Capítulo 7
Estados de tensão e de
deformação
Transformação de tensão para o estado plano
Tensões num plano qualquer 
 x 
 x  y  x  y
2
 xy  

2
 x  y
2
cos 2   xy sen 2
sen 2   xy cos 2
Tensões principais
• Máxima/mínima 
d x
0
d
tg 2 

2 xy
x
 y 
• Raízes/planos
1  1  90o
– Defasagem de 90o entre os
planos
• Tensões principais
 1, 2 
 x  y
2
 x  y 
2
 
   xy
 2 
2
• Tensões de cisalhamento nulas
 xy   xy  0
Tensões principais
yx
1
y
x
xy
Tensões principais
2
1
Tensões de cisalhamento máxima e mínima
• Máxima/mínima 
d xy
d
tg 2 2  
0

x
 y 
2 xy
• Raízes/planos
 2   2  90o
1
tg 2 2  
tg 21
– A defasagem entre os planos é
de 45o
• Tensões de cisalhamento
máxima/mínima
 x  y 
 máx / mín   

2
2
 

2
xy
 máx 
1   2
2
Tensões de cisalhamento máxima e mínima
• Tensões normais associadas
 '    
yx
1   2

2
 x  y
y
2
 cte

mín
x
xy

máx
2
Tensões de cisalhamento máxima e mínima
Tensões principais e de cisalhamento máxima e
mínima
45o
Defasagem entre os planos 1, 2, máx e mín
Exemplo
a.Determinar  e  para  = -22º 30’.
b.Determinar as tensões principais e
mostrar seu sentido num elemento
adequadamente orientado.
c.Determinar as tensões de cisalhamento
máxima e mínima e respectivas tensões
normais, e representar os resultados
em um elemento convenientemente
orientado.
Exemplo: solução
a)
 x' 
3 1 3 1

cos( 45º )  2 sen( 45º )  1,3MPa
2
2
 x'y'
3 1

sen( 45º )  2 cos( 45º )  2,1MPa
2
b)
3  1  3  1
2
1 
 

2
 4,24MPa

2
 2 
2
3  1  3  1
2
2 
 

2
 0,24MPa

2
 2 
2
Exemplo: solução
  '1  31º 43'
2.2
tg 21 
2
3  1
 "1   '1 90º  121º 43'
Exemplo: solução
c)
 máx 
1  2
2

4,2   0,2 
 2,2 MPa
2
1
 3  1

 2  arctg
 76º 43'
2
2.2
2  2  90º  166º43'
 '2   '1 45º
 
3 1
 2MPa
2
Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
•Os pares (x,’xý) formam
uma circunferência:
 x  y 

 x  y 
2
2







 x



xy
xy
2 

 2 
2
2
•Centro
 x   y 
C
,0 
 2

•Raio
 x  y 


2
2
   2 xy

Círculo de Mohr para o estado plano de tensão
•
•
•
•
•
(x,xy) e (y, yx)
1 e 2
1 e 2
máx e mín
Invariante:
 x   y   1   2   x   y  cte
Círculo de Mohr para o estado triplo de tensão
• Tensões principais:
1   2   3
• Tensões de cisalhamento
máxima e mínima:
 máx   mín 
1   3
2
 raio
Círculo de Mohr para o estado uniaxial de
tensão
2  3  0
ou
1   2  0
x
x
y
x
Compressão
2


máx máx
1 
2
Tração
1 
Círculo de Mohr para o estado de tensão de
cisalhamento puro
xy
yx
xy
y
x
 x   y   x   y   1   2  0

máx
2
1

Estado plano de deformação
 x 
x y
 xy
2
2



x
x y
2
y 
2
cos 2 
sen  
 xy
2
 xy
2
sen 2
cos 2
Deformações principais
• Máxima/mínima 
d  x
0
d
 xy
tg 2 
 x   y 
• Raízes/direções
1  1  90o
– Defasagem de 90o entre as
direções
• Deformações principais
1, 2 
x y
2
  x   y    xy 
 
  
 2   2 
• Distorções nulas
 xy   xy  0
2
2
Deformações principais
y
'yx
xy
1
x
2
1
Deformações principais
Distorções máxima e mínima
• Máxima/mínima 
d xy
0
d

tg 2 2  
x
y 
 xy
• Raízes/direções
 2   2  90o
1
tg 2 2  
tg 21
– A defasagem entre as direções é
de 45o
• Distorções máxima/mínima
 máx/mín
2
x y 
 

2
2
  xy 
  
  2 
2
 máx 
1   2
2
Distorções máxima e mínima
• Deformações associadas
     
1   2
2

x y
2
y
2
 cte

yx
 xy

 x   y
x
mín

máx
2
Distorções máxima e mínima
Deformações principais e distorções máxima e
mínima
mín

1

2
45o
máx
Defasagem entre as direções 1,  2, máx e mín
Círculo de Mohr para o estado plano de
deformação
•Os pares (x,’xý) formam
uma circunferência:
 x   y    xy    x   y    xy 

  x 
 
 
  
2   2   2   2 

2
2
2
•Centro
x y 
C
,0 
 2

•Raio
x y 


2
2
  xy 
  
  2 
2
2
Círculo de Mohr para o estado plano de
deformação
•
•
•
•
•
(x, xy) e ( y, yx)
1e2
1 e 2
 máx e  mín
Invariante:
 x   y  1   2   x   y  cte
Medidas de deformação
• Extensômetro
y
y
60o
120o
90o
x
0o
0o
45o
Delta
Retangular
• Disposição delta
 x  0
y 
 xy
o
(2 60o  2120o   0o )
3
2 3

( 60o  120o )
3
x
Medidas de deformação
• Disposição retangular
 x  0
o
 y   45
o
 xy  2 45  ( 0   90 )
o
o
o
Relações entre os estados planos de deformação e
tensão
• As direções principais de
deformação e de tensão
coincidem, pois:
 xy  G xy
• Relação entre deformações
e tensões principais (Lei de
Hooke):
E
(1   2 )
2
1 
E
2 
(1   2 )
2
1 
1 
Relação entre E, G e 
• Para um material isotrópico:
E
G
2(1   )
Exemplo
• Em um certo ponto de uma
peça de aço, as medidas
feitas através de “straingages” dispostos
retangularmente indicaram
0=-0,0005, 45=0,0002 e
90=0,0003. Admitindo que
E=200 GPa e = 0,3,
determine as tensões
principais no ponto
considerado.
Solução
• Determinação de x, y e xy:
 x   0º
 y   90 º
 xy  2 45 º   0 º   90 º 
 20,0002   0,0005  0,0003
 0,0006
• Deformações principais:
1, 2 
x y
2
x y 
 

2
2
  xy 
  
  2 
53
 5  3  6 


 
  
2
 2   2
1  0,0004
2
 2  0,0006
2
2
Solução
• Tensões principais:
1 
E
1   2 
2
1 
200.109

0,0004  0,3 0,0006  48,3 MPa
2
1  0,3
2 
E
 2  1 
2
1 
200.109

 0,0006  0,3  0,0004  105 MPa
2
1  0,3
• Direções principais:
 xy
1
1  arctg
2
x y
1
6
 arctg
2
53
1  18,4o e 1  108,4o