Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.
Matemática I
Versão 2011.1
Conteúdo da Seção

Número Reais


Potências



Propriedades
Raízes


Operações e Propriedades
Fatores Racionalizantes
Produtos Notáveis
Triângulo de Pascal
Versão
2011.1
2
Números
Operações no Conjunto dos Reais


Adição

ab
a  b ou [a  (b)]
Multiplicação

a  b ou a  b
Versão
2011.1
3
Subtração
Divisão (se b0)
a
1
a / b ou
ou a 
b
b
Números
Propriedades

Propriedade Comutativa
ab  ba
ab  ba

Propriedade Associativa
a  (b  c)  (a  b)  c
a  (b  c)  (a  b)  c
Versão
2011.1
4
Números
Propriedades

Propriedade Distributiva
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)

Elemento neutro
 na adição:
a0 a

na multiplicação:
a 1  a
Versão
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5
Números
Propriedades

Existência de Simétrico ou Oposto
a  (  a)  0
Todo número real tem oposto.

Existência de Inverso ou Recíproco
se a  0
Versão
2011.1
6

1
a 1
a
Potência de Expoente Natural

Elevar um número real a, a diferente de zero à potência n
(pertencente a N* e n 2), significa multiplicar a por ele
mesmo n vezes:
a  aaa
n

a
n vezes
Exemplo:
34  3  3  3  3  81
 5
Versão
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7
3
  5  5  5   125
Potência de Expoente Natural

Por definição:
a  0 então a 0  1 e

a  0 então a1  a
Exemplos:
60  1
(3)  1
0
10  1
Versão
2011.1
8
Potência de Expoente Natural
Propriedades

Seja a um número real diferente de zero, n e m inteiros, então:
a n  a m  a nm

Exemplo:
43  4 2  43  2  45
Versão
2011.1
9
Potência de Expoente Natural
Propriedades

Seja a um número real diferente de zero, n e m naturais,
então:
(a )  a
n

m
n m
Exemplo:
(24 )2  (16) 2  256
242  28  256
Versão
2011.1
10
Potência de Expoente Natural
Propriedades

Seja a, b e c um número real diferente de zero, n natural,
então:
(a  b  c) n  a n  b n  c n

Exemplo:
(3  4  5) 2  60 2  3600
32  42  52  9  16  25  3600
Versão
2011.1
11
Potência de Expoente Natural
Propriedades

Sejam a e b números reais, com b diferente de zero, então:
n

an
a
   n
b
b
Exemplo:
3
 12 
3

4
 64


 3 
Versão
2011.1
12
e
123 1728

 64
3
3
27
Potência de Expoente Inteiro Negativo
Propriedades
Seja a um número real
diferente de zero, então:

a
n
1
 n
a
n
a
1
nm
a
 mn
m
a
a
Versão
2011.1
13

3
Exemplos:
4
1
 4
3
53
1
32
5
 2 3
2
5
5
Raiz Quadrada

Se a  0 , a raiz quadrada de a é o número
positivo b tal que b2 = a.
a b

Observação:
32  9 

 porém 9  3
2
 3   9
Versão
2011.1
14
Raiz Quadrada
Propriedades

Se a e b são números positivos, então:
a2  a ;
a4  a2 ;
a4  a2
a  b  ab  a  a  a  a
2
a
a

b
b
Versão
2011.1
15
Outras Raízes
Propriedades

A raiz de índice n de um número real a é
representada e definida por:
i.
Se n é par, e se a é positivo,
n
a
tal que
.
n
é o número positivo b
b a
ii.


Se n é ímpar, e se a é positivo,
é o número b tal
n
que
a
.
bn  a
Se a é positivo, então b é um número positivo.
Se a é negativo, então b é um número negativo.
Versão
2011.1
16
Radiciação



Generalização da Potenciação (expoente racional).
Seja a um número real positivo e n um número inteiro
positivo, então:
Exemplo:
a
1n
13
4
Versão
2011.1
17

n
a

3
4
Radiciação

Sejam a e b números positivos, n e m são números naturais
não nulos, então:
 a 
n
n
a  n b  n ab
n
a

n
b
Versão
2011.1
18
a
b
n
m
 3 
3
5
 3
5
3
53
3
27  3 8  n 216  6
3
3
27 3 27 3


3
8
2
8
a  nm a
2 3
a km  n a m
4
n m
kn
n
m
 a
a
m/ n
64  6 64  2
3 6  2 33
Potenciação e Radiciação
Exercícios

Determine os valores das potências abaixo:
a)
b)
2 1  23  2 4
d)
 
1
23
e)
 30
1
 33
2
 53
c)
 2 4
Versão
2011.1
19
f)
1

3
34
35
2
g)
h)
22
2 3
 
1

5
2
Caso LCL Cartonagem S.A.

A LCL Cartonagem S.A. fabrica uma embalagem especial,
utilizada na indústria eletrônica. Devido ao peso das peças
que são acondicionadas nessa embalagem, o fundo é
preparado com uma base metálica e as laterais e a tampa
são feitas de papelão. A matéria-prima utilizada no fundo
tem um custo de R$200,00 por m2, a das laterais e da tampa
R$80,00 por m2. Sabendo-se que a embalagem deve ser um
cubo de 50cm de lado, calcule o custo da matéria-prima
utilizada nessa embalagem.
Versão
2011.1
20
Caso LCL Cartonagem S.A.
50cm
50cm
Custo do Fundo  200  0,5 
2
50cm

Custo das Laterais  80  4  0,5 
2
Custo da Tampa  80  0,5 
2
Custo Total  50  80  20  150
Versão
2011.1
21

Racionalização
1º caso

Chamamos de racionalizante de uma expressão
que contém radicais a uma outra expressão que,
multiplicada por ela, dá um resultado sem
radicais.
Expressão
Racionalizante
a
3
a
3
a
a3bc4
7
Versão
2011.1
22
a2bc4
7
a2
ab
a5b6c3
Produtos Notáveis

Vocês se lembram...
 a  b   a 2  2ab  b 2
2
2
2
b

ab
2

a

b
–
a


2
2
b
–
a

b
–
a
.
b

a



2
3
 a  b    a  b  .  a  b   a 3  3a 2b  3ab 2 + b3
2
3
 a – b    a  b  .  a  b   a 3  3a 2b  3ab 2  b3
3
3
2
2
b

a

)
b

ab

a
(
b
–
a


2
Versão
2011.1
23
Produtos Notáveis
Exercícios

Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
a)
b)
c)
d)
 x  4
2
 x  3 x  3
3
x

2


3
 x  4
3

e)  2 x  
2

Versão
2011.1
24
2
Produtos Notáveis
Soluções dos Exercícios
a ) ( x  4) 2  x 2  8 x  16
b) ( x  3)( x  3)  x 2  9
c) ( x  2)3  ( x  2)( x  2) 2  ( x  2)( x 2  4 x  4) 
 x3  3(2) x 2  3(2) 2 x  (2)3
 x3  6 x 2  12 x  8
d ) ( x  4)3  ( x  4)( x  4) 2  ( x  4)( x 2  8 x  16) 
 x3  3(4) x 2  3(4) 2 x  (4)3
 x3  12 x 2  48 x  64
3 2
e)  2 x  2   (2 x) 2  2(2 x)(  3 )  (  3 ) 2  4 x 2  6 x  9
2
2
4
Versão
2011.1
25
Fatorial


Seja n um número inteiro positivo.
O fatorial de n representado por n! é dado por:
n
n !  1 2  ...  n   i

Por definição o fatorial de 0 (zero) é igual a 1. i 1
0!  1
Versão
2011.1
26
Triângulo de Pascal

Em valores o triângulo de Pascal pode ser escrito
como:
1
1 1
1 2
1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 1 0 5 1
:
:
:
: :
Versão
2011.1
27
n!
onde C 
p !(n  p )!
p
n
:
Triângulo de Pascal

Esses valores do triângulo de Pascal podem ser
obtidos facilmente:
1
1 + 1=
1 2
1
1 + 3= 3 + 1 =
1 4
6
4
1 5 10 10
Versão
2011.1
28
1
5
1
Triângulo de Pascal e
Produtos Notáveis


Podemos expandir um produto notável utilizando
as linhas do triângulo de Pascal como os
coeficientes do polinômio.
Exemplo:
 x  a   1x5a0  5x 4a1  10 x3a 2  10 x 2a3  5x1a 4  1x0a5
5
 x  a   1x5a 0  5x 4 a1  10 x3a 2  10 x 2a 3  5x1a 4  1x 0a 5
5
Versão
2011.1
29
Racionalização
2º caso

O racionalizante da expressão
a A b B
é a sua expressão conjugada
a A b B
já que


 
 
2
a A b B a A b B  a A  b B
Versão
2011.1
30

2
 a 2 A  b2 B
Exercícios

CD-ROM do Livro-texto 1 – Matemática I

Capítulo 2 – Potências, Raízes e Produtos Notáveis
 Exercícios: 1 – 86
 Exercício Conceitual: 2-1
Versão
2011.1
31