Flexão em vigas
Tensões internas

Tensão média em  A : t m 
Tensão no ponto P:

t  lim
A  0
:
F
A
F
A


d F
dA
S
x
z
A
y
F
S
x
z
A
y
F




Decomposição segundo o referencial: t  t x  t y  t z
As tensões passam a ser conhecidas pelos valores algébricos:

tx  

ty 
tensão normal, tração (+) compressão (-)
tensões tangenciais ou de cisalhamento (de
corte)
Quando não houver confusão os índices
podem ser abandonados.

xy

tz  

x
xz
Unidades de tensão:
Tensão é força por unidade de área (FL-2)
No sistema técnico: (mkfs): kgf/cm2
No SI: 1Pa=1N/m2
1kPa=103 Pa
1MPa=106 Pa
1GPa =109 Pa
1 kgf/cm2=0,0981 MPa e 1MPa = 10,2 kgf/cm2
A  área seção
transversal
L
F
F
L + L
 
F
A
ε
ΔL
L
Ensaio de tração
Lei de Hooke
  Eε
Flexão em vigas
P
P
A
B
C
D
b
a
a
P
P
P
+
P
0,0
(Q)
_
//
P
-
P
(M)
Pa
Pa
Flexão em vigas
• Mecanismo de deformação
L
M
Comprimento < L
M
Comprimento > L
Flexão em vigas
Comprimento < L
M
M
Comprimento > L
max
(compressão)
h
b
x
ex
max (tração)
Os traços longitudinais dão uma idéia da deformação das fibras
longitudinais e do eixo. Como eles assumem um aspecto curvo, o mesmo
acontece com as fibras longitudinais e com o eixo.
Flexão em vigas
M
Comprimento < L
M
Comprimento > L
Os traços transversais dão uma idéia da deformação das seções transversais.
Como eles permanecem retos e perpendiculares aos longitudinais, admite-se
que as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo. Elas sofrem
rotações em torno de um eixo perpendicular ao eixo de solicitação
h
b
Superficie neutra
A tensão normal x e a deformação específica ex variam ao longo da
altura h da seção, sendo máximas nos bordos. Ao longo da dimensão b, x
e ex são constantes. Observa-se que existe uma camada de fibras que
mantêm o comprimento L. Não são alongadas nem comprimidas, pois x e
ex são nulos. No estado neutro estas fibras estão em um mesmo plano
horizontal conhecido como superfície neutra. A interseção da superfície
com uma seção é a linha neutra (LN).
Eixo de solicitação (ES): é a interseção do plano das cargas com a seção transversal
M
ES
h
b
Superficie neutra
Flexão em vigas
M
Comprimento < L
M
Comprimento > L
Hipóteses básicas:
• Pequenas deformações
• É válida a Lei de Hooke – comportamento elástico linear (deformações
proporcionais às tensões) =Ee
•Os traços transversais dão uma idéia da deformação das seções
transversais. Como eles permanecem retos e perpendiculares aos
longitudinais, admite-se que as seções permanecem planas e
perpendiculares ao eixo. Elas sofrem rotações em torno de um eixo
perpendicular ao plano de solicitação.
Posição dos eixos
x
h
z
σ
M
Jz
b
y
y
Exercícios
1 - Calcular as tensões máximas de tração e compressão da
viga, cuja seção transversal está representada ao lado. Dado
P=700 kgf.
P
P
4 cm
z
x
2 cm
A
B
50 cm
C
50 cm
D
y
50 cm
3 cm
3 cm
3cm
Exercícios
2 - Dimensionar a viga abaixo
2
Dados:  t  1000 kgf / cm
 c  600 kgf / cm
4 tf
A
10 tf
B
2
10 tf
C
4 tf
D
E
a
F
3,6a
3,6a
9a
200
200
400
200
200
(cm)
0,8a
Exercícios
3
Exercícios
4
Exercícios
5
Várias formas de seção transversal
• Maior eficiência
• Maior economia
 max  
s
i

ds
di
 max s 
M
 max i 
M
ds
J
J
di
• Caso 1   s   i  forma assimétrica da
distribuição das tensões em relação a LN  LN
mais próxima a fibra de menor 
Exemplo
M0
C
ds
0,5 0,5
di
t
• Caso 2   s   i  forma simétrica da
distribuição das tensões em relação a LN 
ds=di=h/2
Seções simétricas a LN  seções I
h
Seções retangulares de mesma
área  maior eficiência = maior h
b
2
w
bh
6

Ah
6
A  bh
D
L
D3
AD
w

0,125
AD
32
8
D
2
A
4
2
D
AL 
2

L0
,886
D
4
AL
w
0
,148
AD
6
3