GEOMETRIA FRACTAL
Trabalho realizado por:
Ana Catarina Cascão
Ricardo Cardoso
Sónia Damas
Euclides
330-260 a.C.
Há mais de dois mil anos, Euclides, segundo conta a tradição,
enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um
todo, se assemelhava a uma superfície contínua e uniforme, embora
fosse composta por pequenas partes visíveis.
Desde então, empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que
todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas
geométricas simples.
Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento
importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão.
No entanto, inconscientemente, esta foi a chave para o pensamento
inicial de Euclides, já que um grão de areia, considerado
isoladamente, apresenta três dimensões (largura, altura e
profundidade), enquanto que a superfície arenosa da praia é
visualmente plana (com duas dimensões).
Para Euclides, os objectos da Natureza podiam ser representados
como
formas
geométricas
simples,
como
quadrados,
circunferências, etc...
No entanto, a geometria euclidiana era insuficiente e até
grosseira para explicar e descrever estes fenómenos naturais.
Como surgiram os fractais?
Segunda metade do séc.
XIX e a primeira do séc. XX:
“Monstros Matemáticos”
Objectos que desafiavam as
noções comuns de infinito e
para os quais não havia uma
explicação objectiva
Curva de Peano
Triângulo de Sierpinski
Como surgiram os fractais?
Floco de Neve de Koch
Conjunto de Julia
Conjunto de Cantor
Como surgiram os fractais?
Benoit Mandelbrot
 Nasceu a 20 de Novembro de 1924 na Polónia;
 Formação Académica realizada em França;
 Grande gosto pela geometria, procurando
resolver muitos problemas matemáticos com
base na mesma;
No ínicio dos anos 80, nomeou (ao invés de descobrir ou
inventar) os fractais, para classificar certos objectos que
não possuiam necessariamente dimensão inteira, podendo
ter dimensão fraccinária.
Curiosidade:
Como surgiu a palavra fractal?
Embora os “monstros matemáticos” existissem há muito tempo,
ainda ninguém lhes tinha atribuído nenhum nome. Foi então que
Benoit Mandelbrot, ao preparar a sua primeira obra sobre os ditos
“monstros”, sentiu necessidade de lhes atribuir um nome.
verbo frangere (que significa quebrar, fracturar, irregular)
adjectivo fractus
FRACTAL
Objectos que não
possuem necessariamente
dimensão inteira
Formas igualmente
complexas no detalhe e na
forma global
FRACTAIS
Objectos que não perdem a sua
definição formal à medida que
são ampliados, mantendo a sua
estrutura idêntica à original
Formas geométricas irregulares
e fragmentadas que podem ser
subdivididas em partes, e cada
parte será uma cópia reduzida da
forma toda
Características de um Fractal

Auto-semelhança;

Dimensão;

Complexidade Infinita.
Auto-Semelhança

O conjunto total é constituído por pequenas réplicas desse
mesmo conjunto, ou seja, qualquer que seja a ampliação
considerada, obteremos sucessivas cópias do objecto inicial.
Auto-semelhança
Exacta
Aproximada
Auto-Semelhança

Qualquer que seja o número de ampliações de um determinado objecto
fractal, nunca obteremos a “imagem final”, uma vez que ela poderá
continuar a ser infinitamente ampliada.
Fernando Pessoa, através de um dos seus heterónimos, tinha esta
visão dos objectos da Natureza, embora não tivesse conhecimento da
Geometria Fractal:

“...E também o mundo,
Com tudo aquilo que contém,
Com tudo aquilo que nele se desdobra
E afinal é a mesma coisa variada em cópias iguais.”
Fernando Pessoa – Poesias de Álvaro de Campos
Dimensão
Da Geometria Euclidiana sabemos que:
 Um ponto é o que não tem parte, isto é, tem dimensão zero;
 Uma linha é um comprimento sem largura, ou seja, tem dimensão um;
 Uma superfície é o que só tem comprimento e largura (dimensão dois);
 Um sólido é o que tem comprimento, largura e profundidade (dim. 3).
 Vejamos uma “simples” linha que se espalha por uma superfície
plana sem nunca se cruzar. No limite, ela preenche todo o plano.
 Na Geometria Euclidiana esta linha tem dimensão 1, no entanto
intuitivamente ela parece ser quase bidimensional.
Dimensão
E se formos confrontados com uma dimensão não inteira
Para introduzir a noção de dimensão não inteira, Mandelbrot deu o
seguinte exemplo:
A dimensão de um novelo de fio depende do ponto de vista da
pessoa:
 Visto de longe, o novelo não é mais do que um ponto, ou seja,
tem dimensão zero;
 Visto de mais perto, o novelo parece-nos uma “bola”, assumindo
assim três dimensões;
 Visto ainda mais de perto e se utilizarmos um microscópio de alta
definição, o novelo não passa de um conjunto de pontos – átomos –
isolados o que significa que o novelo tem dimensão zero.
Dimensão
 A dimensão de um objecto, ao contrário do que sucede na
Geometria Euclidiana, não é necessariamente um número inteiro.
Com efeito, ela pode ser um número fraccionário.
 A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação deste no
espaço, estando relacionada com o seu grau de irregularidade.
 Definimos então dimensão de uma curva fractal como sendo um
número que caracteriza a maneira na qual a medida do comprimento
entre dois pontos aumenta à medida que a escala diminui.
 Fica então mais fácil explicar a Natureza e assim os nossos
modelos aproximam-se mais do real.
Dimensão
Dimensão 1:
Considere-se um segmento de recta; após a
redução fica-se com 4 (=41) partes iguais.
Dimensão 2:
Efectuando o mesmo processo para o quadrado,
dividir cada um dos lados em 4 partes iguais, ficase com 16 (= 42) partes iguais.
Dimensão 3:
Procedendo-se de igual modo para o cubo,
obtém-se 64 (= 43) partes iguais.
Dimensão
Sejam:
 N = número de partes em que se divide o objecto;
 r = coeficiente de redução.
Dimensão 1
1
N 1
r
Dimensão 2
1
N 2
r
Dimensão 3
1
N 3
r
Dimensão
Generalizando:
1
N d
r
(d é a dimensão do objecto em estudo)
 Este raciocínio é válido para qualquer redução
efectuada em objectos com auto-semelhança exacta.
1
1
N  d  N  
r
r
d
log N
d 
log 1
r
Complexidade Infinita
 Prende-se com o facto do processo gerador dos fractais ser
recursivo, tendo um número infinito de iterações;
 O objecto fractal pode, por isso, ser ampliado tantas vezes
quantas se queira, nunca se obtendo a imagem final;
 O fractal será por isso a figura limite do seu processo gerador e
não qualquer um dos passos finitos presentes nesse mesmo
processo;
Geometria Euclidiana e Geometria Fractal
"Porquê usar palavras?
A geometria existia antes de nós. É eterna como o espírito de
Deus, é o próprio Deus. A geometria com suas esferas, cones,
hexágonos e espirais deu a Deus um modelo para a criação e foi
implantada no Homem como imagem e semelhança de Deus.“
Kepler,1610
"Há alguma razão para a geometria não descrever o formato das
nuvens, das montanhas, das árvores ou a sinuosidade dos rios?
Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não
são círculos, um latido não é contínuo, e nem o raio viaja em linha
recta...”
Mandelbrot,1983
Geometria Euclidiana e Geometria Fractal
GEOMETRIA EUCLIDIANA
GEOMETRIA FRACTAL
Tradicional (mais de 2000
anos)
Moderna (25 anos)
Baseada em tamanho ou
escala definida
Sem tamanho ou escala
específica
Apropriada a objectos feitos
pelo Homem
Apropriada a formas naturais
Dimensão no conjunto
{0,1,2,3}
Dimensão no conjunto [0,3]
Descrita por fórmulas e
equações
Uso de algoritmos recursivos
Floco de Neve de Koch
Triângulo Inicial
Estrela de David
REGRA DE SUBTITUIÇÃO RECURSIVA
Comece com um triângulo equilátero sólido
Quando vir um segmento fronteiro
substitua-o por
Floco de Neve de Koch
Floco de Neve de Koch
Como varia o número de lados com as transformações?
Passos
Número de lados
Figura de partida
3
=
3 x 40
1
3x4
=
12
=
3 x 41
2
12x4
=
48
=
3 x 42
3
48x4
=
192
=
3 x 43
4
192x4
=
768
=
3 x 44
5
768x4
=
3072
=
3 x 45
Mn  3 4
n
O número de lados do Floco de
Neve de Koch tende para o infinito.
Floco de Neve de Koch
Como varia o comprimento de cada lado com as transformações?
Passos
Medida de cada lado
Figura de partida
1
1
1
2
1
3
1
4
1
1
5
Nn  3
n
1
 
 3
n
3
=
1
9
=
1
27
=
1
81
=
1
243
=
1
1
3
=
3-1
32
=
3-2
33
=
3-3
34
=
3-4
=
3-5
35
O comprimento de cada lado
do Floco de Neve de Koch
tende para zero.
Floco de Neve de Koch
Como varia o perímetro da curva com as transformações?
Podemos definir a sucessão dos perímetros Pn à custa das
duas sucessões anteriores. Assim:
Pn
4
Pn  M n  N n  (3  4 )  (3 )  3   
3
n
n
n
Quando n tende para infinito, a sucessão Pn tende para infinito,
logo podemos concluir que o perímetro da curva de Koch tende
para infinito.
Floco de Neve de Koch
Será que a área do floco de neve de Koch também cresce para infinito?
Consideremos que a área do triângulo inicial tem uma unidade.
Pn
 A área da Floco de Neve de Koch está compreendida entre 1 e 2.
Floco de Neve de Koch
 A área do polígono, em cada passo, obtém-se adicionando à
área do polígono do passo anterior a área de um triângulo
equilátero, cujo lado é 1 3 do anterior, multiplicada tantas vezes
quantas o número de lados do polígono anterior.
 Pela semelhança de figuras planas, sabe-se que, se o lado de um
polígono sofre uma redução de razão 1 3 , a área sofre uma redução de 1 9
Floco de Neve de Koch
A0  1
1
1
A1  1     3  1 
3
9
2
1 1
1 1 4
A 2  1      (3  4)  1   
3 9
3 3 9
....
2
n
1 1 4 1 4
1 4
1 4
A n 1  1               1    
3 3 9 3 9
3 9
3 9
n
Floco de Neve de Koch
Então An+1 = 1 + Sn com
4
1 
1
9

Sn  
4
3
1
9
Calculando o limite de Sn quando n
tende para infinito tem-se:
n
3
lim S n 
n
5
A área do Floco de Neve de Koch é:
3
lim A n 1  lim (1  Sn )  1   1,6
n 
n 
5
Floco de Neve de Koch
 O Floco de Neve de Koch tem perímetro infinito e área finita.
O facto de termos um perímetro infinito a “fechar” uma área finita
pode parecer contrário à nossa intuição geométrica, mas é
característico de muitas formas importantes na Natureza. O sistema
vascular das veias e artérias no corpo humano, por exemplo, ocupa
uma pequena fracção do corpo e tem um volume relativamente
pequeno, mas tem um enorme comprimento: de ponta a ponta, as
veias, artérias e capilares de um único corpo humano atingem cerca
de 65 mil quilómetros.
Modelo do Sistema
Circulatório Humano
Floco de Neve de Koch
 Dimensão?
N4
1
r
3
}
log 4
DF 
 1,26
log 3
 O floco de neve de Koch
possui auto-semelhança exacta.
Triângulo de Sierpinski
REGRA DE SUBTITUIÇÃO RECURSIVA
Comece com um triângulo equilátero sólido
Quando vir um triângulo sólido
substitua-o por
Triângulo de Sierpinski
Como varia a área da figura com as transformações?
Passo 0
Passo 1
Passo 2
Passo 3
....
Passo n
Área  A
Área  3  A
4
2
Área  3  3  A  3  A
4
4
4
2
3


Área  3   3  A   3  A
4  4
4


  
 
 
 4  A
Área  3
n
A área do Triângulo de
Sierpinski tende para zero.
Triângulo de Sierpinski
Como varia o perímetro da figura com as transformações?
O número de triângulos sólidos em
cada passo da construção é dado por:
Tn  3
Passo 0
Perímetro  P
Passo 1
Perímetro  3  P  3  3  P
6
2
2
2
Perímetro  3  P  3  3  P
12
2
3
3
Perímetro  3  P  3  3  P
24
2
n
 
 
Passo 2
Passo 3
 2  P
Perímetro  3
n
O perímetro do Triângulo de
Sierpinski tende para infinito.
Triângulo de Sierpinski
 Dimensão?
N3
1
r
2
}
log 3
DF 
 1,59
log 2
 O Triângulo de Sierpinski
possui auto-semelhança exacta.
Triângulo de Sierpinski
e o Triângulo de Pascal
O Jogo do Caos
Para jogar este jogo necessitamos de:
 Um triângulo arbitrário de vértices A, B e C;
 Um dado não viciado;
A cada um dos vértices do triângulo atribuímos duas das seis
possibilidades resultantes de atirar o dado;
 A é “vencedor” se sair 1 ou 2;
 B é “vencedor” se sair 3 ou 4;
 C é “vencedor” se sair 5 ou 6;
Vamos então jogar este jogo:
O Jogo do Caos
Passo 0 – Atira-se o dado. Começa-se pelo vértice “vencedor”.
Suponhamos que calhou cinco. Então começamos pelo vértice C;
Passo 1 – Atira-se novamente o dado. Suponhamos que calha
dois. Então o “vencedor” é o vértice A. Agora mudamos
directamente da posição anterior para o vértice “vencedor”, mas
paramos a meio. Marca-se a nova posição M1;
Passo 2 – Atira-se novamente o dado e move-se directamente da
última posição para o vértice “vencedor”, e paramos a meio. (Por
exemplo se sair o três paramos em M2 que é o ponto médio do
segmento que une M1 a B). Marcamos nova posição;
Passo 3, 4,... – Continua-se a atirar o dado, movendo-se para o
ponto médio do segmento que une a última posição e o vértice
vencedor.
O Jogo do Caos
Atirando o dado 100 vezes;
Atirando o dado 1000 vezes;
Atirando o dado 5000 vezes;
Atirando o dado 10000 vezes;
O padrão obtido é inconfundível:
Triângulo de Sierpinski
A Curva de Peano
 Exemplo de uma curva (dimensão 1 na
Geometria Euclidiana) que preenche o plano
(dimensão 2);
 Qual é a dimensão fractal da Curva de
Peano?
N 9
1
r
3
}
log 9 2 log 3
DF 

2
log 3 log 3
O Conjunto de Mandelbrot
 A nossa construção irá começar com um número complexo (um ponto do
plano) que designaremos por SEMENTE e a partir dele criamos uma
sequência infinita de números (pontos) que dependem do número inicial;
 Esta sequência de números chamar-se-á SEQUÊNCIA DE MANDELBROT.
REGRA DE SUBTITUIÇÃO RECURSIVA
Comece com a semente s.
Se c é um termo da sequência então o termo seguinte é c2+s.
zn  zn1  s
2
O Conjunto de Mandelbrot
Semente
S=1
S = -1
S = - 0,75
Passo 1
S1=12+1=2
S1= 0
S1= - 0,1875
Passo 2
S2=22+1=5
S2= -1
S2= - 0,714844
Passo 3
S3=52+1=26
S3= 0
S3= - 0,238998
Passo 4
S4=262+1=677
S4= -1
S4= - 0,69288
zn  zn1  s
2
Ponto de
Divergência
Ponto de
Periodicidade
Ponto de
Convergência
O Conjunto de Mandelbrot
 Cada ponto do plano cartesiano é um número complexo e
pode ser usado como semente na sequência de Mandelbrot.
Cores quentes se divergir lentamente
Pontos de Divergência
Cores frias se divergir rapidamente
Pontos de Periodicidade
Ponto negro
Pontos de Convergência
 Para construir o conjunto de Mandelbrot, basta marcar a negro os
pontos que correspondem às “sementes” de convergência ou que
originam sequências periódicas, deixando os restantes a branco ou
numa graduação de cores de acordo com a rapidez com que
aumentam de valor.
O Conjunto de Mandelbrot
Objectos Fractais
com dimensão entre 2 e 3
Fractal do Cubo
Fractal do Tetraedro
Aplicações da Geometria Fractal
 Indústria Cinematográfica
 Economia
 Biologia
 Análise de imagens por satélite
 Geologia
Aplicações da Geometria Fractal
 Medicina
 Arte
 Linguística
 Informática
 Meteorologia
Fractais no Ensino Secundário
Actividade: Construção de um Fractal numa Folha de Papel
Material:
Folha de papel A4;
Tesoura;
Instruções:
1. Meça o comprimento da folha (= a);
2. Meça a largura da folha (= b);
3. Dobre a folha de papel ao meio;
4. Faça 2 cortes de comprimento a/4 afastados de cada lado do papel b/4:
5. Dobre segundo o segmento criado pelos dois cortes;
6. Repita os passos 1 a 5, mas agora para a parte da folha que acabou de
dobrar;
7. Continue este processo o máximo de vezes possíveis;
8. Dobre a folha A4 formando um ângulo recto;
9. Dobre a parte da folha obtida no passo 5, de modo a formar um ângulo
recto com a dobra do passo 8;
10. Repita o passo 9 para as outras partes da folha.
Fractais no Ensino Secundário
Questões:
1. Conte os elementos em cada iteração e faça uma tabela.
2. Identifique o padrão de crescimento e indique a sucessão que permite
calcular o número de elementos para a n-ésima geração.
3. Qual a área total (isto é, depois de uma infinidade de dobras) da superfície
dos elementos? (Sugestão: Escolha um valor conveniente para a área do
primeiro elemento).
4. Investigue o que acontece, se fizer um corte diferente, alterar o tamanho do
corte ou aumentar o número de cortes.
FIM