Problema-Exemplo 3.1
Calcule o volume de uma célula unitária CFC em termos do raio atômico R.
Na célula unitária CFC ilustrada,
os átomos se tocam uns nos outros ao longo de uma diagonal da face, cujo comprimento
equivale a 4R. Uma vez que a célula unitária é um cubo, seu volume é a3, onde a representa o
comprimento da aresta da célula unitária. A partir do triângulo reto na face,
a2 + a2 = (4R)2
ou, resolvendo para a,
a = 2R 2
O volume da célula unitária CFC, Vc pode ser calculado pela expressão
Vc = a3 = (2R 2)3 =16R3 2
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Problema – Exemplo 3.2
Mostre que o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina CFC é de
0,74.
O FEA: é definido como sendo a fração do volume que corresponde às esferas
sólidas em uma célula unitária.
FEA 
V
volume total de esferas
 E
volume total da célulau nitária VC
Tanto o volume total das esferas como o volume da célula unitária podem ser calculados
em termos do raio atômico R . O Volume para uma esfera é de 4/3R3, e uma vez que
existem quatro átomos por célula unitária CFC, o volume total na CFC é de :
VE =(4) 4/3 R3 = 16/3  R3
De acordo com o problema 3.1, o volume total da célula unitária é de:
VC = 16 R3  2
Portanto, o fator de empacotamento atômico
16
é de:
3
(
)

R
VE
3
FEA=
=
VC
16 R 3 2
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= 0,74
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3.5 Cálculos da Densidade
Um conhecimento da estrutura cristalina de um sólido metálico permite o cálculo da sua
densidade verdadeira  que é obtida através da relação
Onde:
n = número de átomos associados a cada célula unitária
A = peso atômico
VC = volume da célula unitária
NA = número de Avogadro (6,023 x 1023 átomos/mol)

nA
VC N A
Problema – Exemplo 3.3
O cobre possui um raio atômico de 0,128nm ( 1,28 Å ), uma estrutura cristalina CFC, e um peso

atômico de 63,5 g/mol. Calcule a sua densidade e compare a resposta com sua densidade medida
experimentalmente.
CFC
n = 4 (n° de átomos Por células)
ACu = 63,5 g /mol (peso atômico)
Vc ( volume da célula unitária) para a CFC determinado em 3.1 = 16 R3 2, onde R, o raio
atômico, é de 0,128 nm

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n ACu
(4 átomos / célulaunit ária ) (63,5 g / mol )

VC N A [16 2 (1,28 x108 cm)3 / célula unitária ] /( 6,023 x1023 átomos / mol )
  8,89 g / cm 3
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 = 8,94 g /cm3 (literatura)
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3.6 Polimorfismo e Alotropia
 Dois cristais são ditos polimorfos quando, embora tenham estruturas
cristalinas diferentes, apresentam a mesma composição. Quando encontrado em
sólidos elementares, esta condição é freqüentemente conhecida por alotropia.
 A estrutura cristalina que prevalece depende tanto da temperatura como da
pressão externa.
 Exemplo;
• Carbono: a grafita é o polimorfo estável nas condições ambientes,
enquanto o diamante é formado a pressões extremamente elevadas.
•Ferro puro: possui uma estrutura cristalina CCC à temperatura
ambiente, que se altera para uma estrutura CFC à temperatura de 912° C.

Na maioria das vezes, uma mudança da densidade e de outras
propriedades físicas acompanha uma transformação polimórfica.
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Problema 3.4
Determine os índices para a direção mostrada na figura abaixo.
 O vetor conforme representado passa através da origem do sistema de coordenadas,
portanto, não é necessário qualquer translação.
 As projeções deste vetor sobre os eixos x, y e z são, respectivamente, a/2, b e 0c, que
se tornam ½, 1 e 0, em termos dos parâmetros da célula unitária( isto é quando a, b e c
são descartados
 A redução destes números ao menor conjunto de números inteiros possível é
acompanhada pela multiplicação de cada um deles pelo fator 2.
 Isto produz os números inteiros 1, 2 e 0, que são então colocados entre colchetes ns
forma
aula05de [1 2 0].
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Problema 3.5
Esboce uma direção [1 1 0] dentro de uma célula unitária cúbica.
1° construa uma célula unitária e um sistema de eixos apropriados.
2° Na figura a seguir, a célula unitária é cúbica, e a origem do sistema de coordenadas, o
ponto O, está localizada em um dos vértices do cubo.
-
3° Para a direção [1 1 0 ], as projeções ao longo dos eixos x, y e z são a –a e 0a,
respectivamente.
4° Essa direção é definida por um vetor que vai desde a origem até o ponto P, que é
posicionado movendo-se primeiramente a unidades ao longo do eixo x, e a partir desta
posição, paralelamente ao eixo y, -a unidades, conforme está indicado na figura.
5° Este vetor não possui uma componente paralela ao eixo z, uma vez que a projeção
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sobre
o eixo z é igual a zero.
Problema 3.6
Determine os índices de Miller para o plano mostrado na figura (a) abaixo.
1° Uma vez que o plano passa através da origem que foi selecionada, O, uma nova origem
deve ser escolhida, localizada no vértice de uma célula unitária adjacente, sendo esta nova
origem chamada de O,’mostrada na figura (b).
2° Este plano é paralelo ao eixo x, e a interseção pode ser considerada como sendo  a.
3° As interseções com os eixos y e z, em relação a nova origem O’ , são –b e c/2,
respectivamente.
4° Dessa forma, em termos dos parâmetros de rede a, b e c, estas interseções são,
respectivamente, , -1 e ½.
5° Os inversos desses números são 0, -1 e 2; e uma vez que todos são números inteiros,
nenhuma redução adicional se torna necessária. Finalmente, colocando entre parênteses,
obtêm-se (0 1 2).
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