Resistências dos Materiais
TRANSFORMAÇÕES DE TENSÕES
Introdução Geral
Todas as fórmulas fundamentais para determinar das tensões em uma
seção de um elemento estrutural já foram bem estabelecidas em capítulos
anteriores:
• Fórmulas que permitem a determinação das tensões normais;
• Fórmulas que permitem a determinação das tensões de cisalhamento;
• Superposição ou composição de tensões.
1
No entanto, em certos casos, tensões normais e de cisalhamento podem agir
SIMULTANEAMENTE em um elemento de uma peça estrutural.
EX.: eixo circular que transmite torção com uma força normal (todos os seus
elementos com exceção dos situados no centro das seções) estão
SIMULTANEAMENTE submetidos a tensões de cisalhamento devido a torção
e a tensões normais, devido à força normal.
tensões normais e tensões de
cisalhamento
ESTADO DE TENSÃO
2
3
• O estado de tensão mais geral em um ponto
qualquer (Q) pode ser representado por 6
componentes:
 x , y , z
 xy ,  yz ,  zx
tensãonormal
tensãode cisalhamento
• O mesmo estado de tensão é representado
por um conjunto de componentes diferentes
se o sistema de eixos rotacionar.
4
Portanto, o principal objetivo dessa primeira parte dos estudo de
transformação
de
tensões
é
determinar
DE
QUE
MANEIRA
SE
TRANSFORMAM AS COMPONENTES DAS TENSÕES QUANDO OCORRE
UMA ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS.
5
Estado Plano de Tensão
Nossa dedução da lei de transformação das tensões se voltará principalmente
para o ESTADO PLANO DE TENSÕES
• O ESTADO PLANO DE TENSÃO ocorre quando
duas faces do elemento cúbico são livres de
tensões.
• Para o exemplo ilustrado, se adotarmos o eixo z
perpendicular a essas duas faces teremos:
 x ,  y ,  xy
e
 z   zx   zy  0.
6
• O estado plano de tensões ocorre numa
placa fina submetidas a forças atuando
no ponto central.
• O estado plano de tensões também ocorrem nas
três faces de um
elemento estrutural ou
componente de máquina, i.e., em algum ponto da
superfície não submetido a força externa.
7
A ideia é determinar as componentes de tensão normal e de cisalhamento,
referentes a rotação do cubo elementar, no plano.
8
• Considerar a condição para o equilíbrio de um
elemento prismático com faces perpendiculares ao
eixos x, y e x`
F
x
F
y
 0   x A   x A cos  cos   xy A cos sin 
  y A sin  sin    xy A sin   cos
 0   xy A   x A cos sin    xy A cos  cos
  y A sin   cos   xy A sin  sin 
• As equações podem ser reescritas para o campo de tensões:
 x 
 y 
 x  y
2
 x  y
 xy  
2


 x  y
2
 x  y
2
 x  y
2
cos 2   xy sen2
cos 2   xy sen2
sen2   xy cos 2
9
Direção e Intensidade da Máxima Tensão Normal
O interesse é geralmente dirigido à determinação dos maiores valores
possíveis das tensões normais (tensões principais) e os planos sobre os
quais ocorrem essas tensões (planos principais).
 x 
 y 
 x  y
2
 x  y
 xy  
2


 x  y
2
 x  y
2
 x  y
2
cos 2   xy sin 2
sin 2   xy cos 2
Estas equações se relacionam com
as equações paramétricas de uma
circunferência.
cos 2   xy sin 2
( x  xc ) 2  ( y  y c ) 2  R 2
onde
centro  ( xc ; y c )
raio  R
10
Se adotarmos um sistema de eixos coordenados e marcarmos o ponto M de
abscissa x’ e ordenada x’y’, para qualquer valor do parâmetro , vamos
sempre obter um ponto que se encontra em uma circuferência.
 x  y 

 x  y
2
  x ' 
   x ' y '  
2 
2


Fazendo
 x  y
 méd 
2
2
 x  y
R  
2

Tem  se
2

   2 xy

2

   2 xy

 x '   méd 2   2 x ' ý '  R 2
11
Ponto A =
máximo valor da
tensão
mínimo
tensão
normal.
Ponto B =
valor da
normal.
Para esses mesmos pontos, a tensão de
cisalhamento é nula.
 máx   méd  R
 min   méd _ R
 max,min 
tan 2 p 
 x  y
2
2 xy
 x  y
 x  y
 
2

2

   xy2

( define dois ângulos defasados de 90o )
12
Direção e Intensidade da Máxima Tensão de Cisalhamento
Ponto D e E = corresponde ao máximo valor
da tensão de cisalhamento.
  y 
2
   xy
 max  R   x
2


 x  y
t an 2 s  
( define dois ângulos defasados em 90o )
2 xy
2
E a tensão que corresponde à condiçãode t ensãode cisalhament o máximaé,
 méd 
 x  y
2
OBS: tg 2c é o inverso negativo de tg 2s
Os planos de máxima tensão de
cisalhamento formam ângulos de 45 com os
planos principais.
13
Exemplo 01
SOLUÇÃO:
• Encontrar a orientação para as tensões
principais:
tan 2 p 
Para
o
estado
de
tensão
mostrado, determine:
2 xy
 x  y
• Determinar as tensões máxima e mínima:
 max, min 
a) o plano principal;
b) a tensão principal;
c) a tensão de cisalhamento e a
correspondente tensão normal.
• Calcular
máxima
a
x  y
2
2
 x  y 
2
   xy
 
2


tensão
de
cisalhamento
2
 x  y 
2
   xy
 max  
2


x  y
 
2
14
Solução:
• Encontrar a orientação do elemento
das tensões principal,
2 xy
2 40
t an 2 p 

 1.333
 x  y
50   10
 x  50 MPa
 y  10 MPa
 xy  40 MPa
2 p  53.1
e
180o  53,1o
 p  26,6 o
e
90o  26,6 o
 p  26.6, 116.6
• Determinar as tensões principais
 max, min 
x  y
2
 20 
2
 x  y 
2
   xy
 
2


302  402
 max  70 MPa
 min  30 MPa
15
• Cálculo de tensão de cisalhamento
máxima
2
 x  y 
2
   xy
 max  
2



 x  50 MPa
 y  10 MPa
 xy  40 MPa
 max  50 MPa
302  402
 x  y
 50   10 
tan 2 s  
 

2 xy
2

40


2 s  - 36,87o e
 p  18,430
180o  36,87o
90o  18,43o
e
 s  18.4, 71.6
• A correspondência tensão normal é,
    méd 
 x  y
2

50  10
2
   20 MPa
16
Exemplo 02
Uma força horizontal P de 150lb é
aplicada
na
extremidade
D
da
e
de
alavanca ABD. Determine:
(a)
as
tensões
normal
cisalhamento em um elemento no
ponto H, possuindo lados paralelos
aos eixos x e y;
(b) os planos principais e as tensões
principais no ponto H.
17
Solução:
• Determinar uma força equivalente no
sistema no centro da seção transversal
passando por H
P  150 lb
T  150 lb 18 in   2.7 kip  in
M x  150 lb 10 in   1.5 kip  in
• Tensões normais e de cisalhamento em
H:
y 
1.5 kip  in 0.6 in 
Mc

1  0.6 in 4
I
4
 xy  
2.7 kip  in 0.6 in 
Tc

1  0.6 in 4
J
2
 x  0  y  8.84ksi  xy  7.96ksi
18
• Determinação dos planos principais e das tensões principais.
Planos Principais:
2 7,96
tan 2 p 

 1,8
 x   y 0   8,84
2 xy
2 p  61
180o  61o
e
 p  30,5 o
e
90o  30,5 o
Então
 p  30,5 o e 59,5 o
Tensões Principais
 max, min 
x  y
2
2
 x  y 
2
   xy
 
2


19
Ciclo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
O traçado do denominado círculo de Mohr é um método gráfico que pode ser
utilizado para determinar as tensões normais e de cisalhamento que atuam
num plano genérico, cuja normal faz um ângulo θ com a direção X,
20
Para a construção do círculo de Mohr segue-se o seguinte roteiro básico:
• Define-se o elemento com as tensões ,x, y e xy ;
• Adota-se o sistema de eixos ( ;  ) paralelos aos eixos xy;
• Marcam-se no sistema os pontos X = (x ; - xy ) e Y = (y ; xy ) ;
• Unem-se os dois pontos por uma reta que vai cortar o eixo σ no ponto C;
• Desenha-se o círculo de centro C e diâmetro XY.



(y ; xy )
(y ; xy )
(y ; xy )

(x , -xy )
C

(x , -xy )
C

(x , -xy )
21
 x'

 2
2



Fazendo
2x   y
(xméd
 xc )  ( y  y c ) 2  R 2
2
onde
2
 x(x; yy ) 2
centro
c
c   xy
R  
raio  R 2 
Tem  se


 x'   méd 2   2 x ' ý '  R 2
centro = ( méd ; 0)
 med 
 x  y
2
 x  y
R  
2

 méd 
 x  y
2
2

   xy2

22
Informações obtidas apartir do traçado do Círculo de Mohr
Planos Principais e Tensões Principais
Normais:
 max,min   med  R
t an 2 p 
2 xy
 x  y
Cisalhamento:
 máx  R
23
• Com o Círculo de Mohr definido, outros
estados
de
tensões
em
outras
orientações podem ser descrito.
• Para o estado de tensões um ângulo 
com relação aos eixos xy, constrói-se um
novo diâmetro x’y’ com ângulo de 2
com os eixos xy.
• As
tensões
cisalhamento
normal
são
e
de
obtidas
das
coordenadas X’Y’.
24
• Círculo de Mohr para carregamento concêntrico axial
x 
P
,  y   xy  0
A
 x   y   xy 
P
2A
• Círculo de Mohr para carregamento de torção
Tc
 x   y  0  xy 
J
x y 
Tc
 xy  0
J
25
Exemplo 03
Para o estado de tensão mostrado, determine:
a) o plano principal;
b) a tensão principal;
c) a tensão de cisalhamento e a correspondente tensão normal.
26
SOLUÇÃO:
• Construção do círculo de Mohr
 med 
 x  y

50   10  20 MP a
2
2
CF  50  20  30 MP a FX  40 MP a
R  CX 
302  402
 50 MP a
• Tensões principais
 max  OA  OC  CA  20  50
 max  70 MPa
 max  OB  OC  BC  20  50
 min  30 MPa
• Planos principais
FX 40

CF 30
2 p  53.1
tan 2 p 
 p  26.6
27
• Tensão máxima de cisalhamento
 s  71.6
 max  R
 
 max  50 MPa
   20 MPa
med
28
Exemplo 04
Determinar, para o estado plano
de tensão indicado:
a) os planos principais e as
tensões principais;
b) as componentes de tensões
que se exercem no elemento
obtido rodando-se o elemento
dado de 30º, no sentido horário
SOLUÇÃO:
• Construção do circulo de Mohr
 med 
R
 x  y
2

100  60
 80 MP a
2
CF 2  FX 2

202  482
 52 MP a
29
• Tensões e plano principais
XF 48

 2.4
CF 20
2 p  67.4
tan 2 p 
 max  OA  OC  CA
 max  OA  OC  BC
 80  52
 80  52
 max  132 MPa
 min  28 MPa
30
•Componentes de tensões após rotação
de 30º
Os pontos X’e Y’, que correspondem as
tensões no elemento girado de 30º, são
obtido girando XY, no sentido antihorário de 2=60o
  180  60  67.4  52.6
 x  OK  OC  KC  80  52 cos 52.6
 y  OL  OC  CL  80  52 cos 52.6
 xy  KX   52 sin 52.6
 x  48.4 MPa
 y  111.6 MPa
 xy  41.3 MPa
31