Matrizes
1. Matriz real
1.1. Definição
Sejam m  1 e n  1 dois números inteiros.
Uma matriz real de ordem m  n é um conjunto
de m.n números reais, distribuídos em m linhas e n colunas, formando uma tabela que se indica em geral por
 5 9 6  2
Exemplo: A matriz A  

3
0  1 1
é uma matriz real 2  4. Logo, A  M2  4(R).
2. Igualdade de matrizes
2.1.Definição
Sejam A  (aij)m  n e B  (bij)m  n duas matrizes reais.
Diz-se que as matrizes A e B são iguais, e escreve-se A
 B, se, e somente se, aij  bij , i  {1, 2, 3, ..., m} e j
 {1, 2, 3, ..., n}.
Observações:
O.1) Cada um dos números reais aij de uma matriz A
 (aij)m  n é chamado elemento, entrada ou termo da
matriz A. O termo aij é o termo geral de A.
O.2) Se A  (aij)m  n é uma matriz, então:
 A é chamada matriz quadrada de ordem n se, e
somente se, m  n.
 A é chamada matriz retangular se, e somente se,
m  n.
 A é chamada matriz linha se, e somente se, m  1
e matriz coluna se, e somente se, n  1.
O.3) Indicaremos por Mm  n(R) o conjunto das matrizes reais de ordem m  n e por Mn(R) o conjunto das
matrizes reais quadradas de ordem n.
O.4) Uma matriz de ordem 1  1, (a11), se identifica
com o número real a11.
O.5) As matrizes em geral são indicadas pelas letras
maiúsculas do nosso alfabeto.
O.6) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, então
definimos:
 diagonal principal de A: é a seqüência de termos da
matriz A que apresentam mesmo índice, ou seja,
(aij | i  j)  (a11 , a22 , a33 , ..., ann);
 x  1 e
Exemplo:
y  3 , já que sen

e log 2 2  1 .
2
3. Algumas matrizes especiais
3.1. Matriz nula
A matriz nula m  n, indicada por Om  n é tal que aij  0,
i  {1, 2, 3, ..., m} e j  {1, 2, 3, ..., n}.
Exemplos:
a)
(matriz nula de ordem 2).
 0 0 0
b) O 2  3  
 (matriz nula de ordem 2  3).
 0 0 0
3.2. Matriz identidade
A matriz identidade de ordem n, indicada por
0, se i  j
I n  (aij ) , é tal que aij   ij  
.
1, se i  j

diagonal secundária de A: é a seqüência de termos da matriz A tais que a soma de seus índices é
igual a n  1, ou seja, (aij | i  j  n  1)  (a1, n , a2,
n  1 , a3, n  2 , ..., an, 1).
Exemplos:
a) I 1  (1) (matriz identidade de ordem 1).
 1 0
b) I 2  
 (matriz identidade de ordem 2).
 0 1
1
 a  1
 2 x
Exemplo: Sendo A  
 ,
 e B
 2 b  22
 y 3 2  2
 1 0 0


c) I 3   0 1 0 (matriz identidade de ordem 3).
 0 0 1


 a  2 1 x
 .
temos A  B  
 2  y b  3  22
3.3. Matriz diagonal, triangular superior e
triangular inferior
 A é uma matriz diagonal se, e somente se, aij  0,
quando i  j.
 A é uma matriz triangular superior se, e somente se,
aij  0, quando i  j.
 A é uma matriz triangular inferior se, e somente se,
aij  0, quando i  j.
5.2. Multiplicação por escalar (multiplicação
de uma matriz por um número)
Dados a matriz A  (aij)m  n e um número real ,
o produto indicado por .A, é a matriz m  n cujo termo
geral é .aij , isto é:
 . a11 . a12 ... . a1n 


. a 21 . a 22 ... . a 2 n 
. A  
 ...
...
...
... 


 . a m1 . a m2 ... . a mn  m n
Observação: Podemos entender matriz diagonal como
uma matriz triangular superior e inferior.
4. Matriz transposta
4.1. Definição
Seja A  (aij)  Mm  n(R). A matriz transposta
de A, indicada por A t (ou A’), é a matriz n 
m A t  (bij ) , onde bij  aji, i  {1, 2, 3, ..., n} e j 
A operação (função) : R  Mm  n(R)  Mm 
que a cada par (, A) associa a matriz .A chama-se
multiplicação por escalar.
n(R)
{1, 2, 3, ..., m}.
Em outras palavras, denominamos matriz transposta de A à matriz n  m cujas colunas coincidem ordenadamente com as linhas de A.
Exemplo: Se
 4 4a

. A  4. A   4c 8
 4e 4 f

 1 2 3  4
Exemplo: Se A  
 , então
2  24
6 0 5
 1

2
t
A 
 3

 4
1 a

A  c 2
e f

6 

0 
5 

25 4  2
b

d e
3 3 3
  4 , teremos
4b 

4d  .
12  3 3
5.3. Subtração
Se A, B  Mm
A  B  A  ( B) .

n(R),
então definimos:
5. Operações com matrizes
5.1. Adição
Sejam A  (aij)m  n e B  (bij)m  n duas matrizes
quaisquer. Indicaremos por A  B e chamaremos soma
de A com B à matriz m  n cujo termo geral é aij  bij ,
Em outras palavras, definimos a diferença entre
as matrizes reais A e B, ambas de ordem m  n, como
sendo a soma da matriz A com a matriz oposta de Bi.
isto é:
Consideremos as matrizes A  (aij)m  n e B 
(bjk)n  t . O produto de A por B, indicado por A.B. é a
matriz m  t cujo termo geral é cik , onde:
 a11  b11

 a  b21
A  B   21
...

a  b
m1
 m1
a12  b12
a22  b22
...
am 2  bm 2
5.4. Multiplicação de matrizes
a1n  b1n 

... a2 n  b2 n 
...
... 

... amn  bmn  mn
...
cik 
n
a
ij . b jk
 ai1 . b1k  ai 2 . b2 k  ...  ain . bnk .
j 1
A operação (função) : Mm  n(R)  Mm  n(R) 
Mm  n(R) que a cada par de matrizes (A, B) associa a
matriz A.B é chamada multiplicação de matrizes.
A operação (função) : Mm  n(R)  Mm  n(R) 
Mm  n(R) que a cada par de matrizes (A, B) associa a
matriz A  B chama-se adição de matrizes.
2
Sendo assim, concluímos que a operação de
multiplicação de matrizes é distributiva em relação à
operação de adição de matrizes.
Observações:
a) Se A  (aij)m  n e B  (bij)t  k , então o produto A.B
existe se, e somente se, n  t (isto é, o número de colunas da matriz à esquerda deve ser igual ao número de
linhas da matriz à direita).
 0 1
 1 1
b) Se A  
 e B
 , temos:
 1 1
 0 1
XIV) A. I n  I m . A  A , para toda matriz A  (aij)m  n
(elemento neutro da multiplicação de matrizes).
XV) (1. A).B  A.(1.B)  1.( A.B) .
XVI) A.O nt  O mt e O pm . A  O pn , para toda ma-
1 2 
 0 1
 e B. A  
A.B  
 (verifique!)
 1 2
1 1 
Daqui segue que existem matrizes A e B tais
que A. B  B. A . Em outras palavras, a multiplicação ed
matrizes não é uma operação comutativa.
Se A e B são duas matrizes tais que A.B  B. A , então diremos que as matrizes A e B comutam ou ainda,
que A e B são comutáveis.
triz A  (aij)m  n .
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. A soma de todos os elementos da matriz A  (aij),
2  2, definida por aij  3i  2 j  1 , é igual a:
A) 0
6. Propriedades
Suponhamos que as matrizes A  (aij), B  (bij) e
C  (cij) são tais que as operações abaixo estejam definidas e que 1 , 2  R. Então valem as seguintes propriedades:
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
1
1 
2

2
02. Se a matriz  x
0
1  y  é simétrica, então o
 x y  3
1 
valor de x + y é:
A) 3
B) 1
C) 0
D) 2
E) 3
I) ( A  B)  C  A  ( B  C) , isto é, a adição de matrizes é associativa.
II) A  B  B  A , isto é, a adição de matrizes é comutativa.
III) Existe uma matriz O  Mm  n(R) tal que
A  O  O  A  A , A  Mm  n(R), isto é, a adição de
matrizes admite elemento neutro e é claro que este elemento é a matriz nula.
IV) Para toda matriz A  Mm  n(R), existe uma matriz
indicada por A, também de ordem m  n, chamada
matriz oposta de A, tal que A  (  A)  (  A)  A  O
(existência de oposto).
V) ( A t ) t  A e ( 1 . A) t   1 . A t .
03. Se uma matriz quadrada A é tal que At   A ela
é chamada antissimétrica. Sabe-se que M é antissimétrica e,
...
... 
4  a

M  a
b2
... 
 b
c
2c  8 33
Os termos a12 , a13 e a23 da matriz M valem respectivamente:
A) 4, 2 e 4.
D) 2, 4 e 2.
B) 4, 2 e 4.
E) N.D.A.
C) 4, 2 e 4.
 4
VI) ( A  B) t  A t  B t .
VII)  1 .( 2 . A)   2 .( 1 . A)  ( 1 .  2 ). A .
VIII) ( 1   2 ). A   1 . A   2 . A .
IX)  1 .( A  B)   1 . A   1 . B .
X) 1. A  A .
XI) ( A. B). C  A.( B. C) , isto é, a multiplicação de
matrizes é associativa.
XII) ( A. B) t  B t . A t (cuidado com a ordem, pois a
multiplicação de matrizes não é comutativa).
XIII) a) A.( B  C)  A. B  A. C , isto é, a multiplicação de matrizes é distributiva à esquerda em relação à
adição de matrizes.
b) ( B  C). A  B. A  C. A , isto é, a multiplicação de
matrizes é distributiva à direita em relação à adição de
matrizes.
1
 3  2
 , a matriz trans4 
 e Q  
04. Se P  
  2 3
5
posta de P – 2Q é:
 10 8 

A) 
  3 11
  2  12

B) 
 5 
 5
 1  7

C) 
1 1
  2 8

D) 
  5 5
 10 11

E) 
 3 8 
3
05. Dadas as matrizes:
 2  2
D) x  y  z  w  1
E) x  y  z  w  11
D) 

1 1 
  1 2
0 0 
B) 

0 0 
E) 

 1 0
1 0
06. Considere as matrizes
 2 3 1

A  
 1 1 7 
C) 

0 1 
e
1
C) 22
D) 23
2 
 , então A2  2 A  11I , onde
12. Se A  
 4  3
 1 3


B   0 4  . A soma dos elementos da primeira
 2 2


linha de A.B é:
A) 20
B) 21
 4 2
A) 

0  2
sendo 3 A  B  C , então
A) x  y  z  w  11
B) x  y  z  w  10
C) x  y  z  w  0
 2 0
1 2
11. Se M  
 e N  1 1 , então MN  NM é:


0 1 
6 
x  y
 x
 4
x y
 e C  
 , B  
 e
A  
3 
  1 2w 
z  w
 z w
1
I  
0
1
A) 
0
E) 24
07. Se A é matriz 3  4 e B uma matriz n  m, então:
1
B) 
0
0
C) 
0
A) existe A  B se, e somente se, n  4 e m  3 .
B) existe AB se, e somente se, n  4 e m  3 .
C) existe AB e BA se, e somente se, n  4 e m  3 .
D) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se,
A = B.
E) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
0
 , é igual a:
1 
0
D) 
0
0
E) 
1
2

0 
0

0 
1

0 
1

0 
0

0 
  1 2
13. Se a matriz A é igual a 
 , então a matriz
  2 3
08. Considere as matrizes:
( At ) 2 é igual a:
1) A  (aij), 3  4, definida por aij  i  j ;
1) A  (aij), 4  7, definida por aij  i  j ;
  3  4
A) 
5 
4
  3 4
B) 

 4 5
1 4 
C) 

4 9
2) B  (bij), 7  9, definida por bij  i ;
14. São dadas as matrizes A  (aij) e B  (bij), quadra-
2) B  (bij), 4  3, definida por bij  2 i  j ;
3) C  (cij), C  A  B .
O elemento c32 é:
A) 7
B) 4
C) 2
D) 0
E) 2
09. Considere as matrizes:
3) C  (cij),
.
O elemento c63
A) 112 B) 18 C) 9
 cos15o
10. Se A  
 3
A) 
 1
 3
B) 
 1
 3
C) 
 1
o
 sen 15
 1 
3 
1 
3 
 1 
 3 
 3 4
D) 

4 5
1
E)  
1
das de ordem 2 com aij  3i  4 j e bij  4i  3 j . Se
D) 112
C  A  B , então C 2 é igual a:
1 0
A) 

0 1 
E) não existe
 sen 15o 
 ,então 2(A.A) é
cos15o 

D) 


E) 

 1 0 
B) 

 0  1
0 1 
C) 

1 0
1  3 
3
1 
1
3 
3  1 
 0  1
D) 

 1 0 
1 1
E) 

1 1
4
 1 a   2 3
1
 4 3
  
 .
 obtemos 
15. Multiplicando 
b 2  1 0
 2 0
que AX  3 X , é:
 3
 3
A)  
B)  
 2
1
O produto dos elementos a e b da primeira matriz é:
A) 2
B) 1
C) 0
D) 1
E) 6
 a b 1
1  1 0
e B
 matri
 1 1 a 
0 1 0 
 3 4
zes tais que A.B t  
 , então a e b valem, res 2 1 
pectivamente:
A) 7 e 4 B) 7 e 3 C) 6 e 4 D) 6 e 3 E) 2 e 2
16. Sejam A  
 2
D)  
1
1
E)  
 3
 3 1
 1 0
e C

,
1
  1 2
então a matriz A2  B  C é igual a:
  2 2
 3 1
A) 
D) 


 2 3
 3 0
 4 1 
 3  1
B) 
E) 


 3  1
 3 0 
 1 1 
C) 

 1 4
podemos verificar que a igualdade AB  BA :
A) é válida x.
B) é válida se x  0 .
C) é válida se x  1 .
D) é válida só para x  1.
E) não se verifica para nenhum valor de x.
24. Dada a matriz A  (amn)22 , onde amn  2 nm , a
soma de todos os elementos que compõe a matriz A 2 é
igual a:
25
81
A)
B) 10
C) 9
D)
E) 6
4
4
18. O valor de x para que o produto das matrizes
 2 x 
1  1
e B
A
 seja uma matriz simétrica

 3 1
0 1 
é:
A) 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
25.
Se A e B são matrizes de tipo
2  3, qual das seguintes operações não pode ser efetuada?
A) A  B B) At  B t C) ( A  B).B t D) B t . A E) A.B
2
1 


19. Se A e B são matrizes tais que A  1  e B  2 .
 x 
1 
Então a matriz Y  At .B será nula para:
A) x  0 B) x  1 C) x  2 D) x  3 E) x  4
26. A matriz X, tal que AX  B , onde:
2

1  
 1  1
3  , é:
 e B  
A  
1
2
1




2  
3

20. Seja x um número real. Se as matrizes A, B e C são
 1 0
A) X   1 1 


 3 3
1 

0

3 
B) X  
1  1 


3

1

1  
3
C) X  
1
0



3 

escolhidas entre as listadas abaixo:
1
   2  1 0 1

(x 1) ,   1 ,   , 
 x    x   0 x 0
 
e se AB  C é uma matriz nula, então x é igual a
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1 1
 4
e B .A

2 3
 4
matriz X tal que X  AX  B tem como soma de
21. Dadas as matrizes: A  
D) 4
0
C)  
1
0 1 
 ,
 e B  
17. Dadas as matrizes: A  
1 x
1 1 
seus elementos o valor
A) 2
B) 2
C) 0
 x
23. Se A  
, B   2

1 0
0 1
1 x 
3 
 , uma matriz coluna X    , tal
22. Se A  
 4  3
 y
E) 4
5
1 0 
1
D) X   1
 

3
3
1 

1

3 
E) X  
0  1 


3

 1
1 1 2
34. A  
e B   0  ,calcular A.B.

2 1 1 
 1 
1
  1
1
A)  
B)  
C)  
 1
1
1
 2
 x
, B  e

1 
 y
1
27. Sejam as matrizes A  
 3
  2
C    . A igualdade A.B  C é verdadeira se:
1 
A) x  y  2
D) y  2 x
B) x  2 y
E) y  x  2
C) xy  0
0  1
0 0 
e B
,

0 0 
0 1 
35. Dadas as matrizes A  
 x y  3 5  1 0
  
  
 , o valor de
 z w 1 2  0 1 
28. Sabendo que 
yz é:
A) 6
B) 5
C) 1
D) 5
p
conclui-se que a matriz:
A) AB é nula.
B) A2 é nula.
C) A  B é nula.
E) 6
 2
1
y
A) 6
B) 4
C) 2
x y
1 2
matriz 
pela matriz 
 é comutativo se:

0 1 
0 1 
A) x  1 e y  0 .
B) x  2 e y  0 .
C) x  1 e para todo y  R.
D) x  5 e para todo y  R.
E) x  10 e y  0 .
E) 32
7
6 
16
a
igualdade:
38. São matrizes respectivamente simétrica e transpos1  6 7
 :
ta de 
 4 0 2
 1 6  7 
 e
A) 
  4 0  2
 1 4

  1
B)   6 0  e 
 7 2   4


7
E)
10
D) 3
32. Sabe-se que as ordens das matrizes A, B e C são,
respectivamente, 3  r, 3  s e 2  t. Se a matriz
( A  B).C é de ordem 3  4, então r  s  t é igual a:
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
1 3   x 
 .
 2 4  y 
 x  3y 
x
B) 
2 x
x
C) 
2 x
3y
4 y 
x
 4 0 2

 .
1  6 7
6  7
.
0  2 
 1
 1 6  7  
 e   6
C) 
  4 0  2  7

 2 0 4  1 7
 e 
D) 
7  6 1 4 2
33. Ache D  
A) 

2 x  4 y 
1
37. Assinale a proposição verdadeira: o produto da
31. M  
 , N  12 x  4 e P  23 13

10 y 



são matrizes
que
satisfazem
3
2
M  N  P ; logo, y  x é:
2
3
2
então AB  BA é igual a:
2  3
3 1 
0 0 
1 7 
1 0
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 





5 0 
2 7 
0 0 
9 1 
0 1 
30. Dada a equação matricial:
8
0
36. Dadas as matrizes A  
 e B    1 0 ,
1  4


M.T é a matriz nula 2  1, então p.q é igual a:
A) 12 B) 15 C) 16 D) 18
E) n.d.a.
x
D) BA é não nula.
E) B2 é nula.
3
 e T    . Se
29. Sejam as matrizes M  
 3  1
q
 x 2  0 1  4 8 

  
  
 ,
 1 3   2 3  y z 
o valor do produto xyz é igual a:
A) 80
B) 150 C) 120
D) 60
 0 1 2 
E) 

 2 1  1
0 1 2
D) 

2  1 1 
4 y
D) 

3 y 2 x 
E) [2 xy]
 7 2  2 7 

 

E)   6 0  e  0  6  .
 1 4  4 1 

 

 3y
 4 y 
6
4

0 .
2 
 6
.
0 
39. De uma matriz quadrada M, pode-se extrair um
45. Se A é uma matriz do tipo 2  3 e AB é do tipo 2 
total de 100 matrizes de 2a ordem. O número de colunas da matriz M é:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
5, então B é uma matriz do tipo:
A) 2  5 B) 3  3 C) 5  3
40. A matriz oposta da matriz 2  2, definida por
46. Se A  
 2

aij  i  2 j , i  j
é:


aij  i  2 j , i  j
 1 5 

A) 
 4  2
 1 4 

B) 
 5  2
 2 4 

C) 
 5  1
A.B  C , então log4 x é:
 1  5

D) 
 4 2 
 5 1 

E) 
 4  2
41. Dada a equação matricial
2
A  
3
4
A) 
7
  2x 1 x 
,
0  1
A) 0
AX  B , onde
1
2
 2 1   2  x 
      
C) 
 3  1  1   y 
48. Dada a matriz A  (aij)22 tal que:

 
3 
 4

E) 
  7  4
aij  sen  i  se i  j
2 

a  cos j  se i  j
 ij
então A2 é a matriz:
 1  1
A) 

1 0
0  1
B) 

1 1 
C) 2, 2, 4 e 2.
0
D) 
 1
0
E) 
 1
1
1
1
 1
 1 1
C) 

 0 1
D) 2, 2, 4 e 2.
1 2
 2
 x
 , B    e X    , determine X,
49. Se A  
0 1
 y
1
tal que AX  B .
0
1
A)  
B)  
1
0
C) m  s D) n  s E) m  r
1 2 1
44. O produto matricial AB, onde A  
 e
3 1 2
1
B  2
3
8
A) 
11
E)
 2 3   2  x 
      
D) 
 1  1  1   y 
 2 3   x  1
      
E) 
 1  1  y   2 
 2 1  x   1 
      
A) 
  1 3  y   2 
 2 1   x   2
      
B) 
 3  1  y   1 
43. Seja A uma matriz de ordem m  n e B uma matriz
de ordem r  s. Para que o produto A  B exista é necessário que:
A) m  r B) n  r
D) não existe.
al:
de a, b, c e d, nessa ordem, são:
1

2
1
B) 2, 2, 4 e  
2
C) 1
2 x  3 y  1
tem representação matricix  y  2
a b
 1 1   0 0
  2.
  
 , os valores
42. Se 
 c 1
  2  d   0 0
A) 1, 1, 2 e
B) 2
47. O sistema 
1
 1 2
 e B  
 , a matriz X será:
2
  2 1
5 
  4 3


D) 
 4
  7 8
5 
 4

B) 
  7  4
4 3 

C) 
 1  4
D) 3  5
 2 
 
 20 
B    4  e C    e
  6
 10 
 
0
C)  
 1
  1
D)  
0
0
E)  
0
50. A matriz transposta da matriz quadrada A  (aij)
de ordem 2 com aij  i j  2 , 1  i  2, 1  j  2, é:
2
1  vale:
1 
5
7 5 
8 5
9 3
1 2 
B) 
C) 
D) 
E) 





9
6 4
1 9
7 8
4 9
 2 4

 4 6
C) 
B) 
 3 3

 6 4
D) 
7
3 4

3 6
 3 4

 4 6
A) 
 2 3

 4 6
E) 
 2  1
 , a matriz B, tal que
51. Dada a matriz A  
 1  1
1 0
 , vale:
AB  I , sendo I  
0 1
0  1
A) 
D)

1 0 
0  1
2 2 


3 0
E) 

1 2
1  1
B) 

1 2 
3 1 
C) 

1 2
 1
 2  1
 e At a
 , B  
2
1 0 
matriz transposta de A, então o valor de At .B é:
 3  1
 0 2




A)  2 2 
D)  2 1 
0 1 
3 1




 2 1 
 1 0




B)  3  2 
E)  2 1 
 1 2
0 1 




1
2
52. Sendo A  
 0 1
 2 1


C)   3 2 
 0 1


1
5
4
53. Se C  [cij] é a soma das matrizes A  

 2  3 4
3
1 2 3 
e B
, pode-se afirmar que
c1 j é igual

j 1
 4 3  4
a:
A) 2
B) 0
C) 16
D) 3
E) n.d.a.

Gabarito
01. C
02. B
03. B
04. B
05. B
06. E
07. C
08. C
09. E
10. A
11. A
12. C
13. A
14. B
15. C
 2  3  a    4 
a
       , então a matriz   é:
 1 5   b   11 
b
  1
  4
10 
1
B)   C)   D)   E)  
2
 11 
 11
 4
54. Se 
1
A)  
2
 
55. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e At sua
transposta, então A, tal que A  2. At , vale:
0  1
1 0 
A) 
D) 


0 0 
1  2
1  1
0 0 
B) 
E) 


3 2 
0 0 
4 1 
C) 

5 2
8
16. A
17. E
18. C
19. E
20. A
21. B
22. B
23. D
24. C
25. E
26. B
27. C
28. D
29. D
30. C
31. B
32. B
33. A
34. A
35. B
36. B
37. C
38. C
39. A
40. D
41. E
42. B
43. B
44. A
45. D
46. C
47. E
48. E
49. A
50. C
51. B
52. B
53. C
54. A
55. E