x = 2
(b) x = 5/3
(d) x = 19/6
(g) x = 0
(c) x = −4 ou
(e) x = 3
(h) x = 3/4
(a) M = 100 e k = 2
(b) N (5) = 102.400
• Problema 5.7 (página 19)
• 5.5 (página 19)
(a) K = 12 e α = −1
19
(b) I(3) = 12/27