RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
2o ANO DO ENSINO MÉDIO
DATA: 10/08/13
PROFESSOR: MALTEZ
QUESTÃO 01
A secção transversal de um cilindro circular reto é um quadrado com área de 4 m2.
O volume desse cilindro, em m3, é:
A seção transversal em questão é uma seção meridiana,
em que h = 2r. Logo 4 = h2  h = 2 então r = 1
V =  . 12 . 2 = 2 m3
QUESTÃO 02
Uma esfera de metal é mergulhada num recipiente cilíndrico de 40 mm de raio que contém água. O nível da água do recipiente sobe 22,5 mm.
Se V representa o volume da esfera em mm³, o valor numérico de
V
é:
1000 
O volume da esfera é igual ao volume da água que subiu, ou seja, um cilindro de
raio 40 mm e altura 22,5 mm.
V =  . 402 . 22,5 =  . 1600 . 22,5 = 36000
V
36000 

 36
1000 
1000 
QUESTÃO 03
Em uma caixa de papelão são colocados 12 copos, como mostra a figura
ao lado. Entre um copo e outro, existe uma divisória de papelão com 1 cm
de espessura. Cada copo tem o formato de um cilindro circular reto, com
altura de 14 cm e volume de 126  cm3.
Com base nesses dados, pode-se dizer que o comprimento interno da
caixa de papelão, em cm, será igual a: (use  = 3,14).
Se o volume de cada copo cilindro é 126  cm3, teremos 126 =  . r2 . 14
r2 
126
 r2 = 9  r = 3 cm. São 12 raios de 3 cm, logo 12 . 3 = 36
14
Como cada divisória interna de papelão tem um papelão de 1 cm de espessura e são 5 divisórias,
teremos finalmente comprimento = 36 + 5 = 41 cm.
QUESTÃO 04
Um tanque cônico tem 4m de profundidade e seu topo circular tem 6 m de diâmetro.
Então, o volume máximo, em litros, que esse tanque pode conter de líquido é: (use  = 3,14)
r=3
h=4
V
1 2
r . h
3
V
1
.  . 32 . 4
3
V = 12 = 12 . 3, 14 = 37,68 m3 = 37680 
QUESTÃO 05
Para a limpeza das dependências de um restaurante, é utilizada a água da chuva. A captação e o armazenamento da água são feitos em uma cisterna, que tem a forma de um cone circular reto invertido
cujas medidas da altura e da geratriz são 2 m e 2,5 m, respectivamente.
A máxima quantidade de litros que a cisterna pode ter é: (use  = 3)
Para calcular o volume do cone precisamos do raio da base e da altura
2
 25 
2
  R 4
 10 
625
225
 4  R2  R2 
100
100
R
2
2,5
V
1
1
225
.  . R2 h  . 3 .
.2
3
3
100
V
450
 4,5m3  4500 
100
QUESTÃO 06
Um recipiente na forma de um cone reto invertido está preenchido com água e
óleo, em duas camadas que não se misturam. A altura, medida na vertical, da camada de óleo é metade da altura da parte de água, como ilustrado ao lado.
Se o volume do recipiente é 54 cm3, qual o volume da camada de óleo?
Seja V1 o volume do recipiente e V2 o volume do “coninho”
Sabemos que:
V1  H 
 
V2  h 
3
54  3h 
 
V2  2h 
3
54 27

 V2  16 cm3
V2
8
A camada de óleo corresponde ao volume do tronco.
VT = 54 – 16 = 38 cm3
QUESTÃO 07
Na famosa cidade de Sucupira, foi eleito um monumento de concreto com pedestal em forma de uma
esfera de raio igual a 5m, em homenagem ao anti-herói “Zeca Diabo”. O cidadão “Nézinho do Jegue” foi
informado de que, apesar de o preço do metro cúbico do concreto ser 260 reais, o custo total do concreto do pedestal, feito com dinheiro público, foi de 500 mil reais.
Nézinho do Jegue verificou, então, que houve um superfaturamento: Obs.: Considere  = 3,14
V
4
 R3
3
V
4
. 3 . 14 . 53  524 m3
3
524 x 260 = 136240
Logo o superfaturamento foi 500000 – 136240 = 363760 (entre 300 e 400 mil reais)
QUESTÃO 08
Uma fábrica de sucos estima que necessita de 27 laranjas de 8 cm de diâmetro cada, para produzir um
litro de suco concentrado. Para efeito dessa estimativa, a empresa assume que as laranjas são esferas.
Contudo, devido às entressafras, as únicas laranjas disponíveis no mercado apresentam diâmetro de
6cm.
Nessas condições, o número mínimo de laranjas necessárias para a produção de um litro de suco concentrado será igual a:
4
256 
 . 43 
3
3
4
Para laranjas de 6 cm de diâmetro V   . 33  36
3
Tem que acontecer
Para laranjas de 8 cm de diâmetro V 
256 
. 27  36 . x
3
4x = 256  x = 64
QUESTÃO 09
Dona Maria fez um único brigadeirão em forma de esfera para seus 8 netos. Para que cada um ficasse
com a mesma quantidade de doce, resolveu fazer a divisão em 8 brigadeiros pequenos, todos também
em forma de esferas.
O raio da esfera de cada um dos 8 brigadeiros deverá ser igual à:
A igualdade determinada pelo problema é:
4
4
 R3   r 3 . 8
3
3
R3 = r3 . 8
R3
R
R
 8   2  R  2r  r 
r
2
r3
QUESTÃO 10
Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3 cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha
esférica nesse recipiente, o nível da água sobe cerca de 1,2 cm.
Sabe-se, então, que o raio da bolinha vale aproximadamente:
O volume da bolinha esférica é igual ao volume da “água que subiu”, que é o volume do cilindro
de raio 3 e altura 1,2
 . 32 . 1,2 
4 3
r
3
r3 = 8,1  r  2
QUESTÃO 11
Para medir a largura de um rio em determinado trecho, um topógrafo fixou dois pontos, A e B, nas margens do rio (opostas e paralelas) de modo que AB ficasse perpendicular às margens. A seguir, caminhou 20 m a partir do ponto A, paralelamente às margens, até um ponto C, obtendo AĈB  , com
sen= 0,8e cos = 0,6

Então a largura do rio nesse trecho, aproximadamente, é:
B
x
cos  
0,6 
20
BC
BC 
20
 33,3
0,6

C
20 m
A
20
BC
sen  
x
BC
x = BC . sen 
x = 33,3 . 0,8
x = 26,7
QUESTÃO 12
Quando os raios solares formam ângulos de 70º com uma planície horizontal, um paredão rochoso vertical projeta uma sombra de 50 m de comprimento nessa planície como mostra a figura.
70º
50 m
A altura do paredão é:
Pela própria figura dada:
tg 70 º 
x
50
x = 50 . 2,64
x = 132 m
QUESTÃO 13
Um arco AB de 25º está contido em uma circunferência de raio 10 cm.
O comprimento de AB, em centímetros, é:
Sabendo que em radiano é  

, ou de  é o comprimento do arco e r o raio da circunferência,
r
temos:
AB

5
onde   25 .

10
180 36

25 AB
25

 AB 
cm
36
10
18
QUESTÃO 14
O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 2h20min é:
12
1
 + x = 60º
2
x

3
4
6
 + 10 = 60º
 = 50º
5
Tempo
arco
60 min
30º
20
x
x = 10º
QUESTÃO 15
A medida em graus, equivalente a
7
7 . 180
rad 
 210 º
6
6
7
rad , é:
6
QUESTÕES DISCURSIVAS
QUESTÃO 01
Um copo de papel em forma de cone circular reto tem no seu interior 200 m de chá mate, ocupando
2
3
de sua altura, conforme mostra a figura ao lado.
Determine a capacidade do copo em m.
3
V1  H 
   , como V2 = 200 m:
V2  h 


 h 
V1


200  2 
 h
3 
3
V1
27

 V1 = 675 m
200
8
QUESTÃO 02
Um plano, distante 18 cm do centro de uma esfera, determina nela um círculo cuja área é igual a
576 cm2.
Determine a área e o volume da esfera.
r
18
r2 = 576
R
r2 = 576
r = 24 cm
R2 = 242 + 182
R2 = 576 + 324
R2 = 900  R = 30 cm
A = 4 . 302 = 3600cm2
10
4
4
V   . 303   . 30 . 30 2  40 . 900  36000  cm3
3
3
QUESTÃO 03
Considere um retângulo de altura 10 cm base 18 cm e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como mostra a figura.
10
18
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno do eixo que passa pelos
centros dos semicírculos.
A figura é um cilindro vazado por duas semiesferas de mesmo raio o que equivale a uma esfera
V   . 52 . 18 
4
 . 53
3
V  450  
4
 . 125
3
V  450  
500 
3
V
850 
cm3
3
QUESTÃO 04
Determine o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio que marca 21h e 55 min.
12
11
10
9
x

Tempo
Comprimento (grau)
60 min
30º
55 min
x
x = 27,5º
+ x = 60º
 = 60º - 27,5º = 32,5º
ou  = 32º 30’
QUESTÃO 05
Calcule o comprimento de um arco AB, definido em uma circunferência de raio 8 cm por um ângulo central de 120º.

B
120º
8
A
AB

2
só é válido se  estiver em radiano 120 .

rad
r
180
3
2 AB
16

 AB 
cm
3
8
3