71. Um automóvel, modelo flex, consome 34 litros de gasolina para percorrer
374. Quando se opta pelo uso do álcool, o automóvel consome 37 litros deste
combustível para percorrer 259. Suponha que um litro de gasolina custe R$ 2,20.
Qual deve ser o preço do litro do álcool para que o custo do quilômetro rodado
por esse automóvel, usando somente gasolina ou somente álcool como
combustível, seja o mesmo?
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 1,00
R$ 1,10
R$ 1,20
R$ 1,30
R$ 1,40
Pelos 374 km com gasolina são gastos 34 litros
x 2,20 reais = 74,80 reais. Portanto, teremos um
gasto por litro de 74,80 reais/ 374 km = 0,20
reais/ km
Como o custo precisa de ser o mesmo, temos:
(a reais x 34 km): 259 = 0,20 reais.
O que significa a = 1,40 reais.
E
72 Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AC = 4. Além
disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto
F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se
DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale:
a)
b)
c)
d)
e)
63/25
12/5
58/25
56/25
11/5
Seja EC = b e DB = h, pela semelhança entre os
triângulos BED e BCA, temos: (3 – b) / 3 = 1,5 / 5
→ b = 21/10. Pela mesma relação podemos
encontrar h, assim: 4 / h = 1,5 / 5 → h = 6/5
Dessa forma, a área do
paralelogramo DECF é igual a
b x h = 21/10 x 6/5 = 63/25.
A
73 Tendo em vista as aproximações log 2 = 0,30, log3 = 0,48, então o maior
número inteiro n satisfazendo 10n ≤ 12418, é igual a:
a) 424
b) 437
Colocando log dos dois lados da inequação temos:
c) 443
log10n ≤ log 12418. Portanto,
d) 451
e) 460
n ≤ 418.log(4.3) →
n ≤ 418.log(2².3) →
n ≤ 418.[2.log2 + log3) →
n ≤ 418.[2.0,30 + 0,48) →
n ≤ 451,44
Logo, o maior valor inteiro é n = 451.
D
74 Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal
modo que a1 + 3, a2 – 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda
a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
3 + √3
3 + √3/2
3 + √3/4
3 – √3/2
3 – √3
Como a1, a2, a3 é uma PA de razão r, com a2=2,
temos uma PA especial ( 2 – r, 2, 2 + r).
Pela PG, encontramos (a1 + 3, a2 – 3, a3 – 3). Ou
seja,
( 2 – r + 3, 2 – 3 , 2 + r – 3 ) = ( 5 – r, – 1, r – 1 ) e,
dessa forma, (-1)² = (5 – r).(r – 1) →
r = 3 + √3 ou r = 3 – √3. Como a1 tem que ser
positivo, temos que r = 3 – √3
E
75 Na figura, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O e BC = a.
A reta OC é perpendicular ao segmento AB e o ângulo AÔB mede π/3 radianos.
Então, a área do triângulo ABC vale:
a)
b)
c)
d)
e)
a²/8
a²/4
a²/2
3a²/4
a²
O ângulo ACB é inscrito na
circunferência, portanto ACB = π/6
radianos. Logo a área do triângulo ABC
é igual a:
Área = [a².sen (π/6)]:2 = a²/4.
B
76 A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC
mede √5/4, o ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE. Nessas
condições, o segmento DE mede
a)
b)
c)
d)
e)
3√5/40
7√5/40
9√5/40
11√5/40
13√5/40
tg (2α) = 2tgα/(1 - tg²α) = 1/DE.
Como tg α = √5/4, temos:
DE = 11√5/40
D
77 A função f: IR → IR tem como gráfico uma parábola e satisfaz
f(x+1) – f(x) = 6x – 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x)
ocorre quando x é igual a
a) 11/6
b) 7/6
c) 5/6
d) 0
e) – 5/6
Seja f(x) = ax² + bx + c. Portanto,
f(x + 1) = ax² + 2ax + a + bx + b + c
Dessa maneira, usando a igualdade
f(x+1) – f(x) = 6x – 2, encontramos
ax² + 2ax + a + bx + b + c – ax² – bx – c =
2ax + a + b = 6x – 2. Por comparação encontramos
que a = 3 e b = – 5.
Para que f(x) tenha valor mínimo devemos encontrar
seu xv = -b/2a = 5/6
C
78 No plano cartesiano OXY, a reta de equação x + y = 2 é tangente à
circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o
raio de C é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
3√2/2
5√2/2
7√2/2
9√2/2
11√2/2
A equação da reta s passa por (0,2) e tem coeficiente
angular igual a 1. Assim s: y = x + 2, que passa pelo
centro P(a,b) = P (a, a + 2).
Então, a distância entre P (a, a + 2) e o ponto (0,2);
e P e (1,0) é igual ao raio.
Portanto, (a – 0)² + (a + 2 – 2)² = ( a – 1)² + (a + 2 – 0)²
a = – 5/2 e b = – ½. O raio de C é
dado pela distância de PA. Sendo
assim,
R = √(-5/2 - 0)² + (-1/2 - 2)² = 5√2/2
B
79 Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa
senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo
algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria
não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido
imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode
escolher sua senha?
a)
b)
c)
d)
e)
551
552
553
554
555
Usaremos o princípio da exclusão. Ou seja, vamos
calcular todas as combinações possíveis e excluir as
opções que não desejamos. Assim, o total de senhas é:
5.5.5.5 = 625.
As senhas que não queremos ou são: 13XX ou X13X ou
XX13 o que nos dá 3.5.5 = 75 maneiras.
A observação fica em função da senha 1313 que foi
contada tanto na situação 13XX quanto na XX13.
Portanto, o número de maneiras que podemos ter de
senhas é: 625 – 75 +1 = 551.
A
80 Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas
faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como
vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
5/9
4/9
1/3
2/9
1/9
Sejam P, Q, R e S os baricentros
dos triângulos VAB, VBC, VCD e
VDA, respectivamente. Dessa
forma, VQ = 2/3 . VN. Assim,
SQ = 2/3 . MN = 2/3.
Portanto, a área do quadrilátero
será: (2/3)²:2 = 2/9.
D