Cap. 6. Definição e métodos de resolução do problema
de valores de fronteira
1. Pressupostos
2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear
2.1 Condições no interior
2.2 Condições de fronteira
2.3 Tipos dos problemas de elasticidade
2.4 Condições iniciais
2.5 Desvantagens da formulação clássica
3. Métodos de resolução do problema de elasticidade
3.1 Método dos deslocamentos
3.1 Método das forças
4. Resolução dos problemas simples
5. Princípio de Saint-Vénant
1. Pressupostos:

análise fisicamente linear
Ou seja material linearmente elástico
análise geometricamente linear
Análise linear
lento e gradual aumento das cargas
Análise estática

ou seja a teoria dos pequenos
deslocamentos, que implica:
(i) a teoria das pequenas deformações,
ou seja a linearidade de deformações em
função de derivadas dos deslocamentos
(ii) não se distingue a forma inicial
da final do MC
Materiais não lineares
ainda para peq. deformações: betão
Elementos estruturais não lineares
ainda para peq. deformações: cabos
Caso clássico de análise não linear:
problema de contacto
A análise com os pressupostos do slide anterior ou seja a análise linear estática
costuma-se designar o problema de elasticidade linear que faz parte do
conjunto dos problemas de valores de fronteira
2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear
2.1 Condições no interior
O problema de elasticidade define-se da seguinte maneira:
Encontrar campos de deslocamentos (3 componentes), de
deformações (6 componentes) e de tensões (6 componentes)
para as quais as 15 equações fundamentais (3 tipos)
3 Equações de equilíbrio
    u
  f   0
6 Equações constitutivas
  C 
6 Equações deformações - deslocamento
T
V
sejam satisfeitas em cada ponto interior do MC,
x V
2.2 Condições de fronteira
Igualmente os campos das entidades incógnitas
têm que satisfazer as condições de fronteira
Geométricas
u  u 
0
t   n  p 
Estáticas
0
em cada ponto da superfície do MC,
nomeadamente geométricas na parte da fronteira
e estáticas na parte da fronteira
S
xSp
xSu
A “necessidade” das condições de fronteira é a consequência
do facto, que as equações fundamentais são diferenciais
Mais é válido
Su  Sp  S
Su  Sp  Ø
de facto os conjuntos poderão ser
sobrepostos desde que se relacionam
às diferentes componentes
Superfícies sem carga e sem deslocamentos impostos fazem
parte da superfície
Sp
com a carga
t  0
2.3 Tipos dos problemas de valores de fronteira
Sp  S
Su  S
Sp  Ø & Su  Ø
1º problema
de valores de fronteira
2º problema
de valores de fronteira
problema de valores
de fronteira misto
2.4 Condições iniciais
Habitualmente assume-se o estado inicial sem carga, sem tensões e
sem deformações, mas igualmente podem-se estudar casos com um
campo de tensões iniciais imposto, ou com um campo de deformações
iniciais imposto, que podem corresponder às deformações térmicas
2.5 Desvantagens da formulação clássica
Exige-se demasiada continuidade, que restringe
o número dos problemas que se podem resolver
A tensão tem que ser contínua incluindo as primeiras derivadas (e. equilíbrio), que
implica a deformação contínua incluindo as primeiras derivadas (e. constitutivas)
e os deslocamentos contínuos até as segundas derivadas (e. deform. – deslocam.)
Quando é preciso implementar as condições de compatibilidade, os
deslocamentos têm que ter as derivadas de terceira ordem contínuas, o que
aumenta a continuidade das tensões e das deformações até segundas derivadas
3. Métodos de resolução do problema de elasticidade
incógnita básica:
3.1 Método dos deslocamentos
  f   0
  T  u
u
  C 
 C  f   0
 C T  u f   0 Equações de Lamé
= condições de equilíbrio em termos de deslocamentos
  u v w 
  
  Gu  f x  0
Exemplo da primeira equação de 3   G 
x  x y z 
+ condições de fronteira em termos de deslocamentos
geométricas
u  u  x Su
0
  C 
t  nˆ    p0 
T
nˆ  C   p0 
    u
nˆ  C T  u  p0  xSp
estáticas
Gabriel Lamé, 1795-1870
Resolvendo:
u
    u
T
Não são precisas as
condições de compatibilidade
  C 
3.2 Método das forças incógnita básica:

Ponto de partida: Condições de compatibilidade
Podem-se escrever na forma:
onde
 
2
    0
2
Eugenio Beltrami, 1835-1900
é uma matriz de operadores
  D 
  D   0
2
condições de equilíbrio, reordenação
6
Equações de Beltrami-Michell
= condições de compatibilidade em termos de tensões
Exemplo da primeira equação do primeiro bloco de 3
2
f x
1    f x f y f z 


1   x  2 3m   21     


x
x
1    x y z 
Exemplo da primeira equação do segundo bloco de 3
 f y f z 
2
1   xy 
3m   1     
xy
 z y 
+ condições de fronteira em termos de tensão
(difícil exprimir desta maneira as condições geométricas)
Resolvendo:

  D 
u pela integração
do campo de deformação que é já compatível
John-Henry Michell (1863 - 1940)
4. Resolução dos problemas simples
 Existe apenas o número finito dos materiais distintos, igualmente
o número de interfaces entre os materiais diferentes é finito
 Há possibilidade de assumir a distribuição das tensões e das deformações
uniforme em cada material distinto que forma o MC
Como consequência o campo de deslocamento é linear
 Aplicam-se apenas as cargas normais e o campo de temperatura
Como consequência desenvolvem-se apenas as componentes normais
das tensões e das deformações
Resolução a partir das condições de fronteira
Interfaces
Componente
normal
tensão
deformação
perpendicular
igual
diferente
paralela
diferente
igual
5. Princípio de Saint-Vénant
Cargas estaticamente equivalentes
cargas cujas resultantes (força - binário)
são iguais na secção transversal de aplicação
Os efeitos locais na zona de aplicação de
cargas diminuem rapidamente com a
distância, por isso as cargas aplicadas na
realidade podem ser substituídas pelas
cargas estaticamente equivalentes
P
P/4
p  P/A
Adhémar Jean Claude Barré
de Saint-Venant, 1797 - 1886
P/2
P/2
Distribuição da tensão normal uniforme
Excepção: algumas cargas concentradas aplicadas em cascas
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Capítulo 6