Departamento de Engenharia Civil e Ambiental
Centro de Tecnologia
Universidade Federal da Paraíba
Capítulo 10: Tensões e Deformações
Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Mecânica dos Solos I
Professor: Dr. Celso Augusto Guimarães Santos
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Tensoes Principais
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Tensões Principais
São de particular interesse em Mecânica dos
Solos as chamadas tensões principais.
Definida como a tensão normal sobre um
plano onde não há tensão de cisalhamento.
Estado plano de tensão
Muitos problemas que envolvem maciços
terrosos permitem considerar apenas s3 e s1,
reduzindo-os, assim, a problemas planos.
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A figura representa um ponto O dentro de uma
massa sujeita a esforcos, com OA o traço do
plano principal maior e OB o do menor.
Vejamos como determinar as tensões s e t
sobre qualquer plano normal à figura e
definido por sua inclinação a em relação ao
plano principal maior.
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B
A
a
a
a
O
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2a
2acosa
t ds =ssds
ds
=
sen
s
ds
a
cos
cos
a
+
–
s
ds
sen
sena
1
1
33
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As equações de equilíbrio das forças
s1  s3 s1  s3
s

cos 2a
2
2
s1  s3
t
sen 2a
2
Variação dos s e t para vários a
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Círculo de Mohr
Num sistema (s, t) traçando 3 semicírculos,
demonstra-se que o ponto representativo do
estado de tensão sobre qualquer seção
inclinada em relação aos planos principais,
situa-se na área hachurada limitada pelos 3
semicírculos.
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Figura 10-13. Ciclo de Mohr
Figuras 10-16. Quando s3 = 0
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Figuras 10-17. Quando s1 = s3
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Critério de Ruptura
Vários são os critérios, mas trataremos
apenas dos critérios de Mohr e MohrCoulomb.
Critério de Mohr
Supõe que a tensão de cisalhamento t = tr,
correspondente à ruptura do material, ou seja,
ao início do seu comportamento inelástico, é
função unicamente de s sobre o plano de
ruptura: tr = f(s)
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Esta equação é graficamente representada
pela curva intrínseca de ruptura AB, obtida
traçando-se a envoltória dos círculos de Mohr
correspondente a pares de tensões principais,
s1 e s3, causadoras da ruptura.
Para que o corpo resista, é suficiente que o círculo de
Mohr (C’), correspondente às tensões principais atuantes,
fique no interior da curva intrínseca.
Se o círculo (C’) é tangente em T, à curva (AB), há
possibilidade de ruptura, por deslizamento, ao longo do
plano que forma um ângulo a com o plano principal maior
pois, nesse caso, a tensão de cisalhamento atingiu a
resistência ao cisalhamento (t = tr)
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Equação de Coulomb
t = tr = c + s tg j
t = resistência ao cisalhamento
s = tensão normal ao plano de cisalhamento
c = coesão do solo
j = ângulo de atrito interno do solo
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Critério Mohr-Coulomb
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Critério Mohr-Coulomb
2a = 90º + j
∴ a = 45º + j/2
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ND = NC + CD
NB = NC – BC
Notando que BC = CD = CT, dividindose membro a membro tem-se:
ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT)
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ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT)
Dividindo ambos os termos da fração do
segundo membro por NC, vem:
ND/NB = (1 + CT/NC)/(1 – CT/NC)
uma vez que: CT/NC = senj
si = c/tgj
Também: ND = si + s1 NB = si + s3 Nj = ND/NB
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Equação de Ruptura de Mohr
Nj = (1 + senj)/(1 – senj) = tg2(45 + j/2)
s1 = s3Nj + 2c √Nf