Cap. 6. Definição e métodos de resolução do problema de valores de fronteira 1. Pressupostos 2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear 2.1 Condições no interior 2.2 Condições de fronteira 2.3 Tipos dos problemas de elasticidade 2.4 Condições iniciais 2.5 Desvantagens da formulação clássica 3. Métodos de resolução do problema de elasticidade 3.1 Método dos deslocamentos 3.1 Método das forças 4. Resolução dos problemas simples 5. Princípio de Saint-Vénant 1. Pressupostos: análise fisicamente linear Ou seja material linearmente elástico análise geometricamente linear Análise linear lento e gradual aumento das cargas Análise estática ou seja a teoria dos pequenos deslocamentos, que implica: (i) a teoria das pequenas deformações, ou seja a linearidade de deformações em função de derivadas dos deslocamentos (ii) não se distingue a forma inicial da final do MC Materiais não lineares ainda para peq. deformações: betão Elementos estruturais não lineares ainda para peq. deformações: cabos Caso clássico de análise não linear: problema de contacto A análise com os pressupostos do slide anterior ou seja a análise linear estática costuma-se designar o problema de elasticidade linear que faz parte do conjunto dos problemas de valores de fronteira 2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear 2.1 Condições no interior O problema de elasticidade define-se da seguinte maneira: Encontrar campos de deslocamentos (3 componentes), de deformações (6 componentes) e de tensões (6 componentes) para as quais as 15 equações fundamentais (3 tipos) 3 Equações de equilíbrio u f 0 6 Equações constitutivas C 6 Equações deformações - deslocamento T V sejam satisfeitas em cada ponto interior do MC, x V 2.2 Condições de fronteira Igualmente os campos das entidades incógnitas têm que satisfazer as condições de fronteira Geométricas u u 0 t n p Estáticas 0 em cada ponto da superfície do MC, nomeadamente geométricas na parte da fronteira e estáticas na parte da fronteira S xSp xSu A “necessidade” das condições de fronteira é a consequência do facto, que as equações fundamentais são diferenciais Mais é válido Su Sp S Su Sp Ø de facto os conjuntos poderão ser sobrepostos desde que se relacionam às diferentes componentes Superfícies sem carga e sem deslocamentos impostos fazem parte da superfície Sp com a carga t 0 2.3 Tipos dos problemas de valores de fronteira Sp S Su S Sp Ø & Su Ø 1º problema de valores de fronteira 2º problema de valores de fronteira problema de valores de fronteira misto 2.4 Condições iniciais Habitualmente assume-se o estado inicial sem carga, sem tensões e sem deformações, mas igualmente podem-se estudar casos com um campo de tensões iniciais imposto, ou com um campo de deformações iniciais imposto, que podem corresponder às deformações térmicas 2.5 Desvantagens da formulação clássica Exige-se demasiada continuidade, que restringe o número dos problemas que se podem resolver A tensão tem que ser contínua incluindo as primeiras derivadas (e. equilíbrio), que implica a deformação contínua incluindo as primeiras derivadas (e. constitutivas) e os deslocamentos contínuos até as segundas derivadas (e. deform. – deslocam.) Quando é preciso implementar as condições de compatibilidade, os deslocamentos têm que ter as derivadas de terceira ordem contínuas, o que aumenta a continuidade das tensões e das deformações até segundas derivadas 3. Métodos de resolução do problema de elasticidade incógnita básica: 3.1 Método dos deslocamentos f 0 T u u C C f 0 C T u f 0 Equações de Lamé = condições de equilíbrio em termos de deslocamentos u v w Gu f x 0 Exemplo da primeira equação de 3 G x x y z + condições de fronteira em termos de deslocamentos geométricas u u x Su 0 C t nˆ p0 T nˆ C p0 u nˆ C T u p0 xSp estáticas Gabriel Lamé, 1795-1870 Resolvendo: u u T Não são precisas as condições de compatibilidade C 3.2 Método das forças incógnita básica: Ponto de partida: Condições de compatibilidade Podem-se escrever na forma: onde 2 0 2 Eugenio Beltrami, 1835-1900 é uma matriz de operadores D D 0 2 condições de equilíbrio, reordenação 6 Equações de Beltrami-Michell = condições de compatibilidade em termos de tensões Exemplo da primeira equação do primeiro bloco de 3 2 f x 1 f x f y f z 1 x 2 3m 21 x x 1 x y z Exemplo da primeira equação do segundo bloco de 3 f y f z 2 1 xy 3m 1 xy z y + condições de fronteira em termos de tensão (difícil exprimir desta maneira as condições geométricas) Resolvendo: D u pela integração do campo de deformação que é já compatível John-Henry Michell (1863 - 1940) 4. Resolução dos problemas simples Existe apenas o número finito dos materiais distintos, igualmente o número de interfaces entre os materiais diferentes é finito Há possibilidade de assumir a distribuição das tensões e das deformações uniforme em cada material distinto que forma o MC Como consequência o campo de deslocamento é linear Aplicam-se apenas as cargas normais e o campo de temperatura Como consequência desenvolvem-se apenas as componentes normais das tensões e das deformações Resolução a partir das condições de fronteira Interfaces Componente normal tensão deformação perpendicular igual diferente paralela diferente igual 5. Princípio de Saint-Vénant Cargas estaticamente equivalentes cargas cujas resultantes (força - binário) são iguais na secção transversal de aplicação Os efeitos locais na zona de aplicação de cargas diminuem rapidamente com a distância, por isso as cargas aplicadas na realidade podem ser substituídas pelas cargas estaticamente equivalentes P P/4 p P/A Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, 1797 - 1886 P/2 P/2 Distribuição da tensão normal uniforme Excepção: algumas cargas concentradas aplicadas em cascas
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