Triângulo de Pascal, numa obra do matemático
chinês Yang Hui, publicada em 1303
Aceite para publicação em 19 de novembro de 2013
Versão de Pascal do triângulo
Blaise Pascal (1623 - 1662)
Na sua vida curta mas cheia de acontecimentos, o filósofo e matemático
Francês trabalhou em muitos problemas e tópicos diferentes. Inventou uma
máquina de calcular e produziu um tratado sobre secções cónicas.
O triângulo que leva o seu nome era já conhecido na China por volta do ano
1300 a.C. e, provavelmente também o era na Europa. Mas foi o extenso
trabalho de Pascal na teoria das probabilidades que levou a que lhe fosse
dado o seu nome.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
9
84
3
10
21
1
10
20
35
56
126
1
4
6
15
28
36
3
5
7
2
4
6
1
5
15
35
70
1
1
6
21
56
126
1
7
28
84
1
8
36
1
9
1
“O padrão é tão simples que uma criança de 10 anos o consegue escrever, no
entanto,
com
tantos 210
aspectos
1
10 contém
45 tantas
120 ligações
210
252
120 aparentemente
45
10 não
1
relacionados da Matemática, que é seguramente uma das mais elegantes
construções
...
... Matemáticas.”
...
...
...
...
...
...
...
...
Martin Gardner
Linha
n=0
0
1
n=1
2
n=2
3
n=3
3
4
4
1C
0
n=4
5
n=5
6
n=6
7
n=7
6
10
C
10
C
5
10
C
7
7
C1
2
2
3
3
C
2
3
4
6C
2
5
10
C2
6
35
C3
4
35
C4
5
6
15
C4
7
1
C
4
54
C
6
20
C3
7
1
C
3
4
C
3
5
103
C
6
15
C2
21
C2
12
C
4
5
7
1
C
1
21
C
3
C
1
4
C
1
51
C
61
C
1
1
C
0
10
C
1
C
0
1
C
0
15
C
65
C
7
7
21
C5
6
1
C
6
76
C
7
17
C
…
n
n
C0
n
C1
…
n
Cp
…
n
C np
…
n
C n 1
n
Cn
0
1
2
3
1
C10
2
C10
3
1
C
0
C10
1
C
1
2. O triângulo é simétrico, uma vez que , em
cada linha, valores equidistantes dos
extremos são iguais.
2
21
C
1
C2
3
3
C
1
1. Todas as linhas começam e acabam em 1.
n
n
Efetivamente,
C0  Cn  1
3
3
C
2
1
C
3
n
4
5
6
7
8
1
C
0
C1 0
8
1
C
0
5
10
C
6
C1 0
7
8
C
1
4
71
C
5
6
21
C2
7
8
2
56
C
4
6
C
2
5
102
C
15
C2
7
8
28
C
4
C
1
51
C
61
C
4
7
70
C
5
6
8
56
C
8
5
1 5
C
7
21
C5
28
C
6
Cnp
7
7 6
C
8C
1
C7
8
7
1C
n
8
Cp 
n
C p 1 
c o m n , p  IN 0
4. A soma dos elementos de qualquer linha n, com
n
C0 
n
C1  . . . 
0  p  n
e
3. A soma de dois números
consecutivos de uma linha é
igual ao número que se situa
entre eles, na linha seguinte:
1
C
6
8
6
n
Cp 
c o m n , p  IN 0
65
C
7
35
C4
4
1
C
4
54
C
15
C4
8
3
5
6
20
C3
353
C
4
C
3
103
C
6
4
n
5. O número de elementos de uma linha n, com
n  IN 0
Cn  2
é
e
2
n
n  IN 0 ,
é n+1.
n
n 1
C p 1
0  p  n
Quantos Caminhos diferentes tem a Ana para chegar à Escola, se andar
sempre apenas para Este (E) ou para Sul (S)?
CASA DA ANA
E
Comecemos por
contar o número de
caminhos
diferentes que ela
tem para chegar à
esquina A!
(clica em A)
S
A
B’
B
C
E até à esquina C?...
(clica em C)
E para chegar à
esquina
E, finalmente,
até à
B?...
(clica em B)
E se fosse para
chegar à esquina
B'?...
Escola?...
ESCOLA
(clica na “Escola”)
Contemos, então, o número de caminhos diferentes que ela
tem para chegar à esquina A!
E
1
1
(S , E)
S
A
(E , S)
2
1
Número de maneiras diferentes de:
Dos 2 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este e o
outro para Sul!
2
C1
(clica aqui)
Continuemos a contar caminhos! Agora para chegar à esquina B...
E
1
1
(S , S , E)
S
1
2
(E , S , S)
(S , E , S)
B
1
3
Número de maneiras diferentes de:
Dos 3 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este (e os 2
restantes para Sul)!
3
3
C 1 ou C 2
(clica aqui)
E até à esquina C!...
E
1
1
1
(E , E , S , S)
(E , S , E , S)
S
1
2
(E , S , S , E)
3
(S , E , E , S)
(S , E , S , E)
(S , S , E , E)
1
3
6
C
Número de maneiras diferentes de:
Dos 4 troços a percorrer, escolher 2 desvios para Este (e os 2 restantes
para Sul)!
4
C2
(clica aqui)
Sintetizando, sabemos que:
0
C1 0
1
11
C1 0
21
C1
2
C0
3
A
B
C2
33
C1
3
21
C1
2
C2
4
C
C2
6
E… retomando o esquema inicial com uma outra
inclinação, podemos conjeturar:
CASA DA ANA
1
0C
0
1C1
0
2C2
1
1
2C
0
3C1
0
4C1
0
5C1
0
6C1
0
8C1
0
5
5C
1
7C7
1
7C1
0
8C8
1
3C3
1
8C28
2
3C3
2
5C10
2
6C15
2
4C4
3
6C20
3
8C56
3
ESCOLA
1
3C
3
10
5C
3
7C35
3
7C21
2
1
2C
2
4C6
2
4C4
1
6C6
1
1
1C
1
8C70
4
4C1
4
5C5
4
15
6C
4
7C35
4
5C1
5
6C6
5
7C21
5
8C56
5
6C1
6
7C1
7
7C7
6
28
8C
6
8C8
7
8C1
8
A Ana tem 7 0  8 C 4 caminhos diferentes para chegar à Escola (dos oito
troços a percorrer, escolher 4 desvios para Este e os 4 restantes para Sul).
E se a situação fosse esta:
O Rui e a Ana, quando vão de casa para
o ginásio, utilizam as ruas só nos
sentidos WE e SN.
G
A
N
R – Casa do Rui
A – Casa da Ana
G – Ginásio
S
O Rui, numa deslocação de casa para o
ginásio, escolhe o percurso totalmente ao
acaso. A probabilidade de o Rui passar no
cruzamento onde se situa a casa da Ana é:
(A)
13
(B)
70
E
W
5
3
3
8
C4
A figura representa parte da planta
das ruas de uma cidade.
(C)
7
C2  C1
R
8
70
5
ou
(D)
3
C3  C2
8
C4
18
70
Triângulo de Pascal
Números
1
Naturais
1 1
Números
Triangulares 1 2 1
1
1
1+1=2
Sucessão de
1+2=3
2+3=5
Fibonacci
3+5=8
5+8=13
8+13=21
.
1 3 3 1
.
.
1 4 6 4 1
.
1 5 10 10 5
1
.
1 6 15 20 15 6 1
.
1
7 21 35 35 21 7 1
.
.
1 8 28 56 70 56 28 8 1
.
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
.
1 10 45 120 210 252 210120 45 10 1
.
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 .
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
Somas “rastejantes”!
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
1
3
6
1
4
10 10
1
5
15 20 15
1
6
21 35 35 21
1
7
28 56 70 56 28
1
8
36 84 126 126 84 36
1
9
1
10 45 120 210 252 210 120 45 10
1
11 55 165 330 462 462 330 165 55 11
1
.
7
8
4
6
2
3
5
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
Adicionando os elementos de uma diagonal descendente, até uma certa
linha, vamos obter o elemento da linha seguinte, por baixo do último
elemento adicionado.
Todos diferentes, todos iguaisNúmeros
Números
&
pares
ímpares
1
Diferentes procedimentos
matemáticos podem conduzir-nos
ao mesmo objeto, mesmo que os
caminhos tomados sejam
consideravelmente diferentes.
1
1
1
5
1
1
1
1
1
1
1
1
13
14
15
45
11
55
66
78
91
105
21
84
4
1
10
5
35
70
126 126
1
15
20
35
56
1
6
15
28
36
10
12
7
1
3
10
6
8
9
3
4
1
1
2
1
1º caminho diferente
1
1
1
6
21
56
7
1
28
84
1
9
36
120 210 252 210 120
165 330 462 462 330
8
45
165
1
1
10
55
220 495 792 924 792 495 220
286 715 1287 1716 1716 1287 715 286
11
66
1
12
1
13
78
364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364
91
455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455
1
14
105
1
15
1
Todos diferentes, todos iguais
2º caminho diferente
Considera um
Em cada um dos
Em cada grupo de
triângulo equilátero
triângulos exteriores
quatro triângulos que
qualquer e une os
repete o procedimento
obtiveres, repete o
pontos médios dos
(isto é, só não fazes
procedimento nos
lados. Obténs quatro
mais nada no triângulo
três triângulos
triângulos mais
que está no meio).
exteriores.
pequenos.
Todos diferentes, todos iguais
Que padrão observas?
Todos diferentes, todos iguais
O jogo do Caos
3º caminho diferente
C
C
C
X1
X2
B
A
A
B
A
B
Considera três quaisquer pontos
Se obtiveres 1 ou 4, une X1 com A
Retoma o processo a partir de X2.
do plano A, B e C.
e toma X2 como o ponto médio
Vai assinalando sempre os pontos
Marca numa folha de papel
desse segmento.
médios obtidos X3, X4, etc.
esses três pontos assim como um
Se obtiveres 2 ou 5, une X1 com B
Repete o procedimento uma boa
quarto ponto X1.
e toma X2 como o ponto médio
vintena de vezes.
Pega num dado normal e lança o
desse segmento.
Se tiveres um computador ou
dado.
Se obtiveres 3 ou 6, une X1 com C
uma calculadora gráfica podes
e toma X2 como o ponto médio
programá-los para eles te
desse segmento.
traçarem os pontos médios
http://demonstrations.wolfram.com/ChaoticItineraryButRegularPattern/
sucessivos.
Que padrão observas?
Todos iguais
O padrão que aparece neste três procedimentos tão diferentes é conhecido
como Triângulo de Sierpinski. Foi descoberto em 1917 pelo matemático
polaco Waclaw Sierpinski. Tem várias propriedades curiosas como a de ter
tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área
igual a zero, e ser autossemelhante (isto é, uma pequena porção do
triângulo é idêntica ao triângulo todo a menos de uma escala adequada).
Quem diria que seria possível obter a mesma figura por processos tão
diferentes! Ainda por cima este padrão aparece em vários fenómenos
naturais, como por exemplo a formação das conchas de certos seres
marinhos.
Assim se vê a beleza e poder da Matemática.
Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de
Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra)
http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/
Aplicações
ALGUMAS QUESTÕES
DE EXAMES NACIONAIS
1. a b c d e g representa uma linha completa do Triângulo de Pascal,
onde todos os elementos estão substituídos por letras.
Qual das seguinte igualdades é verdadeira?
(A)
6
c  C3
(B)
6
c  C2
(C) c  7 C 3
(D) c  7 C 2
2. Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos.
Qual é o sexto elemento dessa linha?
(A)
14
C5
(B)
15
C5
(C)
14
C6
(D)
15
C6
3. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de
Pascal é 31. Qual é o quinto elemento da linha anterior?
(A) 23 751
(B) 28 416
(C) 31 465
(D) 36 534
Aplicações
ALGUMAS QUESTÕES
DE EXAMES NACIONAIS
4. No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos da forma
2006
Ck
Quantos elementos dessa linha são menores do que
(A) 8
(B) 6
(C) 5
2006
C4 ?
(D) 3
5. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19 600. A soma
dos quatro primeiros números dessa linha é 20 876.
Qual é o terceiro número da linha seguinte?
(A) 1275
(B) 1581
(C) 2193
(D) 2634
6. Numa certa linha do triângulo de Pascal, o segundo número é 2009.
Quantos elementos dessa linha são maiores que um milhão?
(A) 2004
(B) 2005
(C) 2006
(D) 2007
O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó---óóóóóóóóó---óóóóóóóóóóóóóóó
(O vento lá fora.)
Álvaro de Campos
Calculemos:
0
a  b   1
1
a  b  
ab
2
 a  b    a  b   a  b   a  2a b  b
2
3
a  b  
2
Caso notável da
multiplicação de
polinómios
2
2
 a  b   a  b    a  2a b  b   a  b  
2
3
2
2
 a  3a b  3a b  b
3
2
2
2
2
 a  b    a  b   a  b    a  2a b  b  a  2a b  b  
2
4
4
2
3
2
2
3
 a  4 a b  6a b  4 a b  b
..….
n
 a  b    a  b   a  b  ......  a  b  
n fatores
?
4
Podemos escrever
0
a  b  
0
1a b
0
1
1
 a  b   1a1b0  1a0 b1
ab
2
1a b  2a b  1a b
3
1a b  3a b  3a b  1a b
4
1a b  4a b  6a b  4a b  1a b
a  b  
a  b  
a  b  
2
0
1
3
0
2
1
1
2
4
0
3
1
2
2
..….
1
0
2
2
a  2a b  b
0
1
3
3
2
3
0
2
3
4
4
e observar que:
2
a  3a b  3a b  b
3
2
2
3
a  4 a b  6a b  4 a b  b
4
n
Para cada valor natural de n, os coeficientes do desenvolvimento de  a  b  são os
números combinatórios que constituem a linha n do Triângulo de Pascal.
A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n, diminuindo os expoentes de
a de n até zero, enquanto os de b aumentam de zero a n.
concluindo que
a  b 
n
(pode demonstrar-se recorrendo ao Método de Indução Matemática):
 nC0a n bo  nC1a n1b1  nC2a n2b2  ..................  nCn1a1bn1  nCna 0 bn
a  b 
n
n
n
o
n
 C0a b  C1a
n


n
Ck a
n k
b
n 1 1
n
b  C2a
n 2
2
n
1
b  ..................  Cn1a b
n 1
k
k 0
Repara:
O termo de ordem p+1, designado por Tp1 com 0  p  n
n
do desenvolvimento de  a  b  , é dado pela expressão
n
Tp 1  Cp a
np
b
p
n
0
 Cna b
n
a  b
0
1
a  b
a  b
2
3
a  b
a  b
4
5
a  b
•
•
•
•
n
1
..........................
.......................
.....................
................... 1
................. 1
.............. 1 5
1
1
1
•
•
•
2
3
4
1
6
4
10
15
•
1
10
20
35
56
•
1
3
21
28
1
1
6
7
8
1
5
1
15
35
6
21
1
7
70
56
28
•
•
•
1
8
1
•
•
 a  b   nC0anbo  nC1a n1b1  nC2a n2b2  ..................  nCn1a1bn1  nCna 0bn
Aplicações
ALGUMAS QUESTÕES
DE EXAMES NACIONAIS
1. Indique qual das equações seguintes é equivalente à equação
4
 x  1  4 x 3  6 x 2
(A) x 4  4 x 3  6 x 2  1  0
(B) x 4  1  0
(C) x 4  4 x 3  4 x 2  1  0
4
(D) x  4 x  1  0
4
2. Quantas são as soluções da equação  x  1  x 4  4 x 3  x  1 ?
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
n
3. Um dos termos do desenvolvimento de    e  é 120  7 e 3
Indique o valor de n?
(A) 10
(B) 12
(C) 20
(D) 21
Bibliografia:
 Infinito 12
Matemática A -12º ano
Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso | Alves Cristina Cruchinho
Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões
 Novo Espaço
Matemática A -12º ano
Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues
 Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de
Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra)
Página pessoal do autor: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/
 The joy of mathematics
Theoni Pappas
Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências
Maria José Guimarães Vaz da Costa